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7.已知锐角$∠ AOB$如图.
(1)在射线$OA$上取一点$C$,以点$O$为圆心,$OC$长为半径作$\overset{\frown}{PQ}$,交射线$OB$于点$D$,连结$CD$.
(2)分别以点$C$,$D$为圆心,$CD$长为半径作弧,交$\overset{\frown}{PQ}$于点$M$,$N$.
(3)连结$OM$,$ON$,$MN$.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论错误的是 (
A.$∠ COM=∠ COD$
B.若$OM=MN$,则$∠ AOB=20°$
C.$\overset{\frown}{MC}=\overset{\frown}{DN}$
D.$MN=3CD$
(1)在射线$OA$上取一点$C$,以点$O$为圆心,$OC$长为半径作$\overset{\frown}{PQ}$,交射线$OB$于点$D$,连结$CD$.
(2)分别以点$C$,$D$为圆心,$CD$长为半径作弧,交$\overset{\frown}{PQ}$于点$M$,$N$.
(3)连结$OM$,$ON$,$MN$.
根据以上作图过程及所作图形,下列结论错误的是 (
D
)A.$∠ COM=∠ COD$
B.若$OM=MN$,则$∠ AOB=20°$
C.$\overset{\frown}{MC}=\overset{\frown}{DN}$
D.$MN=3CD$
答案
7.D
解析
【分析】
本题考查尺规作图与圆的性质的结合应用，解题思路如下：第一步先从作图步骤中提取相等的线段：同圆半径相等可得OC=OD=OM=ON，第二步作图可得CM=CD=DN；第二步结合全等三角形判定、圆心角与弧弦的对应关系、等边三角形性质、线段公理对四个选项逐一分析，找出错误结论即可。
【解析】
解：由作图过程可知：OC=OD=OM=ON（均为$\overset{\frown}{PQ}$所在圆的半径），且$CM=CD$，$DN=CD$。
对选项A：在$△ COM$和$△ COD$中，$\{\begin{array}{l}OC=OC\\OM=OD\\CM=CD\end{array} $，
∴$△ COM ≌ △ COD$（SSS），
∴$∠COM=∠COD$，A结论正确，不符合题意。
对选项C：同理可证$△ DON ≌ △ COD$，
∴$∠DON=∠COD$，
∴$∠COM=∠DON$，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{MC}=\overset{\frown}{DN}$，C结论正确，不符合题意。
对选项B：若$OM=MN$，结合$OM=ON$，可得$△ OMN$是等边三角形，
∴$∠MON=60°$。由$∠COM=∠COD=∠DON=∠AOB$，得$∠MON=3∠AOB=60°$，解得$∠AOB=20°$，B结论正确，不符合题意。
对选项D：连接$CM$、$DN$，可得$CM=CD=DN$，根据“两点之间，线段最短”，得$MN＜CM+CD+DN=3CD$，即$MN$不可能等于$3CD$，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦的关系；全等三角形判定；等边三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的基础性质，解题核心是准确从作图步骤中提取相等的线段，再结合相关几何性质逐一验证选项，需要学生掌握基础的几何定理并能灵活应用。
【难度系数】
0.7
本题考查尺规作图与圆的性质的结合应用，解题思路如下：第一步先从作图步骤中提取相等的线段：同圆半径相等可得OC=OD=OM=ON，第二步作图可得CM=CD=DN；第二步结合全等三角形判定、圆心角与弧弦的对应关系、等边三角形性质、线段公理对四个选项逐一分析，找出错误结论即可。
【解析】
解：由作图过程可知：OC=OD=OM=ON（均为$\overset{\frown}{PQ}$所在圆的半径），且$CM=CD$，$DN=CD$。
对选项A：在$△ COM$和$△ COD$中，$\{\begin{array}{l}OC=OC\\OM=OD\\CM=CD\end{array} $，
∴$△ COM ≌ △ COD$（SSS），
∴$∠COM=∠COD$，A结论正确，不符合题意。
对选项C：同理可证$△ DON ≌ △ COD$，
∴$∠DON=∠COD$，
∴$∠COM=∠DON$，同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
∴$\overset{\frown}{MC}=\overset{\frown}{DN}$，C结论正确，不符合题意。
对选项B：若$OM=MN$，结合$OM=ON$，可得$△ OMN$是等边三角形，
∴$∠MON=60°$。由$∠COM=∠COD=∠DON=∠AOB$，得$∠MON=3∠AOB=60°$，解得$∠AOB=20°$，B结论正确，不符合题意。
对选项D：连接$CM$、$DN$，可得$CM=CD=DN$，根据“两点之间，线段最短”，得$MN＜CM+CD+DN=3CD$，即$MN$不可能等于$3CD$，D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
圆心角弧弦的关系；全等三角形判定；等边三角形性质
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的基础性质，解题核心是准确从作图步骤中提取相等的线段，再结合相关几何性质逐一验证选项，需要学生掌握基础的几何定理并能灵活应用。
【难度系数】
0.7
8.如图所示，在$\odot O$中，AB，CD是弦，$OE ⊥ AB$于点E，$OF ⊥ CD$于点F，并且$AB = \overset{\frown}{CD}$，
(1)求证：$∠ AEF = ∠ CFE$.
