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1 [2026 海门期末]$3mx^{2}-3my^{2}$分解因式的正确结果是（
A.$3m(x^{2}-y)^{2}$
B.$(x+y)(x-y)$
C.$(3mx+y)(x-y)$
D.$3m(x+y)(x-y)$
D
）A.$3m(x^{2}-y)^{2}$
B.$(x+y)(x-y)$
C.$(3mx+y)(x-y)$
D.$3m(x+y)(x-y)$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查因式分解的方法，解题思路是：先观察多项式，提取各项的公因式，再利用平方差公式进行二次分解，确保分解彻底。首先，原式$3mx^2 - 3my^2$的各项都含有公因式$3m$，第一步先提取公因式$3m$，得到$3m(x^2 - y^2)$；接着，$x^2 - y^2$符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=y$，因此将其分解为$(x+y)(x-y)$，最终结果为$3m(x+y)(x-y)$，对应选项D。
【解析】
对多项式$3mx^2 - 3my^2$分解因式：
第一步，提取公因式$3m$，得：$3m(x^2 - y^2)$；
第二步，利用平方差公式分解$x^2 - y^2$，得：$3m(x+y)(x-y)$。
因此正确结果为选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的基础题，主要考查提公因式法和平方差公式的应用，解题时需注意分解要彻底，避免遗漏公因式或分解不完整的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查因式分解的方法，解题思路是：先观察多项式，提取各项的公因式，再利用平方差公式进行二次分解，确保分解彻底。首先，原式$3mx^2 - 3my^2$的各项都含有公因式$3m$，第一步先提取公因式$3m$，得到$3m(x^2 - y^2)$；接着，$x^2 - y^2$符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=y$，因此将其分解为$(x+y)(x-y)$，最终结果为$3m(x+y)(x-y)$，对应选项D。
【解析】
对多项式$3mx^2 - 3my^2$分解因式：
第一步，提取公因式$3m$，得：$3m(x^2 - y^2)$；
第二步，利用平方差公式分解$x^2 - y^2$，得：$3m(x+y)(x-y)$。
因此正确结果为选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题属于因式分解的基础题，主要考查提公因式法和平方差公式的应用，解题时需注意分解要彻底，避免遗漏公因式或分解不完整的错误。
【难度系数】
0.7
2 下面是甲、乙两名同学将 $-x^{3}+x$ 分解因式的结果: 甲同学: 原式 $=-x(x+1)(x-1)$; 乙同学: 原式 $=x(1+x)(1-x)$. 下列判断正确的是（
A.只有甲的结果正确
B.只有乙的结果正确
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
C
）A.只有甲的结果正确
B.只有乙的结果正确
C.甲、乙的结果都正确
D.甲、乙的结果都不正确
答案
2. C
解析
【分析】要判断甲、乙的因式分解结果是否正确，可通过展开分解后的式子，验证是否与原式$-x^3 + x$相等，或检查分解过程是否符合因式分解规则。分别对甲、乙的结果展开验证，即可得出结论。
【解析】分别展开甲、乙的结果：
1. 甲同学的结果：$-x(x+1)(x-1)=-x(x^2 -1)=-x^3 +x$，与原式一致；
2. 乙同学的结果：$x(1+x)(1-x)=x(1 -x^2)=x -x^3=-x^3 +x$，与原式一致。
因此甲、乙的结果都正确。
【答案】C
【知识点】因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】本题考查因式分解的正确性判断，核心是掌握因式分解的基本方法，注意分解时符号的处理，不同形式的等价分解结果均正确，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】分别展开甲、乙的结果：
