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9. 在加固某段河坝时，需要动用15台机械，每台机械每小时能挖土$18\ \mathrm{m}^3$或运土$12\ \mathrm{m}^3$.为了使挖出的土能及时运走，若安排$x$台机械挖土，则可列方程为（
A.$18x - 12x = 15$
B.$18x = 12(15 - x)$
C.$12x = 18(15 - x)$
D.$18x + 12x = 15$
B
）A.$18x - 12x = 15$
B.$18x = 12(15 - x)$
C.$12x = 18(15 - x)$
D.$18x + 12x = 15$
答案
9.B
解析
【分析】
解题时首先要抓住核心要求“挖出的土能及时运走”，由此可得等量关系：每小时挖土总方量=每小时运土总方量。第一步先确定两类机械的数量：安排x台挖土，总共有15台机械，因此运土的机械数量为(15-x)台；第二步分别计算挖土、运土的总方量：总挖土量=单台挖土效率×挖土机械数，总运土量=单台运土效率×运土机械数；最后根据等量关系列出方程即可。
【解析】
已知安排$x$台机械挖土，则运土的机械数量为$(15-x)$台。
每小时总挖土量为：$18x\ \mathrm{m}^3$
每小时总运土量为：$12(15-x)\ \mathrm{m}^3$
要使挖出的土及时运走，需满足总挖土量=总运土量，因此可列方程：
$18x = 12(15-x)$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 配套问题
3. 等量关系列方程
【点评】
本题是典型的配套类应用题，解题的核心是找准“挖土总量和运土总量相等”的等量关系，理清不同分工的机械数量和对应工作效率即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要抓住核心要求“挖出的土能及时运走”，由此可得等量关系：每小时挖土总方量=每小时运土总方量。第一步先确定两类机械的数量：安排x台挖土，总共有15台机械，因此运土的机械数量为(15-x)台；第二步分别计算挖土、运土的总方量：总挖土量=单台挖土效率×挖土机械数，总运土量=单台运土效率×运土机械数；最后根据等量关系列出方程即可。
【解析】
已知安排$x$台机械挖土，则运土的机械数量为$(15-x)$台。
每小时总挖土量为：$18x\ \mathrm{m}^3$
每小时总运土量为：$12(15-x)\ \mathrm{m}^3$
要使挖出的土及时运走，需满足总挖土量=总运土量，因此可列方程：
$18x = 12(15-x)$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 配套问题
3. 等量关系列方程
【点评】
本题是典型的配套类应用题，解题的核心是找准“挖土总量和运土总量相等”的等量关系，理清不同分工的机械数量和对应工作效率即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.某工程甲单独做12天可以完成，乙单独做15天可以完成。现在两人合作，但途中乙因事离开了几天，最后一共花了8天把这项工程做完，则乙中途离开了
3
天。答案
10.3
解析
【分析】
这是典型的工程问题，解题时通常把总工作量看作单位“1”，先求出甲、乙各自的工作效率。已知整个工程共耗时8天，甲全程参与没有离开，因此可以先计算甲8天完成的工作量，剩余工作量均由乙完成，再结合乙的工作效率算出乙实际工作的天数，最后用总天数减去乙的工作天数，就能得到乙中途离开的天数。
【解析】
解：将这项工程的总工作量看作单位“1”。
甲的工作效率为：$1÷12=\frac{1}{12}$
乙的工作效率为：$1÷15=\frac{1}{15}$
甲全程工作8天，完成的工作量为：$8×\frac{1}{12}=\frac{2}{3}$
乙需要完成的工作量为：$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
乙的实际工作天数为：$\frac{1}{3}÷\frac{1}{15}=5$（天）
乙中途离开的天数为：$8-5=3$（天）
【答案】
3
【知识点】
工程问题、分数运算应用、工作量计算
【点评】
本题是工程类常见基础题型，解题核心是把总工作量设为单位“1”，抓住“甲全程参与工作”这一隐含条件，逐步推导乙的工作量和工作时间即可求解，解题时需注意理清工作效率、工作时间、工作量三者的对应关系。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程问题，解题时通常把总工作量看作单位“1”，先求出甲、乙各自的工作效率。已知整个工程共耗时8天，甲全程参与没有离开，因此可以先计算甲8天完成的工作量，剩余工作量均由乙完成，再结合乙的工作效率算出乙实际工作的天数，最后用总天数减去乙的工作天数，就能得到乙中途离开的天数。
【解析】
解：将这项工程的总工作量看作单位“1”。
甲的工作效率为：$1÷12=\frac{1}{12}$
乙的工作效率为：$1÷15=\frac{1}{15}$
甲全程工作8天，完成的工作量为：$8×\frac{1}{12}=\frac{2}{3}$