(2)若$∠ EOF = 120°$，$OE = 4\ \mathrm{cm}$，求EF的长.
(1)求证：$∠ AEF = ∠ CFE$.
(2)若$∠ EOF = 120°$，$OE = 4\ \mathrm{cm}$，求EF的长.
答案
8.解:(1)连结 OA,OC,$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore AB=CD$.又$\because OE⊥ AB,OF⊥ CD,\therefore OE=OF,\therefore ∠ OEF=∠ OFE,\therefore ∠ AEF=90°-∠ OEF=90°-∠ OFE=∠ CFE$;即$∠ AEF=∠ CFE$.
(2)过点 O 作 $OH⊥ EF$,垂足为 H.$\because ∠ EOF=120°,OE=OF,OH⊥ EF,\therefore ∠ EOH=60°,\therefore ∠ OEH=30°$.$\because OE=4$,$\therefore OH=2,\therefore EH=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},\therefore EF=2EH=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
(2)过点 O 作 $OH⊥ EF$,垂足为 H.$\because ∠ EOF=120°,OE=OF,OH⊥ EF,\therefore ∠ EOH=60°,\therefore ∠ OEH=30°$.$\because OE=4$,$\therefore OH=2,\therefore EH=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3},\therefore EF=2EH=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】
(1) 要证明$∠ AEF=∠ CFE$，先从已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$入手：同圆中等弧对应等弦，且相等的弦对应的弦心距相等，可得$OE=OF$，则$△ OEF$为等腰三角形，底角$∠ OEF=∠ OFE$；再结合$OE⊥ AB$、$OF⊥ CD$得到的两个直角，用直角分别减去两个相等的底角，即可推导出待证的角相等。
(2) 已知$△ OEF$是顶角为$120°$、腰长为4cm的等腰三角形，要求底边$EF$的长，可利用等腰三角形三线合一的性质，作底边的高$OH$，将$△ OEF$拆分为两个含$30°$角的直角三角形，先根据30°角所对直角边是斜边一半求出$OH$，再用勾股定理求出$EH$的长度，乘以2即可得到$EF$的长。
【解析】
(1) 证明：连结$OA$、$OC$，
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AB=CD$（同圆中等弧对等弦），
又$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore OE=OF$（同圆中相等的弦对应的弦心距相等），
$\therefore ∠ OEF=∠ OFE$，
$\because ∠ AEF=90°-∠ OEF$，$∠ CFE=90°-∠ OFE$，
$\therefore ∠ AEF=∠ CFE$。
(2) 解：过点$O$作$OH⊥ EF$，垂足为$H$，
$\because OE=OF$，$OH⊥ EF$，$∠ EOF=120°$，
$\therefore ∠ EOH=\frac{1}{2}∠ EOF=60°$，
$\therefore ∠ OEH=90°-60°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ OEH$中，$OE=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OH=\frac{1}{2}OE=2\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$EH=\sqrt{OE^2-OH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore EF=2EH=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ AEF=∠ CFE$，证明成立；
(2) $EF$的长为$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 弧弦弦心距的关系
2. 等腰三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质和三角形性质结合考查，解题时要注意从已知的等弧条件出发，逐步推导边、角的等量关系，计算部分利用等腰三角形三线合一转化为直角三角形求解即可，是圆章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$∠ AEF=∠ CFE$，先从已知条件$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$入手：同圆中等弧对应等弦，且相等的弦对应的弦心距相等，可得$OE=OF$，则$△ OEF$为等腰三角形，底角$∠ OEF=∠ OFE$；再结合$OE⊥ AB$、$OF⊥ CD$得到的两个直角，用直角分别减去两个相等的底角，即可推导出待证的角相等。
(2) 已知$△ OEF$是顶角为$120°$、腰长为4cm的等腰三角形，要求底边$EF$的长，可利用等腰三角形三线合一的性质，作底边的高$OH$，将$△ OEF$拆分为两个含$30°$角的直角三角形，先根据30°角所对直角边是斜边一半求出$OH$，再用勾股定理求出$EH$的长度，乘以2即可得到$EF$的长。
【解析】
(1) 证明：连结$OA$、$OC$，
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore AB=CD$（同圆中等弧对等弦），
又$\because OE⊥ AB$，$OF⊥ CD$，
$\therefore OE=OF$（同圆中相等的弦对应的弦心距相等），
$\therefore ∠ OEF=∠ OFE$，
$\because ∠ AEF=90°-∠ OEF$，$∠ CFE=90°-∠ OFE$，
$\therefore ∠ AEF=∠ CFE$。
(2) 解：过点$O$作$OH⊥ EF$，垂足为$H$，
$\because OE=OF$，$OH⊥ EF$，$∠ EOF=120°$，
$\therefore ∠ EOH=\frac{1}{2}∠ EOF=60°$，
$\therefore ∠ OEH=90°-60°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ OEH$中，$OE=4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OH=\frac{1}{2}OE=2\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$EH=\sqrt{OE^2-OH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
$\therefore EF=2EH=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $∠ AEF=∠ CFE$，证明成立；
(2) $EF$的长为$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 弧弦弦心距的关系
2. 等腰三角形性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的基本性质和三角形性质结合考查，解题时要注意从已知的等弧条件出发，逐步推导边、角的等量关系，计算部分利用等腰三角形三线合一转化为直角三角形求解即可，是圆章节的常见典型题。
【难度系数】
0.7
9.如图所示，在$\odot O$中，弦$AB=CD$，延长$AB$到点$E$，延长$CD$到$F$，使得$BE=DF$。过$O$作$OP⊥ EF$，垂足为$P$，求证：$PE=PF$。
答案
9.证明:作 $OM⊥ AB,ON⊥ CD$,连结 OE,OF,$\because AB=CD$,
$\therefore BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=DN$,
$OM=ON$.
