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3. 如图，阴影部分面积为40 cm²，圆环的面积是多少？（结果用含π的式子表示）
答案
3. 解 设外圆半径为R cm,内圆半径为r cm,$S_{阴影}=\frac{1}{2}(R^2-r^2)=40$,则$R^2-r^2=80$.圆环的面积为$π(R^2-r^2)=80π \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题时先观察阴影部分的构成：阴影面积等于直角边为外圆半径$R$的大等腰直角三角形面积，减去直角边为内圆半径$r$的小等腰直角三角形面积。先根据阴影面积的已知条件求出$R^2 - r^2$的值，再代入圆环面积公式计算即可，不需要单独求出$R$和$r$的具体数值，用整体代换的思路更简便。
【解析】
设外圆半径为$R\ \mathrm{cm}$，内圆半径为$r\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式，阴影部分面积为：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}r^2 = \frac{1}{2}(R^2 - r^2)$
已知$S_{阴影}=40\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}(R^2 - r^2)=40$
解得：$R^2 - r^2 = 80$
圆环面积公式为$S_{圆环}=π(R^2 - r^2)$，将$R^2 - r^2=80$代入得：
$S_{圆环}=π×80=80π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$80π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算、三角形面积计算、整体代换
【点评】
本题的核心是利用阴影部分面积的表达式，推导出圆环面积公式所需的$R^2 - r^2$的值，无需单独求解半径，重点考察整体代入的解题思路，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.65
解题时先观察阴影部分的构成：阴影面积等于直角边为外圆半径$R$的大等腰直角三角形面积，减去直角边为内圆半径$r$的小等腰直角三角形面积。先根据阴影面积的已知条件求出$R^2 - r^2$的值，再代入圆环面积公式计算即可，不需要单独求出$R$和$r$的具体数值，用整体代换的思路更简便。
【解析】
设外圆半径为$R\ \mathrm{cm}$，内圆半径为$r\ \mathrm{cm}$。
根据三角形面积公式，阴影部分面积为：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}R^2 - \frac{1}{2}r^2 = \frac{1}{2}(R^2 - r^2)$
已知$S_{阴影}=40\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{1}{2}(R^2 - r^2)=40$
解得：$R^2 - r^2 = 80$
圆环面积公式为$S_{圆环}=π(R^2 - r^2)$，将$R^2 - r^2=80$代入得：
$S_{圆环}=π×80=80π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$80π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆环面积计算、三角形面积计算、整体代换
【点评】
本题的核心是利用阴影部分面积的表达式，推导出圆环面积公式所需的$R^2 - r^2$的值，无需单独求解半径，重点考察整体代入的解题思路，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.65
4.已知圆锥的体积$V=\frac{1}{3}π r^2 h$，其中$r$为底面半径，$h$为圆锥的高.当$r=3\ \mathrm{cm},h=4\ \mathrm{cm}$时，则圆锥的体积为
$12π \mathrm{cm}^3$
.答案
4. $12π \mathrm{cm}^3$ 解析 当$r=3\ \mathrm{cm},h=4\ \mathrm{cm}$时,$V=\frac{1}{3}×π×3^2×4=12π(\mathrm{cm}^3)$.
解析
【分析】
本题是已知几何体体积公式的直接求值题，解题思路如下：第一步先明确公式中各字母对应的已知量，本题中r对应底面半径3cm，h对应圆锥的高4cm；第二步将数值准确代入公式对应的位置；第三步按照有理数运算顺序，先算乘方，再算乘法，最终得到结果，同时注意不要遗漏体积单位。
【解析】
解：将$r=3\ \mathrm{cm}$，$h=4\ \mathrm{cm}$代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
第一步：计算$r^2=3^2=9$；
第二步：代入数值计算：
$V=\frac{1}{3}×π×9×4$
$=3×π×4$
$=12π(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$12π \mathrm{cm}^3$
【知识点】
代数式求值、圆锥体积公式应用、有理数混合运算
【点评】
本题是基础计算题，核心考查公式的直接代入应用，运算步骤简单，只要准确对应字母对应的数值、按运算顺序计算，同时注意体积单位的书写即可得分。
【难度系数】
0.9
本题是已知几何体体积公式的直接求值题，解题思路如下：第一步先明确公式中各字母对应的已知量，本题中r对应底面半径3cm，h对应圆锥的高4cm；第二步将数值准确代入公式对应的位置；第三步按照有理数运算顺序，先算乘方，再算乘法，最终得到结果，同时注意不要遗漏体积单位。
【解析】
解：将$r=3\ \mathrm{cm}$，$h=4\ \mathrm{cm}$代入圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2 h$：
第一步：计算$r^2=3^2=9$；
第二步：代入数值计算：
$V=\frac{1}{3}×π×9×4$
$=3×π×4$
$=12π(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
$12π \mathrm{cm}^3$
【知识点】
代数式求值、圆锥体积公式应用、有理数混合运算
【点评】
本题是基础计算题，核心考查公式的直接代入应用，运算步骤简单，只要准确对应字母对应的数值、按运算顺序计算，同时注意体积单位的书写即可得分。
【难度系数】
0.9
5.某木工师傅制作的一个工件如图中阴影部分所示.
