22. (本小题 8 分)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头 P 距地面 0.7 m,水柱在距喷水头 P 水平距离 5 m 处达到最高,最高点距地面 3.2 m.建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为 $y= a(x-h)^{2}+k$,其中 x(单位:m)是水柱距喷水头的水平距离,y(单位:m)是水柱距地面的高度.
(1) 求抛物线对应的函数解析式;
(2) 爸爸站在水柱正下方,且距喷水头 P 水平距离 3 m.身高 1.6 m 的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.

(1)$y = -0.1(x - 5)^2 + 3.2$；(2)2m或6m。

(1) 由题意知抛物线顶点为$(5, 3.2)$，设解析式为$y = a(x - 5)^2 + 3.2$。
喷水头$P(0, 0.7)$在抛物线上，代入得：
$0.7 = a(0 - 5)^2 + 3.2$
$25a = 0.7 - 3.2 = -2.5$
$a = -0.1$
故解析式为$y = -0.1(x - 5)^2 + 3.2$。
(2) 令$y = 1.6$，则：
$1.6 = -0.1(x - 5)^2 + 3.2$
$-0.1(x - 5)^2 = -1.6$
$(x - 5)^2 = 16$
$x - 5 = ±4$
解得$x = 1$或$x = 9$。
爸爸位置$x = 3$，水平距离为$|1 - 3| = 2$或$|9 - 3| = 6$。

23. (本小题 8 分)已知抛物线 $y= (m+x)(m+2-x)$,其中 m 为常数,且 $m≠0$.
(1) 若抛物线经过点(2,3),求该抛物线的解析式;
(2) 若直线 $y= mx+n$ 与抛物线相交于 x 轴上同一点,试用含 m 的式子表示 n;
(3) 若点 $A(x_{1},y_{1}),B(3,y_{2})$ 在抛物线上,且 $y_{1}＞y_{2}$,求代数式 $\frac{1}{4}x_{1}^{2}-x_{1}$ 的取值范围.

(1)$y=-x^2+2x+3$；(2)$n=m^2$或$n=-m^2-2m$；(3)$[-1,\frac{5}{4})$。

(1) 将点(2,3)代入抛物线解析式得：3=(m+2)(m+2-2)，即$m(m+2)=3$，整理得$m^2+2m-3=0$，解得$m=-3$或$m=1$。
当$m=-3$时，解析式为$y=(x-3)(-x-1)=-x^2+2x+3$；
当$m=1$时，解析式为$y=(x+1)(3-x)=-x^2+2x+3$。
综上，抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 抛物线与x轴交点：令$y=0$，得$x=-m$或$x=m+2$。
直线与x轴交点：令$y=0$，得$x=-\frac{n}{m}$。
若交点为$(-m,0)$，则$-\frac{n}{m}=-m$，解得$n=m^2$；
若交点为$(m+2,0)$，则$-\frac{n}{m}=m+2$，解得$n=-m(m+2)=-m^2-2m$。
综上，$n=m^2$或$n=-m^2-2m$。
(3) 由抛物线解析式$y=-x^2+2x+m(m+2)$，得$y_1=-x_1^2+2x_1+m(m+2)$，$y_2=m(m+2)-3$。
由$y_1＞y_2$得$-x_1^2+2x_1+m(m+2)＞m(m+2)-3$，整理得$x_1^2-2x_1-3＜0$，解得$-1＜x_1＜3$。
设$t=\frac{1}{4}x_1^2-x_1$，对称轴$x_1=2$，在$-1＜x_1＜3$上，当$x_1=2$时，$t_{min}=-1$；当$x_1=-1$时，$t=\frac{5}{4}$（取不到）。
故$t$的取值范围是$[-1,\frac{5}{4})$。