$\because BE=DF,\therefore ME=NF$.
又$\because ∠ OME=∠ ONF=90°$,
$\therefore △ OEM≌△ OFN.\therefore OE=OF$,
又$\because OP⊥ EF,\therefore PE=PF$.
解析
【分析】
要证明$PE=PF$，已知$OP⊥EF$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$OE=OF$即可。要证$OE=OF$，可通过证明$OE$、$OF$所在的直角三角形全等实现：结合已知弦$AB=CD$，根据圆的性质，相等的弦对应的弦心距相等，且半弦长相等，再结合$BE=DF$的条件即可得到全等所需的等边条件，进而完成证明。
【解析】
证明：作$OM⊥AB$于点$M$，$ON⊥CD$于点$N$，连结$OE$、$OF$。
∵$AB=CD$，根据垂径定理可得：
$BM=\frac{1}{2}AB$，$DN=\frac{1}{2}CD$，且相等的弦对应的弦心距相等，即$OM=ON$，
∴$BM=DN$。
又
∵$BE=DF$，
∴$BM+BE=DN+DF$，即$ME=NF$。
∵$OM⊥AB$，$ON⊥CD$，
∴$∠OME=∠ONF=90°$。
在$△OEM$和$△OFN$中：
$\{\begin{array}{l}OM=ON\\∠OME=∠ONF\\ME=NF\end{array} $
∴$△OEM≌△OFN$（SAS），
∴$OE=OF$。
又
∵$OP⊥EF$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$PE=PF$。
【答案】
证明:作 $OM⊥ AB,ON⊥ CD$,连结 OE,OF,$\because AB=CD$,
$\therefore BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=DN$,
$OM=ON$.
$\because BE=DF,\therefore ME=NF$.
又$\because ∠ OME=∠ ONF=90°$,
$\therefore △ OEM≌△ OFN.\therefore OE=OF$,
又$\because OP⊥ EF,\therefore PE=PF$.
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是圆性质应用的典型题，解题核心是通过作弦心距构造全等三角形，将待证的线段相等问题转化为等腰三角形的性质应用，能有效考查对圆的弦与弦心距关系、全等证明等知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明$PE=PF$，已知$OP⊥EF$，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明$OE=OF$即可。要证$OE=OF$，可通过证明$OE$、$OF$所在的直角三角形全等实现：结合已知弦$AB=CD$，根据圆的性质，相等的弦对应的弦心距相等，且半弦长相等，再结合$BE=DF$的条件即可得到全等所需的等边条件，进而完成证明。
【解析】
证明：作$OM⊥AB$于点$M$，$ON⊥CD$于点$N$，连结$OE$、$OF$。
∵$AB=CD$，根据垂径定理可得：
$BM=\frac{1}{2}AB$，$DN=\frac{1}{2}CD$，且相等的弦对应的弦心距相等，即$OM=ON$，
∴$BM=DN$。
又
∵$BE=DF$，
∴$BM+BE=DN+DF$，即$ME=NF$。
∵$OM⊥AB$，$ON⊥CD$，
∴$∠OME=∠ONF=90°$。
在$△OEM$和$△OFN$中：
$\{\begin{array}{l}OM=ON\\∠OME=∠ONF\\ME=NF\end{array} $
∴$△OEM≌△OFN$（SAS），
∴$OE=OF$。
又
∵$OP⊥EF$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$PE=PF$。
【答案】
证明:作 $OM⊥ AB,ON⊥ CD$,连结 OE,OF,$\because AB=CD$,
$\therefore BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=DN$,
$OM=ON$.
$\because BE=DF,\therefore ME=NF$.
又$\because ∠ OME=∠ ONF=90°$,
$\therefore △ OEM≌△ OFN.\therefore OE=OF$,
又$\because OP⊥ EF,\therefore PE=PF$.
【知识点】
垂径定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是圆性质应用的典型题，解题核心是通过作弦心距构造全等三角形，将待证的线段相等问题转化为等腰三角形的性质应用，能有效考查对圆的弦与弦心距关系、全等证明等知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
