例2 如图,抛物线$y=-x^2+2$,将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作$C_1$,将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作$C_2$,$C_1$和$C_2$构成的
图形记作$C_3$. 关于图形$C_3$,给出如下四个结论:

①图形$C_3$关于y轴成轴对称;
②图形$C_3$有最低点,且最低点的纵坐标为0;
③当$x＞0$时,图形$C_3$的函数值都是随着x的增大而增大的;
④当$-2≤x≤2$时,图形$C_3$恰好经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点).
以上四个结论中,所有正确结论的序号是.
答案:①②④
方法点拨 本题考查二次函数的图象与性质、轴对称变换(翻折变换)以及函数图象上点的坐标特征. 重在理解图形$C_3$的构成,并分析其对称性、增减性等.

解：
1. 验证结论①：
抛物线$y=-x^2+2$本身关于y轴对称，将其x轴下方部分沿x轴翻折后得到的$C_2$也关于y轴对称，因此$C_1$与$C_2$构成的图形$C_3$关于y轴对称，①正确。
2. 验证结论②：
$C_1$上所有点的纵坐标均大于等于0，$C_2$是原抛物线x轴下方部分沿x轴翻折得到的，翻折后所有点的纵坐标也均大于等于0，图形$C_3$与x轴的交点处纵坐标为0，是整个图形的最低点，②正确。
3. 验证结论③：
当$0＜x≤\sqrt{2}$时，$C_1$对应解析式为$y=-x^2+2$，此时y随x的增大而减小，因此$x＞0$时图形$C_3$的函数值并非都随x的增大而增大，③错误。
4. 验证结论④：
当$-2≤ x≤2$时，图形$C_3$经过的整点为$(-2,2)$、$(-1,1)$、$(0,2)$、$(1,1)$、$(2,2)$，共5个整点，④正确。
综上，所有正确结论的序号是$\boldsymbol{①②④}$。

【分析】
解题时首先要明确图形$C_3$的构成：由原抛物线$y=-x^2+2$在x轴及x轴上方的部分$C_1$，和原抛物线x轴下方部分沿x轴翻折得到的$C_2$共同组成。接下来逐一分析4个结论：①判断轴对称性，先看原抛物线的对称性，再结合翻折的特点判断整体对称性；②判断最低点，分别分析$C_1$、$C_2$上点的纵坐标取值范围，即可确定最低点的纵坐标；③判断增减性，要分区间讨论$x＞0$时对应函数的变化趋势，不能笼统判断；④计算整点，在$x\in[-2,2]$范围内取整数x，逐一计算对应图形$C_3$上的y值，统计横纵坐标均为整数的点的个数即可。
【解析】
1. 验证结论①：
抛物线$y=-x^2+2$的对称轴为y轴，本身关于y轴对称；将其x轴下方部分沿x轴翻折得到的$C_2$，翻折操作不改变关于y轴的对称性，因此$C_1$与$C_2$构成的图形$C_3$关于y轴对称，故①正确。
2. 验证结论②：
$C_1$是原抛物线x轴及上方的部分，所有点的纵坐标均满足$y≥0$；$C_2$是原抛物线x轴下方部分沿x轴翻折得到的，翻折后所有点的纵坐标也满足$y≥0$；图形$C_3$与x轴交点的纵坐标为0，是整个图形的最低点，故②正确。
3. 验证结论③：
当$0＜x≤\sqrt{2}$时，图形$C_3$对应的是$C_1$部分，解析式为$y=-x^2+2$，该区间内y随x的增大而减小，因此$x＞0$时图形$C_3$的函数值并非都随x的增大而增大，故③错误。
4. 验证结论④：
当$-2≤x≤2$时，逐一取整数x计算对应y值：
x=-2时，原抛物线$y=-(-2)^2+2=-2$，属于x轴下方部分，翻折后y=2，得整点$(-2,2)$；
x=-1时，原抛物线$y=-(-1)^2+2=1$，属于$C_1$，得整点$(-1,1)$；
x=0时，原抛物线$y=0+2=2$，属于$C_1$，得整点$(0,2)$；
x=1时，原抛物线$y=-1^2+2=1$，属于$C_1$，得整点$(1,1)$；
x=2时，原抛物线$y=-2^2+2=-2$，翻折后y=2，得整点$(2,2)$；
共5个整点，故④正确。
综上，正确结论的序号是①②④。
【答案】
$\boldsymbol{①②④}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，翻折变换的性质，点的坐标特征
【点评】
本题将二次函数性质与图形翻折相结合，解题的核心是准确理解图形$C_3$的构成，分析性质时要注意翻折前后坐标的变化规律，讨论增减性需结合对应区间的函数解析式判断，统计整点要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7