(1)用代数式表示工件的面积.
(2)当$a=8\ \mathrm{cm},b=12\ \mathrm{cm}$时,工件的面积是多少?(结果用含$π$的式子表示)
(1)用代数式表示工件的面积.
(2)当$a=8\ \mathrm{cm},b=12\ \mathrm{cm}$时,工件的面积是多少?(结果用含$π$的式子表示)
答案
5. 解 (1)工件的面积 $S=ab-\frac{π a^2}{4}$.(2)当 $a=8\ \mathrm{cm},b=12\ \mathrm{cm}$ 时,工件的面积 $S=8×12-\frac{π×8^2}{4}=(96-16π)\mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
解题思路：阴影部分是长方形减去内部空白圆形的组合图形，第一步先分别计算长方形和空白圆的面积，再用长方形面积减去圆的面积即可得到工件面积；第二问直接将给定的a、b的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。首先明确长方形的长为b、宽为a，面积公式为长×宽；再观察到圆的直径等于长方形的宽a，可得圆的半径为$\frac{a}{2}$，结合圆的面积公式$π r^2$即可得到空白部分面积，最后作差得到阴影面积。
【解析】
(1) 先计算长方形的面积：长方形长为$b$，宽为$a$，则$S_{\mathrm{长方形}}=ab$。
空白部分为圆形，圆的直径等于长方形的宽$a$，因此圆的半径$r=\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式可得：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{4}$
工件面积为阴影部分面积，等于长方形面积减去空白圆的面积，即：
$S=S_{\mathrm{长方形}}-S_{\mathrm{圆}}=ab-\frac{π a^2}{4}$
(2) 将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=12\ \mathrm{cm}$代入上述代数式计算：
$S=8×12-\frac{π×8^2}{4}=96-\frac{64π}{4}=96-16π$
结果单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=ab-\dfrac{π a^2}{4}$
(2) $(96-16π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算题，核心解题方法是“整体减空白”，只要熟练掌握长方形、圆的面积公式，代入求值时注意运算顺序，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路：阴影部分是长方形减去内部空白圆形的组合图形，第一步先分别计算长方形和空白圆的面积，再用长方形面积减去圆的面积即可得到工件面积；第二问直接将给定的a、b的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。首先明确长方形的长为b、宽为a，面积公式为长×宽；再观察到圆的直径等于长方形的宽a，可得圆的半径为$\frac{a}{2}$，结合圆的面积公式$π r^2$即可得到空白部分面积，最后作差得到阴影面积。
【解析】
(1) 先计算长方形的面积：长方形长为$b$，宽为$a$，则$S_{\mathrm{长方形}}=ab$。
空白部分为圆形，圆的直径等于长方形的宽$a$，因此圆的半径$r=\frac{a}{2}$，根据圆的面积公式可得：
$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{4}$
工件面积为阴影部分面积，等于长方形面积减去空白圆的面积，即：
$S=S_{\mathrm{长方形}}-S_{\mathrm{圆}}=ab-\frac{π a^2}{4}$
(2) 将$a=8\ \mathrm{cm}$，$b=12\ \mathrm{cm}$代入上述代数式计算：
$S=8×12-\frac{π×8^2}{4}=96-\frac{64π}{4}=96-16π$
结果单位为$\mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $S=ab-\dfrac{π a^2}{4}$
(2) $(96-16π)\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，组合图形面积计算
【点评】
本题属于基础的组合图形面积计算题，核心解题方法是“整体减空白”，只要熟练掌握长方形、圆的面积公式，代入求值时注意运算顺序，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
