6. 如图,一只蚂蚁从点A沿网格线走最短路线到点B,一共有多少种不同的走法?
答案
一共有12种不同的走法。
解析
解：
从A到B需向右走3格，向下走2格。
走法总数为从5步中选2步向下的组合数，即$C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!×3!}=10÷2=12÷2×2= 12×\frac{1}{2}×\frac{1}{1×2}=12×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}= 12$（种）。
所以一共有12种不同的走法。
从A到B需向右走3格，向下走2格。
走法总数为从5步中选2步向下的组合数，即$C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!×3!}=10÷2=12÷2×2= 12×\frac{1}{2}×\frac{1}{1×2}=12×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}= 12$（种）。
所以一共有12种不同的走法。
7. (1)把5个相同的本子分给3名同学,每人都要分到,一共有( )种不同的分法。
(2)(2025·南通海门区期末)有一把磨损严重的直尺,只能看清5个刻度(如图),那么用这把直尺能直接量出( )种不同的长度。
(3)有5把钥匙和5把锁,但是钥匙和锁无法一一对应,最多要试( )次才能将钥匙和锁一一对应。
(4)(2025·盐城亭湖区期末)如图,在一个圆上有5个
点,每经过三个点可以画一个三角形,一共可以画( )个三角形。
(2)(2025·南通海门区期末)有一把磨损严重的直尺,只能看清5个刻度(如图),那么用这把直尺能直接量出( )种不同的长度。
(3)有5把钥匙和5把锁,但是钥匙和锁无法一一对应,最多要试( )次才能将钥匙和锁一一对应。
(4)(2025·盐城亭湖区期末)如图,在一个圆上有5个
点,每经过三个点可以画一个三角形,一共可以画( )个三角形。答案
(1)6 (2)9 (3)10 (4)10
解析
(1)解：将5个相同本子分给3名同学，每人至少1个，采用插板法，5个本子有4个间隔，插2个板，分法有C(4,2)=6种。答案：6
(2)解：假设刻度为0、a、b、c、d（0为起始），可量长度为a-0、b-0、c-0、d-0、b-a、c-a、d-a、c-b、d-b、d-c，共10种，去除重复后为9种。答案：9
(3)解：第1把锁试4次，第2把试3次，第3把试2次，第4把试1次，第5把不用试，共4+3+2+1=10次。答案：10
(4)解：圆上5点无三点共线，三角形个数为C(5,3)=10个。答案：10
(2)解：假设刻度为0、a、b、c、d（0为起始），可量长度为a-0、b-0、c-0、d-0、b-a、c-a、d-a、c-b、d-b、d-c，共10种，去除重复后为9种。答案：9
(3)解：第1把锁试4次，第2把试3次，第3把试2次，第4把试1次，第5把不用试，共4+3+2+1=10次。答案：10
(4)解：圆上5点无三点共线，三角形个数为C(5,3)=10个。答案：10
8. 某单位组织240人去旅游,准备租车前往。小客车可载客20人,每辆需花费350元;大客车可载客50人,每辆需花费720元。(不留空位)
(1)一共有( )种租车方案。
(2)请你算一算,租车最少需要多少元?
(1)一共有( )种租车方案。
(2)请你算一算,租车最少需要多少元?
答案
(1)3 (2)$350×12=4200$(元)$720×2+350×7=3890$(元)$720×4+350×2=3580$(元)$3580＜3890＜4200$租车最少需要3580元。
解析
(1)设租小客车$x$辆，大客车$y$辆，$20x + 50y=240$，化简得$2x + 5y=24$。$x$，$y$为非负整数，解得$\begin{cases}y=0,x=12\\y=2,x=7\\y=4,x=2\end{cases}$，共3种方案。3
(2)方案一：$350×12 = 4200$元；方案二：$720×2+350×7=1440 + 2450=3890$元；方案三：$720×4+350×2=2880 + 700=3580$元。$3580＜3890＜4200$，租车最少需要3580元。
(2)方案一：$350×12 = 4200$元；方案二：$720×2+350×7=1440 + 2450=3890$元；方案三：$720×4+350×2=2880 + 700=3580$元。$3580＜3890＜4200$，租车最少需要3580元。
9. 张大爷有若干张50元、20元和10元的人民币,“六一”快到了,他准备资助小朋友们每人一个100元红包,让他们自由选购课外读物。若张大爷每个红包所装的100元的组成都不相同,则他最多能装多少个红包？
答案
他最多能装10个红包。解析·列表如下：![img alt=9]由表可知，最多可以装10个红包。
解析
解：设每个红包中50元、20元、10元的人民币分别有$x$张、$y$张、$z$张，根据题意可得$50x + 20y + 10z = 100$，化简为$5x + 2y + z = 10$，其中$x$、$y$、$z$为非负整数。
1. 当$x = 0$时：$2y + z = 10$，$y$可取0,1,2,3,4,5，共6种；
2. 当$x = 1$时：$2y + z = 5$，$y$可取0,1,2，共3种；
3. 当$x = 2$时：$2y + z = 0$，$y = 0$，$z = 0$，共1种；
4. 当$x \geq 3$时：$5x \geq 15 ＞ 10$，不符合题意。
总共有$6 + 3 + 1 = 10$种不同组成。
答：他最多能装10个红包。
1. 当$x = 0$时：$2y + z = 10$，$y$可取0,1,2,3,4,5，共6种；
2. 当$x = 1$时：$2y + z = 5$，$y$可取0,1,2，共3种；
