例 1 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c ( a \neq 0 ) $ 的图象过点 $ ( 1,0 ) $,$ ( 2,0 ) $,$ ( 0, - 2 ) $,求二次函数的解析式。
名师导引 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点选择适当的解析式的形式(一般式、顶点式或交点式),再列方程(组)、解方程(组),最后确定函数的解析式。

设二次函数的解析式为交点式 $y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $a \neq 0$，$x_1$ 和 $x_2$ 是二次函数与 $x$ 轴交点的横坐标。
根据题目条件，二次函数图象过点 $(1,0)$ 和 $(2,0)$，因此 $x_1 = 1$，$x_2 = 2$。
代入交点式，得到 $y = a(x - 1)(x - 2)$。
使用点 $(0, -2)$ 来确定系数 $a$。
将 $x = 0$，$y = -2$ 代入 $y = a(x - 1)(x - 2)$，得到：
$-2 = a(0 - 1)(0 - 2)$，
$-2 = 2a$，
$a = -1$。
因此，二次函数的解析式为 $y = -(x - 1)(x - 2)$，即$y = -x^2 + 3x - 2$。

巩固提升
(1)已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx - 3 ( a \neq 0 ) $ 的图象经过点 $ ( - 1,0 ) $,$ ( 3,0 ) $,则 $ a = $,$ b = $。
(2)把抛物线 $ y = 2x^{2} - 4x + 3 $ 向左平移 1 个单位长度,得到的抛物线的解析式为。

(1)$1$，$-2$；(2)$y = 2x^{2}+1$

(1)
已知抛物线$y = ax^{2}+bx - 3(a\neq0)$的图象经过点$( - 1,0)$，$(3,0)$，将点代入抛物线方程可得：
$\begin{cases}a - b - 3 = 0\\9a+3b - 3 = 0\end{cases}$
由$a - b - 3 = 0$可得$b=a - 3$，将其代入$9a + 3b-3 = 0$中：
$9a+3(a - 3)-3 = 0$
$9a+3a-9 - 3 = 0$
$12a-12 = 0$
$12a=12$
解得$a = 1$。
把$a = 1$代入$b=a - 3$，得$b=1 - 3=-2$。
(2)
先将抛物线$y = 2x^{2}-4x + 3$化为顶点式：
$y = 2x^{2}-4x + 3=2(x^{2}-2x)+3=2(x^{2}-2x + 1-1)+3=2((x - 1)^{2}-1)+3=2(x - 1)^{2}+1$。
根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”，将其向左平移$1$个单位长度，即将$x$变为$x + 1$，得到$y = 2(x+1 - 1)^{2}+1=2x^{2}+1$。

例 2 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c ( a,b,c $ 为常数,且 $ a \neq 0 ) $ 中的 $ x $ 与 $ y $ 的部分对应值如表,该二次函数的对称轴为直线。
| $ x $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 3 $ |
| $ y $ | $ - 1 $ | $ 3 $ | $ 5 $ | $ 3 $ |
名师导引 抛物线上纵坐标相等的两个点关于该抛物线的对称轴对称。

直线$x = 1.5$（或$x=\frac{3}{2}$ ）

根据表格可知当$x = 0$和$x = 3$时，$y$的值都为$3$，即点$(0,3)$与$(3,3)$纵坐标相等。
对于二次函数图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对于两点$(x_1,y)$，$(x_2,y)$，其对称轴为直线$x=\frac{x_1 + x_2}{2}$。
所以该二次函数对称轴为直线$x=\frac{0 + 3}{2}=\frac{3}{2}$。

(1)如图,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c ( a \neq 0 ) $ 的图象与 $ x $ 轴的一个交点坐标是 $ ( - 3,0 ) $,对称轴为直线 $ x = - 1 $,则这个二次函数的图象与 $ x $ 轴的另一个交点的坐标是。

(2)如图,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c ( a \neq 0 ) $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A ( - 2,0 ) $,$ B $ 两点,并且过点 $ C ( m,n ) $ 和 $ D ( 2 - m,n ) $,则点 $ B $ 的坐标为。

(1) $(1,0)$；(2) $(4,0)$。

(1)已知对称轴为 $x = -1$，图象与 $x$ 轴的一个交点坐标是 $(-3, 0)$。
根据对称性，另一个交点与 $(-3, 0)$ 关于对称轴 $x = -1$ 对称。
设另一个交点为 $(x, 0)$，则 $\frac{-3 + x}{2} = -1$。
解得 $x = 1$。
因此，另一个交点的坐标是 $(1, 0)$。
(2)已知二次函数图象过点 $C(m, n)$ 和 $D(2 - m, n)$，说明这两点关于对称轴对称。
对称轴为 $x = \frac{m + (2 - m)}{2} = 1$。
已知图象与 $x$ 轴交于 $A(-2, 0)$，设另一个交点为 $B(x, 0)$。
根据对称性，有 $\frac{-2 + x}{2} = 1$。
解得 $x = 4$。
因此，点 $B$ 的坐标为 $(4, 0)$。

例 3(2024 永善二模)二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c ( a \neq 0 ) $ 的图象如图所示,对称轴是直线 $ x = 1 $,下列结论：① $ ab ＜ 0 $；② $ b^{2} ＞ 4ac $；③ $ a + b + 2c ＜ 0 $；④ $ 3a + c ＜ 0 $。其中正确的有()

A.1 个

B.2 个
C.3 个
D.4 个
名师导引 解决二次函数图象与系数的关系问题,应明确：(1)由图象的开口方向确定 $ a $ 的符号；(2)由图象与 $ y $ 轴的交点确定 $ c $；(3)由 $ a $ 和 $ b $ 共同确定图象的对称轴；(4)根据一些特殊端点建立方程或不等式。

C

(1) 抛物线开口向下，对称轴为$x=1$。
所以：
$a＜0$，
$-\frac{b}{2a}=1$，
即：
$b=-2a＞0$
所以$ab＜0$，
故①正确。
(2) 抛物线与$x$轴有两个交点，
则：
$b^2-4ac＞0$
即：
$b^2＞4ac$
故②正确。
(3)当$x=1$时，$a+b+c＞0$，
当$x=-1$时，$a-b+c＜0$，
$a+b+c+a-b+c＜0$，
即：
$2a+2c＜0$
$a+c＜0$
$a+b+c+a+c+b＜0+2b$，
即：
$a+b+2c+b＜2b$
$a+b+2c＜b$
因为$b＞0$，
所以不等式无法判断。
当$x=1$时，$a+b+c＞0$，
则：
$a+b+2c=a+b+c+c＞c$
因为抛物线与$y$轴的交点未知，
所以$c$的正负无法判断，
即$a+b+2c$的正负无法判断，
故③错误。
(4) 因为$b=-2a$，
由$a-b+c＜0$，
得$a+2a+c=3a+c＜0$，
故④正确。