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9. 如果自然数$ a $的平方根是$ \pm x $，那么$ a+1 $的平方根用含$ x $的式子表示为 （
A.$ \pm (x+1) $
B.$ x^2 + 1 $
C.$ \pm \sqrt{x+1} $
D.$ \pm \sqrt{x^2 + 1} $
D
）A.$ \pm (x+1) $
B.$ x^2 + 1 $
C.$ \pm \sqrt{x+1} $
D.$ \pm \sqrt{x^2 + 1} $
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先要利用平方根的定义求出a的表达式，再推导a+1的平方根。第一步，回忆平方根的性质：若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m的平方，据此先得到a与x的关系；第二步，将a代入a+1得到a+1的表达式；第三步，再根据平方根的表示方法，写出a+1的平方根即可，注意平方根有两个，要保留±号。
【解析】
解：
∵ 自然数a的平方根是$\pm x$，
根据平方根的定义，可得$a=(\pm x)^2=x^2$，
∴ $a+1=x^2+1$，
根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数，
∴ $a+1$的平方根为$\pm \sqrt{x^2 + 1}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.平方根的定义 2.平方根的表示
【点评】
本题考查平方根相关概念的应用，解题的关键是明确平方根与被开方数的运算关系，避免出现直接对x加1求平方根的错误，同时要注意平方根有正负两个，不要漏写±号。
【难度系数】
0.7
解题时首先要利用平方根的定义求出a的表达式，再推导a+1的平方根。第一步，回忆平方根的性质：若一个数的平方根是±m，那么这个数等于m的平方，据此先得到a与x的关系；第二步，将a代入a+1得到a+1的表达式；第三步，再根据平方根的表示方法，写出a+1的平方根即可，注意平方根有两个，要保留±号。
【解析】
解：
∵ 自然数a的平方根是$\pm x$，
根据平方根的定义，可得$a=(\pm x)^2=x^2$，
∴ $a+1=x^2+1$，
根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数，
∴ $a+1$的平方根为$\pm \sqrt{x^2 + 1}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.平方根的定义 2.平方根的表示
【点评】
本题考查平方根相关概念的应用，解题的关键是明确平方根与被开方数的运算关系，避免出现直接对x加1求平方根的错误，同时要注意平方根有正负两个，不要漏写±号。
【难度系数】
0.7
10. 如图是一个数值转换机的示意图,若输出的结果为$-32$,则输入$x$的值为________.
答案
10.$\pm 4$
解析
【分析】首先根据数值转换机的运算顺序，确定输出结果与输入x的运算关系：先对x取平方，再将结果乘以-2得到输出值。已知输出结果为-32，我们可以据此列出关于x的方程，先求出x²的值，再根据平方根的定义求出x的取值即可，注意正数的平方根有两个，不要漏解。
【解析】根据数值转换机的运算规则，可列方程：
$-2x^2 = -32$
方程两边同时除以$-2$，得：
$x^2 = 16$
根据平方根的定义，平方等于16的数为$\pm 4$，因此$x=\pm 4$。
【答案】$\pm 4$
【知识点】代数式运算；平方根计算
【点评】本题结合数值转换机的形式考查基础运算，解题的核心是准确梳理转换机的运算顺序列出方程，求解时注意正数有两个互为相反数的平方根，避免遗漏负根。
【难度系数】0.7
【解析】根据数值转换机的运算规则，可列方程：
$-2x^2 = -32$
方程两边同时除以$-2$，得：
$x^2 = 16$
根据平方根的定义，平方等于16的数为$\pm 4$，因此$x=\pm 4$。
【答案】$\pm 4$
【知识点】代数式运算；平方根计算
【点评】本题结合数值转换机的形式考查基础运算，解题的核心是准确梳理转换机的运算顺序列出方程，求解时注意正数有两个互为相反数的平方根，避免遗漏负根。
【难度系数】0.7
11. 宇宙飞船离开轨道正常运行时，它的速度要大于第一宇宙速度 $ v_1 $（单位：m/s），且小于第二宇宙速度 $ v_2 $（单位：m/s），其中 $ v_1 $ 的大小满足 $ v_1^2 = gR $，$ g $ 是物理中的一个常数（重力加速度），$ g \approx 10 \ \mathrm{m/s}^2 $，$ R $ 是地球半径，$ R \approx 6\ 400\ 000 \ \mathrm{m} $，求第一宇宙速度 $ v_1 $。
答案
11.解:因为$v_1^2=gR$,$g\approx10\ \mathrm{m/s}^2$,$R\approx6\ 400\ 000\ \mathrm{m}$,所以$v_1\approx\sqrt{10×6\ 400\ 000}=8\ 000(\mathrm{m/s})$.
答:第一宇宙速度$v_1$约为8 000 m/s.
答:第一宇宙速度$v_1$约为8 000 m/s.
