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3. 如图,点B在CD上,∠ADC= 90°,∠ABD= 60°,∠ACB= 45°,BD= 2cm,则AC的长为
2√6
cm.答案
2√6
解析
设AD=x cm，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=60°，BD=2cm，tan∠ABD=AD/BD，即tan60°=x/2，√3=x/2，解得x=2√3，故AD=2√3cm。在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，则∠CAD=45°，所以AD=DC=2√3cm，由勾股定理得AC=√(AD²+DC²)=√[(2√3)²+(2√3)²]=2√6cm。
4. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD⊥BC,垂足为D.若BC= 24,$\cos B= \frac{12}{13}$,则AD的长为
5
.答案
5
解析
∵AB=AC，AD⊥BC，BC=24，∴BD=CD=12。在Rt△ABD中，cosB=BD/AB=12/13，BD=12，∴AB=13。由勾股定理得AD=√(AB²-BD²)=√(13²-12²)=5。
5. 在△ABC中,$AB= 3\sqrt{6}$,AC= 6,∠B= 45°,则BC的长为
3+3√3或3√3-3
.答案
3+3√3或3√3-3
解析
过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，∠B=45°，AB=3√6，设AD=BD=x，由勾股定理得x²+x²=(3√6)²，解得x=3√3，即AD=BD=3√3。在Rt△ACD中，AC=6，AD=3√3，由勾股定理得CD²=AC²-AD²=6²-(3√3)²=9，CD=3。当D在BC上时，BC=BD+CD=3√3+3；当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=3√3-3。
6. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,根据下列条件解直角三角形.
(1)$a= 2\sqrt{6}$,$b= 6\sqrt{2}$；
(2)$c= 8\sqrt{3}$,∠A= 60°.
(1)$a= 2\sqrt{6}$,$b= 6\sqrt{2}$；
(2)$c= 8\sqrt{3}$,∠A= 60°.
答案
(1)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，
由勾股定理得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}+(6\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{24 + 72}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
由$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
得$\angle A = 30^{\circ}$，
所以$\angle B=90^{\circ}-\angle A = 60^{\circ}$。
(2)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，
则$\angle B=90^{\circ}-\angle A = 30^{\circ}$。
因为$\sin A=\frac{a}{c}$，$c = 8\sqrt{3}$，
所以$a=c\sin A=8\sqrt{3}×\sin60^{\circ}=8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=12$。
因为$\cos A=\frac{b}{c}$，
所以$b=c\cos A=8\sqrt{3}×\cos60^{\circ}=8\sqrt{3}×\frac{1}{2}=4\sqrt{3}$。
综上，(1)中$c = 4\sqrt{6}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$；(2)中$\angle B = 30^{\circ}$，$a = 12$，$b = 4\sqrt{3}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，
由勾股定理得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{6})^{2}+(6\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{24 + 72}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$。
由$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{2\sqrt{6}}{6\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
得$\angle A = 30^{\circ}$，
所以$\angle B=90^{\circ}-\angle A = 60^{\circ}$。
(2)
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，
则$\angle B=90^{\circ}-\angle A = 30^{\circ}$。
因为$\sin A=\frac{a}{c}$，$c = 8\sqrt{3}$，
所以$a=c\sin A=8\sqrt{3}×\sin60^{\circ}=8\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=12$。
因为$\cos A=\frac{b}{c}$，
所以$b=c\cos A=8\sqrt{3}×\cos60^{\circ}=8\sqrt{3}×\frac{1}{2}=4\sqrt{3}$。
综上，(1)中$c = 4\sqrt{6}$，$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$；(2)中$\angle B = 30^{\circ}$，$a = 12$，$b = 4\sqrt{3}$。
7. 如图,AD是△ABC的中线,$\tan B= \frac{1}{5}$,$\cos C= \frac{\sqrt{2}}{2}$,$AC= \sqrt{2}$.
(1)求BC的长；
(2)求∠ADC的正弦值.
(1)求BC的长；
(2)求∠ADC的正弦值.
答案
(1)
过点 $A$ 作 $AE\perp BC$ 于点 $E$。
在 $Rt\triangle AEC$ 中，$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC=\sqrt{2}$，因为 $\cos C=\frac{EC}{AC}$，所以 $EC = AC×\cos C=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
$\sin C=\sqrt{1 - \cos^{2}C}=\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $AE=\sqrt{AC^{2}-EC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}} = 1$（或 $AE = AC×\sin C=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$）。
在 $Rt\triangle AEB$ 中，$\tan B=\frac{1}{5}$，$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{5}$，$AE = 1$，所以 $BE = 5$。
$BC=BE + EC=5 + 1=6$。
(2)
因为 $AD$ 是 $BC$ 的中线，所以 $CD=\frac{1}{2}BC = 3$。
$DE=CD - EC=3 - 1=2$。
在 $Rt\triangle AED$ 中，$AE = 1$，$DE = 2$，则 $AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
$\sin\angle ADC=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
综上，(1) $BC$ 的长为 $6$；(2) $\angle ADC$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。
过点 $A$ 作 $AE\perp BC$ 于点 $E$。
在 $Rt\triangle AEC$ 中，$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$AC=\sqrt{2}$，因为 $\cos C=\frac{EC}{AC}$，所以 $EC = AC×\cos C=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$。
$\sin C=\sqrt{1 - \cos^{2}C}=\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则 $AE=\sqrt{AC^{2}-EC^{2}}=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}} = 1$（或 $AE = AC×\sin C=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$）。
在 $Rt\triangle AEB$ 中，$\tan B=\frac{1}{5}$，$\frac{AE}{BE}=\frac{1}{5}$，$AE = 1$，所以 $BE = 5$。
$BC=BE + EC=5 + 1=6$。
(2)
因为 $AD$ 是 $BC$ 的中线，所以 $CD=\frac{1}{2}BC = 3$。
$DE=CD - EC=3 - 1=2$。
在 $Rt\triangle AED$ 中，$AE = 1$，$DE = 2$，则 $AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
$\sin\angle ADC=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
综上，(1) $BC$ 的长为 $6$；(2) $\angle ADC$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$。