1. 甲同学的结果：$-x(x+1)(x-1)=-x(x^2 -1)=-x^3 +x$，与原式一致；
2. 乙同学的结果：$x(1+x)(1-x)=x(1 -x^2)=x -x^3=-x^3 +x$，与原式一致。
因此甲、乙的结果都正确。
【答案】C
【知识点】因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】本题考查因式分解的正确性判断，核心是掌握因式分解的基本方法，注意分解时符号的处理，不同形式的等价分解结果均正确，属于基础题型。
【难度系数】0.6
3 $4xy^{2}-24xy+36x$ 分解因式的结果正确的是（
A.$x(2y+6)^{2}$
B.$2x(y-3)^{2}$
C.$4x(y-6)^{2}$
D.$4x(y-3)^{2}$
D
）A.$x(2y+6)^{2}$
B.$2x(y-3)^{2}$
C.$4x(y-6)^{2}$
D.$4x(y-3)^{2}$
答案
3. D
解析
【分析】分解因式需遵循“一提二套”的原则，先提取多项式各项的公因式，再套用公式对剩余部分进一步分解。本题中多项式各项存在公因式，先提取公因式后，剩余的二次式符合完全平方公式，据此可完成分解。
【解析】解：对$4xy^2 -24xy +36x$分解因式：
1. 提取公因式：多项式各项的公因式为$4x$，提取后得$4x(y^2 -6y +9)$；
2. 套用完全平方公式：$y^2 -6y +9=(y-3)^2$，因此原式分解结果为$4x(y-3)^2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】因式分解（提公因式法、公式法）
【点评】本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提公因式法和完全平方公式，分解时要确保彻底，避免漏项或公式运用错误。
【难度系数】0.6
【解析】解：对$4xy^2 -24xy +36x$分解因式：
1. 提取公因式：多项式各项的公因式为$4x$，提取后得$4x(y^2 -6y +9)$；
2. 套用完全平方公式：$y^2 -6y +9=(y-3)^2$，因此原式分解结果为$4x(y-3)^2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】因式分解（提公因式法、公式法）
【点评】本题考查因式分解的基础方法，需熟练掌握提公因式法和完全平方公式，分解时要确保彻底，避免漏项或公式运用错误。
【难度系数】0.6
4 把 $4x^{2}-16$ 分解因式,嘉嘉的解答为 $4(x+2)(x-2)$;琪琪的解答为 $(2x+2)(2x-2)$,下列判断正确的是（
A.只有嘉嘉的结果对
B.只有琪琪的结果对
C.两人的结果都对
D.两人的结果都不对
A
）A.只有嘉嘉的结果对
B.只有琪琪的结果对
C.两人的结果都对
D.两人的结果都不对
答案
4. A
解析
【分析】
这道题考查因式分解的正确性判断，解题思路是：先明确因式分解的核心要求——分解到每一个因式都不能再分解为止，常规步骤为“一提公因式、二套公式、三查彻底性”。对原式4x²-16，分别分析嘉嘉和琪琪的解答，判断是否符合分解要求即可得出结论。
【解析】
对原式4x²-16因式分解，正确步骤如下：
1. 提取公因式：原式有公因式4，先提取得4(x² - 4)；
2. 套用公式：x² - 4符合平方差公式a² - b²=(a+b)(a-b)，分解为(x+2)(x-2)，因此最终结果为4(x+2)(x-2)。
分析两人解答：
嘉嘉的结果是4(x+2)(x-2)，已分解到不能再分解，符合要求，正确；
琪琪的结果是(2x+2)(2x-2)，虽用了平方差公式，但两个因式仍可提取公因式（2x+2=2(x+1)，2x-2=2(x-1)），未分解彻底，错误。
因此只有嘉嘉的结果正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解（提公因式法、公式法）
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，核心是掌握“分解彻底”的原则，需注意先提取公因式再套用公式，避免遗漏公因式的提取，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