视野拓展
抛物线$y=ax^2+c$与$x$轴交于$A(m,0),B(n,0)$两点，且点$A$在点$B$右侧，与$y$轴交于点$C$，当$△ ABC$为直角三角形时，$a,c$满足的关系为。

$ac=-1$
解析:当$x=0$时,$y=c$,
$\therefore \quad C(0,c)$.
当$y=0$时,$ax^2+c=0$. 解得 $x=\pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}}$.
$\because \quad$ 点$A$在点$B$右侧,
$\therefore \quad A(\sqrt{-\dfrac{c}{a}},0), B(-\sqrt{-\dfrac{c}{a}},0)$, 且 $a, c$异号.
当$△ ABC$ 为直角三角形时,此时 $|m|=|n|=|c|$,
$\therefore \quad \left|\pm \sqrt{-\dfrac{c}{a}}\right|=|c|$.
$\therefore \quad -\dfrac{c}{a}=c^2$,即 $ac=-1$.

【分析】
解题时首先观察抛物线解析式的特征：$y=ax^2+c$无一次项，因此对称轴为y轴，可得A、B两点关于y轴对称，$△ ABC$为等腰三角形，若为直角三角形则直角顶点只能是C点。接下来分三步推导：第一步求抛物线与坐标轴的交点坐标，分别令$x=0$得C点坐标，令$y=0$解一元二次方程得A、B点坐标，同时由方程有两个不等实根可得a、c异号；第二步利用等腰直角三角形的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合O是AB中点，可得$OC=OA$；第三步将线段长度用坐标表示，列等式化简即可得到a、c的关系。
【解析】
解：当$x=0$时，$y=c$，$\therefore$点C坐标为$(0,c)$。
当$y=0$时，$ax^2+c=0$，解得$x=\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$。
$\because$点A在点B右侧，$\therefore A(\sqrt{-\dfrac{c}{a}},0)$，$B(-\sqrt{-\dfrac{c}{a}},0)$，且根号下的数大于0，即$-\dfrac{c}{a}＞0$，因此a、c异号。
$\because$抛物线对称轴为y轴，$\therefore OA=OB$，$△ ABC$为等腰三角形，若$△ ABC$为直角三角形，则直角只能为$∠ ACB$。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，O为AB中点，$\therefore OC=OA$。
即$\left|\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\right|=|c|$，两边平方得：$-\dfrac{c}{a}=c^2$。
$\because c≠0$（若$c=0$则C与原点重合，$△ ABC$不存在），两边同时除以c得：$-\dfrac{1}{a}=c$，整理得$ac=-1$。
【答案】
$ac=-1$
【知识点】
二次函数与坐标轴交点、抛物线的对称性、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题将二次函数的图象性质与几何图形性质结合考查，解题的突破口是利用抛物线的对称性判断出$△ ABC$为等腰直角三角形，进而得到线段等量关系，计算过程中要注意二次函数与x轴有两个交点时a、c的符号要求，避免化简时出现符号错误。
【难度系数】
0.6

1. 若$a＞0,c＜0$,则二次函数$y=ax^2+c$的图象大致是 ()

1.A

【分析】
要判断二次函数$y=ax^2+c$的图象，需结合系数的符号对应图象特征分析：第一步先看二次项系数$a$，$a$的符号决定抛物线的开口方向，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下，题目给出$a＞0$，可先排除开口向下的选项；第二步看常数项$c$，$c$是抛物线与$y$轴交点的纵坐标，$c＞0$时交点在$y$轴正半轴，$c＜0$时交点在$y$轴负半轴，题目给出$c＜0$，再排除交点在$y$轴正半轴的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+c$：
1. 由$a＞0$，可得抛物线开口向上，因此排除所有开口向下的选项；
2. 抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,c)$，已知$c＜0$，说明抛物线与$y$轴交于负半轴，结合剩余选项，只有选项A符合上述两个特征。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；$y=ax^2+k$的图象性质
【点评】
本题是二次函数图象判断的基础题型，核心考查系数对图象特征的影响，熟练掌握$a$、$c$对应的图象规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8