乙需要完成的工作量为：$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$
乙的实际工作天数为：$\frac{1}{3}÷\frac{1}{15}=5$（天）
乙中途离开的天数为：$8-5=3$（天）
【答案】
3
【知识点】
工程问题、分数运算应用、工作量计算
【点评】
本题是工程类常见基础题型，解题核心是把总工作量设为单位“1”，抓住“甲全程参与工作”这一隐含条件，逐步推导乙的工作量和工作时间即可求解，解题时需注意理清工作效率、工作时间、工作量三者的对应关系。
【难度系数】
0.7
11.为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上个月三种茶叶销售额的比值为$4:2:3$，本月六安瓜片的销售额是上个月销售额的$a$倍，黄山毛峰的销售额是上个月销售额的$(a-3)$倍，太平猴魁的销售额与上个月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上个月总销售额的2倍，求本月六安瓜片的销售额与上个月的销售额的比值。
答案
11.本月六安瓜片的销售额与上个月的销售额的比值为$\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
遇到已知多个量的比值的问题，我们通常可以先设每份的数值为参数，方便表示各个量。首先根据上个月三种茶叶的销售额比，设每份销售额为$x$，分别表示出上个月三种茶叶的销售额和总销售额；再根据本月各茶叶销售额的变化关系，表示出本月三种茶叶的销售额，结合“本月总销售额是上个月总销售额的2倍”这一等量关系列出方程，求解即可得到所求的比值$a$。
【解析】
设上个月三种茶叶销售额的每份为$x$（$x≠0$），则：
上个月六安瓜片销售额为$4x$，黄山毛峰销售额为$2x$，太平猴魁销售额为$3x$；
上个月三种茶叶总销售额为$4x+2x+3x=9x$。
本月六安瓜片销售额为$4ax$，黄山毛峰销售额为$2(a-3)x$，太平猴魁销售额为$3x$；
根据本月总销售额是上个月总销售额的2倍，列方程：
$4ax + 2(a-3)x + 3x = 2×9x$
因为$x≠0$，方程两边同时除以$x$，得：
$4a + 2(a-3) + 3 = 18$
去括号：$4a + 2a - 6 + 3 = 18$
合并同类项：$6a - 3 = 18$
移项计算：$6a = 21$，解得$a=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$。
【答案】
本月六安瓜片的销售额与上个月的销售额的比值为$\frac{7}{2}$。
【知识点】
比例的应用；一元一次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的比例类应用题，核心解题技巧是针对比例关系设参数简化运算，解题的关键是准确找到总销售额的等量关系列出方程，计算过程简单，侧重考察对比例设参方法的掌握和分析题意找等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
遇到已知多个量的比值的问题，我们通常可以先设每份的数值为参数，方便表示各个量。首先根据上个月三种茶叶的销售额比，设每份销售额为$x$，分别表示出上个月三种茶叶的销售额和总销售额；再根据本月各茶叶销售额的变化关系，表示出本月三种茶叶的销售额，结合“本月总销售额是上个月总销售额的2倍”这一等量关系列出方程，求解即可得到所求的比值$a$。
【解析】
设上个月三种茶叶销售额的每份为$x$（$x≠0$），则：
上个月六安瓜片销售额为$4x$，黄山毛峰销售额为$2x$，太平猴魁销售额为$3x$；
上个月三种茶叶总销售额为$4x+2x+3x=9x$。
本月六安瓜片销售额为$4ax$，黄山毛峰销售额为$2(a-3)x$，太平猴魁销售额为$3x$；
根据本月总销售额是上个月总销售额的2倍，列方程：
$4ax + 2(a-3)x + 3x = 2×9x$
因为$x≠0$，方程两边同时除以$x$，得：
$4a + 2(a-3) + 3 = 18$
去括号：$4a + 2a - 6 + 3 = 18$
合并同类项：$6a - 3 = 18$
移项计算：$6a = 21$，解得$a=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$。
【答案】
本月六安瓜片的销售额与上个月的销售额的比值为$\frac{7}{2}$。
【知识点】
比例的应用；一元一次方程的应用；列方程解应用题
【点评】
本题是典型的比例类应用题，核心解题技巧是针对比例关系设参数简化运算，解题的关键是准确找到总销售额的等量关系列出方程，计算过程简单，侧重考察对比例设参方法的掌握和分析题意找等量关系的能力。
【难度系数】
0.7
12. [易错题]将连续的奇数1,3,5,7,9,…,按一定规律排成下图.
图中的“T”字框框住了四个数，将“T”字框上、下、左、右移动，按同样的方式可框住另外四个数.
(1)设“T”字框内处于中间且靠上方的数是整个数表中从小到大排列的第n个数，则该数可表示为
(2)将“T”字框上、下、左、右移动，框住的四个数的和能等于406吗？如果能，求出这四个数；如果不能，请说明理由.
图中的“T”字框框住了四个数，将“T”字框上、下、左、右移动，按同样的方式可框住另外四个数.
