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7. 如图,$E$,$F是四边形ABCD的对角线BD$上的两点,$AE// CF$,$AE = CF$,$BE = DF$。
求证：$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
求证：$\triangle ADE\cong\triangle CBF$。
答案
证明:因为AE//CF，所以∠AED=∠CFB.因为BE=DF,所以BE+EF=DF+EF,即BF=DE.在△ADE和△CBF中，AE=CF,∠AED=∠CFB,DE=BF,所以△ADE≌△CBF(SAS).
解析
证明:
∵AE//CF，
∴∠AED=∠CFB.
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE.
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ ∠AED=∠CFB,\\ DE=BF,\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∵AE//CF，
∴∠AED=∠CFB.
∵BE=DF，
∴BE+EF=DF+EF，即BF=DE.
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ ∠AED=∠CFB,\\ DE=BF,\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CBF(SAS).
8. 如图,在$\triangle ABC和\triangle AEF$中,$AB = AC$,$AE = AF$,$\angle BAC= \angle EAF$。$BE分别交AC$,$CF于点D$,$O$。
(1)求证：$BE = CF$；
(2)当$\angle BAC = 70^{\circ}$时,求$\angle BOC$的度数。
(1)求证：$BE = CF$；
(2)当$\angle BAC = 70^{\circ}$时,求$\angle BOC$的度数。
答案
(1)证明:因为∠BAC=∠EAF，所以∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE,即∠EAB=∠FAC.在△EAB和△FAC中，{AB=AC,∠EAB=∠FAC,AE=AF}所以△EAB≌△FAC(SAS).所以BE=CF.
(2)解:由
(1)，知△EAB≌△FAC，所以∠EBA=∠ACF.因为∠BDA=∠CDE，∠ACF+∠BOC+∠CDE=180°=∠EBA+∠BAC+∠BDA,所以∠BOC=∠BAC=70°.
9. 如图,在$\triangle ABC$中,$BE$,$CF分别是AC$,$AB$两边上的高,在$BE上截取BD = AC$,在$CF的延长线上截取CG = AB$,连接$AD$,$AG$。
(1)求证：$AD = AG$；
(2)判断$AD与AG$的位置关系,并说明理由。
(1)求证：$AD = AG$；
(2)判断$AD与AG$的位置关系,并说明理由。
答案
(1)证明:因为BE⊥AC,CF⊥AB，所以∠HFB=∠HEC=90°.又因为∠BHF=∠CHE,所以∠ABD=∠ACG.在△ABD和△GCA中，{AB=GC,∠ABD=∠GCA,BD=CA}所以△ABD≌△GCA(SAS).所以AD=AG.
(2)解:AD⊥AG.理由:因为△ABD≌△GCA，所以∠ADB=∠GAC.又因为∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE,所以∠GAD=∠AED=90°，所以AD⊥AG.
10. 如图①,正方形$ABCD的边AB$,$AD分别在等腰直角三角形AEF的腰AE$,$AF$上,点$C在\triangle AEF$内,则有$DF = BE$(不必证明)。将正方形$ABCD绕点A逆时针旋转一定角度\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$后,连接$BE$,$DF$。请在图②中用实线补全图形,这时$DF = BE$还成立吗？请说明理由。
答案
解:补全图形如图所示.DF=BE成立.理由:因为∠FAE=∠DAB=90°，所以∠FAE−∠DAE=∠DAB−∠DAE,即∠FAD=∠EAB.在△ADF和△ABE中，{AF=AE,∠FAD=∠EAB,AD=AB}所以△ADF≌△ABE(SAS).所以DF=BE.
