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【例1】已知 m 是方程 $x^2 + 2x - 5 = 0$ 的一个根，求代数式 $(m + 1)(m - 1) + 2(m + 4)$ 的值。
素养二 模型观念
发展模型观念，离不开建模思想，对于一些实际问题，通过分析建立相应的数学模型，可以将实际问题转化成数学问题求解。一元二次方程是一种重要的数学模型，应用一元二次方程可以求解部分实际问题。
素养二 模型观念
发展模型观念，离不开建模思想，对于一些实际问题，通过分析建立相应的数学模型，可以将实际问题转化成数学问题求解。一元二次方程是一种重要的数学模型，应用一元二次方程可以求解部分实际问题。
答案
12.
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程可得到关于m的等式，推出m²+2m的值；再将所求的代数式利用整式运算的法则化简，使化简后的式子中出现m²+2m的整体，最后代入数值计算即可，无需直接求解m的取值，能简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + 2x -5 = 0$的一个根，
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 + 2m -5 = 0$，即$m^2 + 2m = 5$。
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(m+1)(m-1) + 2(m+4)\\=&m^2 -1 + 2m + 8\\=&m^2 +2m +7\end{aligned}$
将$m^2 +2m =5$代入上式得：$5 +7 =12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整式化简
3. 整体代入求值
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程根的性质的理解，以及整式运算和整体代入思想的运用，避开直接求解方程的根，可减少计算量，是代数式求值的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程可得到关于m的等式，推出m²+2m的值；再将所求的代数式利用整式运算的法则化简，使化简后的式子中出现m²+2m的整体，最后代入数值计算即可，无需直接求解m的取值，能简化计算过程。
【解析】
∵ m是方程$x^2 + 2x -5 = 0$的一个根，
∴ 将x=m代入方程得：$m^2 + 2m -5 = 0$，即$m^2 + 2m = 5$。
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(m+1)(m-1) + 2(m+4)\\=&m^2 -1 + 2m + 8\\=&m^2 +2m +7\end{aligned}$
将$m^2 +2m =5$代入上式得：$5 +7 =12$。
【答案】
12
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整式化简
3. 整体代入求值
【点评】
本题侧重考查对一元二次方程根的性质的理解，以及整式运算和整体代入思想的运用，避开直接求解方程的根，可减少计算量，是代数式求值的常见题型。
【难度系数】
0.8
【例2】新能源汽车以电能作为动力来源，能够减少二氧化碳的排放，从而达到保护环境的目的，因此其市场需求逐年上升.某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆.已知该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率相同.
(1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率.
(2)在月平均增长率不变的情况下，请估算4月份该品牌新能源汽车的销售量.
(1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率.
(2)在月平均增长率不变的情况下，请估算4月份该品牌新能源汽车的销售量.
答案
(1)从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 10%.
(2)估算4月份该品牌新能源汽车的销售量为 39.93 万辆.
(2)估算4月份该品牌新能源汽车的销售量为 39.93 万辆.
解析
【分析】
本题是典型的增长率类实际应用题，解题思路清晰：①求解第一问的月平均增长率时，先设增长率为x，结合增长率问题的通用公式：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，已知1月销量为初始量30万辆，1月到3月共增长2次，3月销量为最终量36.3万辆，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果；②求解第二问的4月销量时，直接用3月销量乘以(1+月平均增长率)计算即可。
【解析】
(1) 设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$30(1+x)^2=36.3$
方程两边同时除以30得：
$(1+x)^2=1.21$
开平方得：
$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，不符合实际，舍去）。
(2) 已知月平均增长率为10%，则4月份的销售量为：
$36.3×(1+10\%)=36.3×1.1=39.93$（万辆）
【答案】
(1) 从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%。
(2) 4月份该品牌新能源汽车的销售量为39.93万辆。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 增长率计算
【点评】
本题结合生活实际考查增长率相关问题，解题核心是掌握增长率的计算公式，求解方程后要注意检验根是否符合实际意义，是比较基础的应用题。
【难度系数】
0.8
本题是典型的增长率类实际应用题，解题思路清晰：①求解第一问的月平均增长率时，先设增长率为x，结合增长率问题的通用公式：初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量，已知1月销量为初始量30万辆，1月到3月共增长2次，3月销量为最终量36.3万辆，代入公式列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果；②求解第二问的4月销量时，直接用3月销量乘以(1+月平均增长率)计算即可。
【解析】
(1) 设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意列方程：
$30(1+x)^2=36.3$
方程两边同时除以30得：
$(1+x)^2=1.21$
开平方得：
$1+x=\pm1.1$
解得$x_1=0.1=10\%$，$x_2=-2.1$（增长率不能为负，不符合实际，舍去）。
(2) 已知月平均增长率为10%，则4月份的销售量为：
$36.3×(1+10\%)=36.3×1.1=39.93$（万辆）
【答案】
(1) 从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%。
(2) 4月份该品牌新能源汽车的销售量为39.93万辆。
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 增长率计算
【点评】
本题结合生活实际考查增长率相关问题，解题核心是掌握增长率的计算公式，求解方程后要注意检验根是否符合实际意义，是比较基础的应用题。
【难度系数】
0.8
