登录
1. 如图,$△ABC内接于\odot O,∠BAC= 45^{\circ }$,过点 B 作 BC 的垂线,交$\odot O$于点 D,并与 CA 的延长线交于点 E.
(1)求证:$BD= BC;$
(2)若$\odot O的半径r= 3,BE= 6$,求 CE 的长.
(1)求证:$BD= BC;$
(2)若$\odot O的半径r= 3,BE= 6$,求 CE 的长.
答案
解: (1) 连接 $ DC $，
则 $ \angle BDC = \angle BAC = 45^{\circ} $。
$ \because BD \perp BC $，
$ \therefore \angle BCD = 90^{\circ} - \angle BDC = 45^{\circ} $，
$ \therefore \angle BCD = \angle BDC $，
$ \therefore BD = BC $；
(2) $ \because \angle DBC = 90^{\circ} $，
$ \therefore CD $ 为 $ \odot O $ 的直径，
$ \therefore CD = 2r = 6 $，
$ \therefore BC = \frac{\sqrt{2}}{2}CD = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $，
$ \therefore EC = \sqrt{BE^{2} + BC^{2}} $
$ = \sqrt{6^{2} + (3\sqrt{2})^{2}} $
$ = 3\sqrt{6} $。
则 $ \angle BDC = \angle BAC = 45^{\circ} $。
$ \because BD \perp BC $，
$ \therefore \angle BCD = 90^{\circ} - \angle BDC = 45^{\circ} $，
$ \therefore \angle BCD = \angle BDC $，
$ \therefore BD = BC $；
(2) $ \because \angle DBC = 90^{\circ} $，
$ \therefore CD $ 为 $ \odot O $ 的直径，
$ \therefore CD = 2r = 6 $，
$ \therefore BC = \frac{\sqrt{2}}{2}CD = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} $，
$ \therefore EC = \sqrt{BE^{2} + BC^{2}} $
$ = \sqrt{6^{2} + (3\sqrt{2})^{2}} $
$ = 3\sqrt{6} $。
2. 如图,AB,AC,AD 为$\odot O$的弦,$∠BAC= 60^{\circ },∠DAC= 30^{\circ },AB= 4,AD= 6$,求 CD 的长.
答案
解: 连接 $ BD $，$ BC $。
$ \because \angle BAC = 60^{\circ} $，$ \angle DAC = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle BAD = 90^{\circ} $，
$ \therefore BD $ 是 $ \odot O $ 的直径，
$ \therefore \angle BCD = 90^{\circ} $。
$ \because AB = 4 $，$ AD = 6 $，
$ \therefore BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 2\sqrt{13} $，
$ \because \angle DBC = \angle CAD = 30^{\circ} $，
$ \therefore CD = \frac{1}{2}BD = \sqrt{13} $。
$ \because \angle BAC = 60^{\circ} $，$ \angle DAC = 30^{\circ} $，
$ \therefore \angle BAD = 90^{\circ} $，
$ \therefore BD $ 是 $ \odot O $ 的直径，
$ \therefore \angle BCD = 90^{\circ} $。
$ \because AB = 4 $，$ AD = 6 $，
$ \therefore BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = 2\sqrt{13} $，
$ \because \angle DBC = \angle CAD = 30^{\circ} $，
$ \therefore CD = \frac{1}{2}BD = \sqrt{13} $。
3. 如图,以$△ABC$的一边 AC 为直径的$\odot O$与其它两边 BC,AB 的交点分别为 D,E,且$\widehat {DE}= \widehat {CD}.$
(1)求证:$AB= AC;$
(2)若$\odot O$的半径为 5,$BD= 6$,求 AE 的长.
(1)求证:$AB= AC;$
(2)若$\odot O$的半径为 5,$BD= 6$,求 AE 的长.
答案
解: (1) 连接 $ AD $。$ \because \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{CD} $，
$ \therefore \angle BAD = \angle CAD $，
$ \because AC $ 为 $ \odot O $ 的直径，
$ \therefore AD \perp BC $，$ \therefore AB = AC $；
(2) 连接 $ CE $。
$ \because AC $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ \therefore CE \perp AB $，
$ \because \odot O $ 的半径为 $ 5 $，$ BD = 6 $，
$ \therefore AB = AC = 10 $，$ CD = BD = 6 $，
设 $ AE = x $，则 $ BE = 10 - x $，
$ \because CE^{2} = AC^{2} - AE^{2} = BC^{2} - BE^{2} $，
$ \therefore 10^{2} - x^{2} = 12^{2} - (10 - x)^{2} $，
解得 $ x = \frac{14}{5} $。$ \therefore AE $ 的长为 $ \frac{14}{5} $。
$ \therefore \angle BAD = \angle CAD $，
$ \because AC $ 为 $ \odot O $ 的直径，
$ \therefore AD \perp BC $，$ \therefore AB = AC $；
(2) 连接 $ CE $。
$ \because AC $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ \therefore CE \perp AB $，
$ \because \odot O $ 的半径为 $ 5 $，$ BD = 6 $，
$ \therefore AB = AC = 10 $，$ CD = BD = 6 $，
设 $ AE = x $，则 $ BE = 10 - x $，
$ \because CE^{2} = AC^{2} - AE^{2} = BC^{2} - BE^{2} $，
$ \therefore 10^{2} - x^{2} = 12^{2} - (10 - x)^{2} $，
解得 $ x = \frac{14}{5} $。$ \therefore AE $ 的长为 $ \frac{14}{5} $。
4. 如图,在$△ABC$中,$BC= 4\sqrt {2},∠BAC= 135^{\circ }$,求$△ABC的外接圆\odot O$的半径.
答案
解: 作直径 $ CD $，连接 $ BD $。
$ \because \angle D + \angle BAC = 180^{\circ} $，
$ \angle BAC = 135^{\circ} $，
$ \therefore \angle D = 45^{\circ} $。
$ \because CD $ 为 $ \odot O $ 的直径，
$ \therefore \angle DBC = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle BCD = \angle D = 45^{\circ} $，
$ \therefore CD = \sqrt{2}BC = 8 $，
$ \therefore \odot O $ 的半径为 $ 4 $。
$ \because \angle D + \angle BAC = 180^{\circ} $，
$ \angle BAC = 135^{\circ} $，
$ \therefore \angle D = 45^{\circ} $。
$ \because CD $ 为 $ \odot O $ 的直径，
$ \therefore \angle DBC = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle BCD = \angle D = 45^{\circ} $，
$ \therefore CD = \sqrt{2}BC = 8 $，
$ \therefore \odot O $ 的半径为 $ 4 $。