(1)设“T”字框内处于中间且靠上方的数是整个数表中从小到大排列的第n个数，则该数可表示为
$2n-1$
，“T”字框内四个数的和为$8n+6$
.(用含n的代数式表示)(2)将“T”字框上、下、左、右移动，框住的四个数的和能等于406吗？如果能，求出这四个数；如果不能，请说明理由.
答案
12.(1)$2n-1$ $8n+6$
(2)由(1)可得 $8n+6=406$,解得 $n=50$.
由于数 $2n-1=99$,排在数表的第 10 行的最右边,它不能处于“T”字框内中间且靠上方的位置,所以不符合题意,故框住的四个数的和不能等于 406.
(2)由(1)可得 $8n+6=406$,解得 $n=50$.
由于数 $2n-1=99$,排在数表的第 10 行的最右边,它不能处于“T”字框内中间且靠上方的位置,所以不符合题意,故框住的四个数的和不能等于 406.
解析
【分析】
(1) 首先推导连续奇数的表达式：第1个奇数为$1=2×1-1$，第2个为$3=2×2-1$，以此类推可得第n个奇数的通式。再观察数表规律：同一行相邻奇数差2，上下行同列奇数差$2×5=10$，由此可写出T字框内其余三个数的表达式，相加化简即可得到四个数的和。
(2) 先根据第一问的和的表达式列一元一次方程求解n，再判断n对应的数的位置：数表每行排列5个数，若n是5的倍数，对应数在第5列（最右列），T字框中间靠上的数需要左右都有数字，因此最右列的数不符合要求，即可判断是否存在这样的四个数。
【解析】
(1) 连续的第n个奇数可表示为$2n-1$，即T字框内中间且靠上方的数为$2n-1$。
根据数表规律，T字框内其余三个数分别为：左边的数$2n-1-2=2n-3$，右边的数$2n-1+2=2n+1$，下方的数$2n-1+10=2n+9$。
四个数的和为：
$\begin{aligned}&(2n-1)+(2n-3)+(2n+1)+(2n+9)\\=&8n+6\end{aligned}$
(2) 假设框住的四个数的和能等于406，列方程：
$8n+6=406$
解得$n=50$。
此时中间靠上的数为$2×50-1=99$，由于每行有5个数，$50÷5=10$，说明99是第10行的第5个数，即该行最右侧的数，它的右侧没有数字，无法作为T字框中间靠上的位置，不符合题意。
因此框住的四个数的和不能等于406。
【答案】
(1) $2n-1$；$8n+6$
(2) 不能，理由：解得$n=50$时对应的数在数表最右列，无法作为T字框中间靠上的数，故不能等于406。
【知识点】
数字规律探究，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是规律探究类常考题，解题核心是先找准数字的排列规律，用代数式表示出目标量，再结合方程求解，需要注意求出方程的解后要验证是否符合实际框选的位置要求，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.6
(1) 首先推导连续奇数的表达式：第1个奇数为$1=2×1-1$，第2个为$3=2×2-1$，以此类推可得第n个奇数的通式。再观察数表规律：同一行相邻奇数差2，上下行同列奇数差$2×5=10$，由此可写出T字框内其余三个数的表达式，相加化简即可得到四个数的和。
(2) 先根据第一问的和的表达式列一元一次方程求解n，再判断n对应的数的位置：数表每行排列5个数，若n是5的倍数，对应数在第5列（最右列），T字框中间靠上的数需要左右都有数字，因此最右列的数不符合要求，即可判断是否存在这样的四个数。
【解析】
(1) 连续的第n个奇数可表示为$2n-1$，即T字框内中间且靠上方的数为$2n-1$。
根据数表规律，T字框内其余三个数分别为：左边的数$2n-1-2=2n-3$，右边的数$2n-1+2=2n+1$，下方的数$2n-1+10=2n+9$。
四个数的和为：
$\begin{aligned}&(2n-1)+(2n-3)+(2n+1)+(2n+9)\\=&8n+6\end{aligned}$
(2) 假设框住的四个数的和能等于406，列方程：
$8n+6=406$
解得$n=50$。
此时中间靠上的数为$2×50-1=99$，由于每行有5个数，$50÷5=10$，说明99是第10行的第5个数，即该行最右侧的数，它的右侧没有数字，无法作为T字框中间靠上的位置，不符合题意。
因此框住的四个数的和不能等于406。
【答案】
(1) $2n-1$；$8n+6$
(2) 不能，理由：解得$n=50$时对应的数在数表最右列，无法作为T字框中间靠上的数，故不能等于406。
【知识点】
数字规律探究，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题是规律探究类常考题，解题核心是先找准数字的排列规律，用代数式表示出目标量，再结合方程求解，需要注意求出方程的解后要验证是否符合实际框选的位置要求，避免忽略限制条件出错。
【难度系数】
0.6