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：题目给出第一宇宙速度的平方满足$v_1^2=gR$，且速度是具有实际意义的量，取值为正数，因此$v_1$是$gR$的算术平方根。接下来只需要将已知的$g$、$R$的数值代入公式，计算出算术平方根即可得到结果，注意要结合实际意义舍去负的平方根。
【解析】
解：因为$v_1$是宇宙飞船的运行速度，取值为正，且$v_1^2 = gR$，
所以$v_1 = \sqrt{gR}$。
将$g\approx10\ \mathrm{m/s}^2$，$R\approx6\ 400\ 000\ \mathrm{m}$代入得：
$v_1\approx\sqrt{10×6\ 400\ 000} = \sqrt{64\ 000\ 000} = 8\ 000(\mathrm{m/s})$
【答案】
第一宇宙速度$v_1$约为8 000 m/s。
【知识点】
算术平方根应用，代数式代入求值
【点评】
本题是跨学科的实际应用题，将数学平方根知识和物理宇宙速度场景结合，解题核心是理解实际问题中算术平方根的取值要求，运算难度低，侧重考查基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确已知条件：题目给出第一宇宙速度的平方满足$v_1^2=gR$，且速度是具有实际意义的量，取值为正数，因此$v_1$是$gR$的算术平方根。接下来只需要将已知的$g$、$R$的数值代入公式，计算出算术平方根即可得到结果，注意要结合实际意义舍去负的平方根。
【解析】
解：因为$v_1$是宇宙飞船的运行速度，取值为正，且$v_1^2 = gR$，
所以$v_1 = \sqrt{gR}$。
将$g\approx10\ \mathrm{m/s}^2$，$R\approx6\ 400\ 000\ \mathrm{m}$代入得：
$v_1\approx\sqrt{10×6\ 400\ 000} = \sqrt{64\ 000\ 000} = 8\ 000(\mathrm{m/s})$
【答案】
第一宇宙速度$v_1$约为8 000 m/s。
【知识点】
算术平方根应用，代数式代入求值
【点评】
本题是跨学科的实际应用题，将数学平方根知识和物理宇宙速度场景结合，解题核心是理解实际问题中算术平方根的取值要求，运算难度低，侧重考查基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.8
12. 如图所示的正方形纸板是由两块大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一块长方形纸板的面积为162 $\mathrm{cm}^2$.
(1)求正方形纸板的边长；
(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为216 $\mathrm{cm}^3$ 的正方体，求剩余纸板的面积.
(1)求正方形纸板的边长；
(2)若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为216 $\mathrm{cm}^3$ 的正方体，求剩余纸板的面积.
答案
12.解:(1)依题意得$\sqrt{162×2}=18(\mathrm{cm})$,即正方形纸板的边长为18 cm.
(2)依题意,得$\sqrt[3]{216}=6(\mathrm{cm})$,剩余纸板的面积$=162×2-6×6×6=108(\mathrm{cm}^2)$,即剩余纸板的面积为108 $\mathrm{cm}^2$.
(2)依题意,得$\sqrt[3]{216}=6(\mathrm{cm})$,剩余纸板的面积$=162×2-6×6×6=108(\mathrm{cm}^2)$,即剩余纸板的面积为108 $\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 首先明确正方形由两块面积为$162\mathrm{cm}^2$的相同长方形拼接而成，因此正方形总面积为两个长方形面积之和。已知正方形面积等于边长的平方，要求边长只需对正方形总面积求算术平方根（边长为正数，故取正的平方根）即可。
(2) 要拼成体积为$216\mathrm{cm}^3$的正方体，首先根据正方体体积等于棱长的立方，对体积开立方得到正方体棱长。再计算拼成该正方体需要的纸板总面积，也就是正方体的表面积（6个相同正方形面的面积和），最后用原正方形纸板的总面积减去正方体表面积，即可得到剩余纸板的面积。
【解析】
(1) 先计算正方形纸板的总面积：
$S_{\mathrm{正方形}}=162×2=324(\mathrm{cm}^2)$
根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长），得：
$a=\sqrt{324}=18(\mathrm{cm})$
(2) 先求正方体的棱长：
根据正方体体积公式$V=l^3$（$l$为正方体棱长），得：
$l=\sqrt[3]{216}=6(\mathrm{cm})$
再计算正方体的表面积：
$S_{\mathrm{正方体表}}=6×6×6=216(\mathrm{cm}^2)$
剩余纸板面积为：
$S_{\mathrm{剩余}}=324-216=108(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 正方形纸板的边长为18 cm；
(2) 剩余纸板的面积为108 $\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
算术平方根的应用，立方根的应用，几何体表面积与体积计算
【点评】
本题结合实际场景考查平方根和立方根的基础运算，解题核心是准确掌握几何量之间的对应关系，计算时结合实际意义取符合要求的根即可，整体运算量不大。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确正方形由两块面积为$162\mathrm{cm}^2$的相同长方形拼接而成，因此正方形总面积为两个长方形面积之和。已知正方形面积等于边长的平方，要求边长只需对正方形总面积求算术平方根（边长为正数，故取正的平方根）即可。
(2) 要拼成体积为$216\mathrm{cm}^3$的正方体，首先根据正方体体积等于棱长的立方，对体积开立方得到正方体棱长。再计算拼成该正方体需要的纸板总面积，也就是正方体的表面积（6个相同正方形面的面积和），最后用原正方形纸板的总面积减去正方体表面积，即可得到剩余纸板的面积。
【解析】
(1) 先计算正方形纸板的总面积：
$S_{\mathrm{正方形}}=162×2=324(\mathrm{cm}^2)$
根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长），得：
$a=\sqrt{324}=18(\mathrm{cm})$
(2) 先求正方体的棱长：
根据正方体体积公式$V=l^3$（$l$为正方体棱长），得：
$l=\sqrt[3]{216}=6(\mathrm{cm})$
再计算正方体的表面积：
$S_{\mathrm{正方体表}}=6×6×6=216(\mathrm{cm}^2)$
剩余纸板面积为：
$S_{\mathrm{剩余}}=324-216=108(\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) 正方形纸板的边长为18 cm；
(2) 剩余纸板的面积为108 $\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
算术平方根的应用，立方根的应用，几何体表面积与体积计算
【点评】
本题结合实际场景考查平方根和立方根的基础运算，解题核心是准确掌握几何量之间的对应关系，计算时结合实际意义取符合要求的根即可，整体运算量不大。
【难度系数】
0.7