这道题考查因式分解的正确性判断，解题思路是：先明确因式分解的核心要求——分解到每一个因式都不能再分解为止，常规步骤为“一提公因式、二套公式、三查彻底性”。对原式4x²-16，分别分析嘉嘉和琪琪的解答，判断是否符合分解要求即可得出结论。
【解析】
对原式4x²-16因式分解，正确步骤如下：
1. 提取公因式：原式有公因式4，先提取得4(x² - 4)；
2. 套用公式：x² - 4符合平方差公式a² - b²=(a+b)(a-b)，分解为(x+2)(x-2)，因此最终结果为4(x+2)(x-2)。
分析两人解答：
嘉嘉的结果是4(x+2)(x-2)，已分解到不能再分解，符合要求，正确；
琪琪的结果是(2x+2)(2x-2)，虽用了平方差公式，但两个因式仍可提取公因式（2x+2=2(x+1)，2x-2=2(x-1)），未分解彻底，错误。
因此只有嘉嘉的结果正确，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解（提公因式法、公式法）
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，核心是掌握“分解彻底”的原则，需注意先提取公因式再套用公式，避免遗漏公因式的提取，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.6
5 把 $8a^{3}-8a^{2}+2a$ 分解因式,结果正确的是（
A.$2a(4a^{2}-4a+1)$
B.$8a^{2}(a-1)$
C.$2a(2a-1)^{2}$
D.$2a(2a+1)^{2}$
C
）A.$2a(4a^{2}-4a+1)$
B.$8a^{2}(a-1)$
C.$2a(2a-1)^{2}$
D.$2a(2a+1)^{2}$
答案
5. C
解析
【分析】
分解因式需遵循“一提二套”的原则：先提取多项式各项的公因式，再对剩余部分套用公式进一步分解，直至无法再分解。本题先找公因式，再用完全平方公式分解，最后对比选项确定答案。
【解析】
解：对$8a^{3}-8a^{2}+2a$分解因式：
1. 提取公因式：各项公因式为$2a$，提取后得：$8a^{3}-8a^{2}+2a = 2a(4a^{2}-4a+1)$；
2. 套用完全平方公式：括号内$4a^{2}-4a+1$符合完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$（其中$x=2a$，$y=1$），因此$4a^{2}-4a+1=(2a-1)^2$；
3. 综上，原式分解结果为$2a(2a-1)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式（完全平方公式）
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，核心是掌握“先提公因式、再套公式”的分解顺序，需注意分解要彻底，避免仅提取公因式就停止（如选项A），同时要正确运用完全平方公式的符号（避免选项D的符号错误），属于基础题型。
【难度系数】
0.7
分解因式需遵循“一提二套”的原则：先提取多项式各项的公因式，再对剩余部分套用公式进一步分解，直至无法再分解。本题先找公因式，再用完全平方公式分解，最后对比选项确定答案。
【解析】
解：对$8a^{3}-8a^{2}+2a$分解因式：
1. 提取公因式：各项公因式为$2a$，提取后得：$8a^{3}-8a^{2}+2a = 2a(4a^{2}-4a+1)$；
2. 套用完全平方公式：括号内$4a^{2}-4a+1$符合完全平方公式$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$（其中$x=2a$，$y=1$），因此$4a^{2}-4a+1=(2a-1)^2$；
3. 综上，原式分解结果为$2a(2a-1)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式（完全平方公式）
【点评】
本题考查因式分解的基础方法，核心是掌握“先提公因式、再套公式”的分解顺序，需注意分解要彻底，避免仅提取公因式就停止（如选项A），同时要正确运用完全平方公式的符号（避免选项D的符号错误），属于基础题型。