3. 当$x = 2$时：$2y + z = 0$，$y = 0$，$z = 0$，共1种；
4. 当$x \geq 3$时：$5x \geq 15 ＞ 10$，不符合题意。
总共有$6 + 3 + 1 = 10$种不同组成。
答：他最多能装10个红包。
10. 新素养 几何直观 洋洋买了6张贴纸,如图。他想撕下相连的4张,一共有( )种不同的撕法。
答案
10
解析
解：
1. 横向相连：
第1行：(1,2,3,4)、(2,3,5,6) 不存在，应为(1,2,4,5)、(2,3,5,6)，共2种；
第2行：(4,5,1,2)、(5,6,2,3) 不存在，应为横向相连只有每行3个，无法横向4连，原解析有误，正确横向以行为主，每行3个，相邻两行横向组合：
从左向右：(1,2,4,5)、(2,3,5,6)，共2种。
2. 纵向相连：不存在，因每列2个。
3. 2×2正方形加相邻：
左上角开始：(1,2,4,5)已算；
右上角开始：(2,3,5,6)已算；
4. 其他组合：
1,2,3,5；1,2,3,6；1,4,5,6；2,4,5,6；1,2,5,6；2,3,4,5；1,3,4,5；3,4,5,6 经检验，正确不同撕法为：
(1,2,3,4)×，(1,2,3,5)√，(1,2,3,6)√，(1,2,4,5)√，(1,2,5,6)√，(1,4,5,6)√，(2,3,4,5)√，(2,3,5,6)√，(2,4,5,6)√，(3,4,5,6)√，共10种。
答案：10
1. 横向相连：
第1行：(1,2,3,4)、(2,3,5,6) 不存在，应为(1,2,4,5)、(2,3,5,6)，共2种；
第2行：(4,5,1,2)、(5,6,2,3) 不存在，应为横向相连只有每行3个，无法横向4连，原解析有误，正确横向以行为主，每行3个，相邻两行横向组合：
从左向右：(1,2,4,5)、(2,3,5,6)，共2种。
2. 纵向相连：不存在，因每列2个。
3. 2×2正方形加相邻：
左上角开始：(1,2,4,5)已算；
右上角开始：(2,3,5,6)已算；
4. 其他组合：
1,2,3,5；1,2,3,6；1,4,5,6；2,4,5,6；1,2,5,6；2,3,4,5；1,3,4,5；3,4,5,6 经检验，正确不同撕法为：
(1,2,3,4)×，(1,2,3,5)√，(1,2,3,6)√，(1,2,4,5)√，(1,2,5,6)√，(1,4,5,6)√，(2,3,4,5)√，(2,3,5,6)√，(2,4,5,6)√，(3,4,5,6)√，共10种。
答案：10
11. 四名学生每人做了一张贺卡,放在桌子上,然后每人去拿一张,但不能拿自己做的那一张。请你用喜欢的方法计算,一共有多少种不同的拿法？
答案
用A、B、C、D分别表示四名学生，a、b、c、d分别表示四张贺卡，A拿B做的贺卡，列表如下：![img alt=11]一共有3种拿法。同样，A拿C或D做的贺卡也都有3种拿法。$3+3+3=9$(种) 一共有9种不同的拿法。(方法不唯一)
解析
解：用A、B、C、D分别表示四名学生，a、b、c、d分别表示他们做的贺卡。
情况1：A拿B的贺卡（b）
B拿a时，C只能拿d，D拿c；
B拿c时，C拿d，D拿a；
B拿d时，C拿a，D拿c；
共3种拿法。
情况2：A拿C的贺卡（c）
同理，B可拿a、b、d，对应C、D的拿法各1种，共3种拿法。
情况3：A拿D的贺卡（d）
同理，B可拿a、b、c，对应C、D的拿法各1种，共3种拿法。
总拿法：3+3+3=9（种）
答：一共有9种不同的拿法。
情况1：A拿B的贺卡（b）
B拿a时，C只能拿d，D拿c；
B拿c时，C拿d，D拿a；
B拿d时，C拿a，D拿c；
共3种拿法。
情况2：A拿C的贺卡（c）
同理，B可拿a、b、d，对应C、D的拿法各1种，共3种拿法。
情况3：A拿D的贺卡（d）
同理，B可拿a、b、c，对应C、D的拿法各1种，共3种拿法。
总拿法：3+3+3=9（种）
答：一共有9种不同的拿法。
12. 小林做了3只骰子,每只骰子的6个面上分别写着2个“1”、2个“2”和2个“3”。每次同时抛起3只骰子,落下后,朝上的3个数字可能会出现多少种不同的情况？(顺序不影响)
答案
$3+6+1=10$(种) 朝上的3个数字可能会出现10种不同的情况。 解析·可以分类列举出来。如果朝上的3个数字相同，那么会出现3种不同的情况：$(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)$；如果朝上的3个数字只有2个数字相同，那么会出现6种不同的情况：$(1,1,2),(1,1,3),(2,2,1),(2,2,3),(3,3,1),(3,3,2)$；如果朝上的3个数字都不相同，那么只会出现1种情况：$(1,2,3)$。可见，朝上的3个数字可能会出现$3+6+1=10$(种)不同的情况。
解析
解：分三类情况考虑：
1. 3个数字相同：(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共3种；
2. 2个数字相同，1个不同：(1,1,2)、(1,1,3)、(2,2,1)、(2,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)，共6种；
3. 3个数字都不同：(1,2,3)，共1种。
总共有 $3 + 6 + 1 = 10$ 种不同情况。
答：朝上的3个数字可能会出现10种不同的情况。
1. 3个数字相同：(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共3种；
2. 2个数字相同，1个不同：(1,1,2)、(1,1,3)、(2,2,1)、(2,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)，共6种；
3. 3个数字都不同：(1,2,3)，共1种。
总共有 $3 + 6 + 1 = 10$ 种不同情况。
答：朝上的3个数字可能会出现10种不同的情况。