【难度系数】
0.7
6（易错题）分解因式：
(1) $3a(a - 2b)+6b(2b - a)=$
(2) $a^{2}b - 25b=$
(3) $[2025 绥化]2mx^{2}-4mxy + 2my^{2}=$
(1) $3a(a - 2b)+6b(2b - a)=$
$3(a-2b)^2$
;(2) $a^{2}b - 25b=$
$b(a+5)(a-5)$
;(3) $[2025 绥化]2mx^{2}-4mxy + 2my^{2}=$
$2m(x-y)^2$
.答案
6. (1) $3(a-2b)^2$ (2) $b(a+5)(a-5)$ (3) $2m(x-y)^2$
解析
【分析】分解因式的核心思路是“一提二套三查”，即先提取公因式，再套用公式（平方差公式、完全平方公式），最后检查是否分解彻底。对于本题的三道小题：(1)需先将式子中互为相反数的因式变形为相同因式，再提取公因式合并剩余项；(2)先提取公因式，再用平方差公式分解；(3)先提取公因式，再用完全平方公式分解，确保每一步都分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 先变形式子：$6b(2b - a) = -6b(a - 2b)$，则原式$=3a(a - 2b) - 6b(a - 2b)$，提取公因式$3(a - 2b)$得：$3(a - 2b)(a - 2b) = 3(a - 2b)^2$；
(2) 先提取公因式$b$：原式$=b(a^2 - 25)$，再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$（其中$25=5^2$），得：$b(a + 5)(a - 5)$；
(3) 先提取公因式$2m$：原式$=2m(x^2 - 2xy + y^2)$，再利用完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，得：$2m(x - y)^2$；
【答案】(1)$3(a-2b)^2$；(2)$b(a+5)(a-5)$；(3)$2m(x-y)^2$
【知识点】提公因式法分解因式，公式法分解因式
【点评】本题为易错题，需注意：①第(1)题中互为相反数的因式变形时的符号处理，避免符号错误；②分解因式需彻底，确保每一项都无法再分解；③熟练掌握平方差、完全平方公式的结构特征，是正确解题的关键。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 先变形式子：$6b(2b - a) = -6b(a - 2b)$，则原式$=3a(a - 2b) - 6b(a - 2b)$，提取公因式$3(a - 2b)$得：$3(a - 2b)(a - 2b) = 3(a - 2b)^2$；
(2) 先提取公因式$b$：原式$=b(a^2 - 25)$，再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$（其中$25=5^2$），得：$b(a + 5)(a - 5)$；
(3) 先提取公因式$2m$：原式$=2m(x^2 - 2xy + y^2)$，再利用完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，得：$2m(x - y)^2$；
【答案】(1)$3(a-2b)^2$；(2)$b(a+5)(a-5)$；(3)$2m(x-y)^2$
【知识点】提公因式法分解因式，公式法分解因式
【点评】本题为易错题，需注意：①第(1)题中互为相反数的因式变形时的符号处理，避免符号错误；②分解因式需彻底，确保每一项都无法再分解；③熟练掌握平方差、完全平方公式的结构特征，是正确解题的关键。
【难度系数】0.6
7 教材 P131 例6 变式 分解因式：
(1) $3b^{3}-27b$;
(2) $x^{2}y-36y$;
(3) $ax^{2}+2a^{2}x+a^{3}$;
(4) $-mx^{2}+8mnx-16mn^{2}$.
(1) $3b^{3}-27b$;
(2) $x^{2}y-36y$;
(3) $ax^{2}+2a^{2}x+a^{3}$;
(4) $-mx^{2}+8mnx-16mn^{2}$.
答案
7. (1) $3b(b+3)(b-3)$ (2) $y(x+6)(x-6)$ (3) $a(x+a)^2$ (4) $-m(x-4n)^2$
解析
【分析】因式分解遵循“一提二套三检查”的原则，即先提取各项公因式，再根据剩余多项式的结构套用平方差公式或完全平方公式，最终确保分解彻底。本题4个小题均需先找公因式，再用公式分解：(1)式有公因式3b，剩余部分符合平方差公式；(2)式有公因式y，剩余部分符合平方差公式；(3)式有公因式a，剩余部分符合完全平方公式；(4)式有公因式-m，剩余部分符合完全平方公式，需注意符号处理。
【解析】(1) $3b^3 -27b = 3b(b^2 -9) = 3b(b+3)(b-3)$；(2) $x^2y -36y = y(x^2 -36) = y(x+6)(x-6)$；(3) $ax^2 +2a^2x +a^3 = a(x^2 +2ax +a^2) = a(x+a)^2$；(4) $-mx^2 +8mnx -16mn^2 = -m(x^2 -8nx +16n^2) = -m(x-4n)^2$；
【答案】(1) $3b(b+3)(b-3)$；(2) $y(x+6)(x-6)$；(3) $a(x+a)^2$；(4) $-m(x-4n)^2$
【知识点】因式分解、提公因式法、公式法
【点评】本题是因式分解的基础变式题，核心考察提公因式法与公式法的综合运用，属于因式分解的常规基础题型，要求学生熟练掌握分解步骤，保证分解彻底，注意符号细节，是必须掌握的知识点。
【难度系数】0.8
【解析】(1) $3b^3 -27b = 3b(b^2 -9) = 3b(b+3)(b-3)$；(2) $x^2y -36y = y(x^2 -36) = y(x+6)(x-6)$；(3) $ax^2 +2a^2x +a^3 = a(x^2 +2ax +a^2) = a(x+a)^2$；(4) $-mx^2 +8mnx -16mn^2 = -m(x^2 -8nx +16n^2) = -m(x-4n)^2$；
【答案】(1) $3b(b+3)(b-3)$；(2) $y(x+6)(x-6)$；(3) $a(x+a)^2$；(4) $-m(x-4n)^2$
【知识点】因式分解、提公因式法、公式法
【点评】本题是因式分解的基础变式题，核心考察提公因式法与公式法的综合运用，属于因式分解的常规基础题型，要求学生熟练掌握分解步骤，保证分解彻底，注意符号细节，是必须掌握的知识点。
【难度系数】0.8
8 把 $4x^{2}-36$ 分解因式,结果正确的是（
A.$(2x+6)(2x-6)$
B.$4(x-3)^{2}$
C.$4(x+3)(x-3)$
D.$4x(x-\dfrac{9}{x})$
C
）A.$(2x+6)(2x-6)$
B.$4(x-3)^{2}$
C.$4(x+3)(x-3)$
D.$4x(x-\dfrac{9}{x})$
答案
8. C
解析
【分析】
分解因式时需遵循“先提公因式，再用公式法，结果要彻底且为整式”的原则。本题中，先观察多项式$4x^2 - 36$，系数的最大公约数是4，先提取公因式；提取后得到的$x^2 - 9$符合平方差公式的形式，再用平方差公式分解，最后对比选项即可得出答案。
【解析】
对$4x^2 - 36$分解因式：
第一步：提取公因式4，得$4(x^2 - 9)$；
第二步：利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=3$，对$x^2 - 9$分解，得$4(x+3)(x-3)$。
逐一分析选项：A选项未分解彻底，B选项误用完全平方公式，D选项出现分式（分解因式结果必须为整式），只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，核心是掌握“先提公因式、再用公式、结果彻底为整式”的要求，属于基础题型，需注意区分平方差与完全平方公式，避免分解不彻底或公式误用。
【难度系数】
0.7
分解因式时需遵循“先提公因式，再用公式法，结果要彻底且为整式”的原则。本题中，先观察多项式$4x^2 - 36$，系数的最大公约数是4，先提取公因式；提取后得到的$x^2 - 9$符合平方差公式的形式，再用平方差公式分解，最后对比选项即可得出答案。
【解析】
对$4x^2 - 36$分解因式：
第一步：提取公因式4，得$4(x^2 - 9)$；
第二步：利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=x$，$b=3$，对$x^2 - 9$分解，得$4(x+3)(x-3)$。
逐一分析选项：A选项未分解彻底，B选项误用完全平方公式，D选项出现分式（分解因式结果必须为整式），只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
因式分解、提公因式法、平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，核心是掌握“先提公因式、再用公式、结果彻底为整式”的要求，属于基础题型，需注意区分平方差与完全平方公式，避免分解不彻底或公式误用。
【难度系数】
0.7
