(1)(2024 江北区阶段练习)如图,在 $\triangle ABC$ 中,将 $\triangle ABC$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $\triangle DEC$,点 $A$,$B$ 的对应点分别为 $D$,$E$,连接 $AD$。当点 $A$,$D$,$E$ 在同一条直线上,且 $\angle ADC = 60^{\circ}$ 时,下列结论一定正确的是()
A. $\angle ABC = \angle ADC$

B. $CB = CD$
C. $DE + DC = BC$
D. $AB// CD$
(2)(2024 渝北区阶段练习)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC = 60^{\circ}$,将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $40^{\circ}$,得到 $\triangle ADE$,点 $D$ 恰好落在 $BC$ 上,$DE$ 交 $AC$ 于点 $F$,则 $\angle AFE = $$^{\circ}$。

(1)D (2)90

(1)由旋转性质得CA=CD，∠ABC=∠DEC，AB=DE。∵∠ADC=60°，CA=CD，∴△ADC为等边三角形，∠ACD=60°，AD=AC=CD。∵A,D,E共线，∴∠CDE=180°-∠ADC=120°。在△DEC中，∠DEC+∠DCE=60°，又∠DCE=∠ACB，∠DEC=∠ABC，∴∠ABC+∠ACB=60°，则∠BAC=120°。∵∠BAC+∠ACD=120°+60°=180°，∴AB//CD。
(2)由旋转性质得AB=AD，∠DAE=∠BAC=60°，∠ADE=∠B，旋转角∠BAD=40°。∴△ABD为等腰三角形，∠B=∠ADB=(180°-40°)/2=70°。在△ABC中，∠C=180°-60°-70°=50°，则∠E=∠C=50°。∠CAD=∠BAC-∠BAD=60°-40°=20°，∠DAE=60°，∴∠FAE=∠DAE-∠CAD=40°。在△AFE中，∠AFE=180°-∠E-∠FAE=180°-50°-40°=90°。

探究三 旋转作图
例 3 如图,方格纸中每个小方格都是边长为 $1$ 个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,$\triangle ABC$ 的顶点均在格点上,已知 $\triangle ABC$ 三个顶点的坐标分别为 $A(-4,2)$,$B(-2,5)$,$C(-2,3)$。在给出的平面直角坐标系中画出以点 $O$ 为旋转中心,将 $\triangle ABC$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 后得到的 $\triangle A_1B_1C_1$。
名师导引 旋转作图的一般步骤：(1)作图形中的关键点与旋转中心的连线；(2)把连线按要求绕旋转中心转一定的角度,并在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离,得到对应点；(3)依次连接所得的对应点,即得到旋转后的图形。

在给定的平面直角坐标系中准确画出$\triangle A_1B_1C_1$（由于是作图题，答案以图形呈现，这里无法直接展示图形，按照上述步骤正确作图即可）。

本题可根据旋转作图的一般步骤来画出$\triangle ABC$以点$O$为旋转中心，逆时针方向旋转$90^{\circ}$后的$\triangle A_1B_1C_1$。
1. 连接$OA$，$OB$，$OC$。
2. 分别将$OA$，$OB$，$OC$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$，在旋转后的射线上截取$OA_1 = OA$，$OB_1 = OB$，$OC_1 = OC$，得到$A$，$B$，$C$的对应点$A_1$，$B_1$，$C_1$。
点$A(-4,2)$，$O(0,0)$，将$OA$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$，根据旋转性质可得$A_1$的坐标为$(-2,-4)$。
点$B(-2,5)$，将$OB$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$，可得$B_1$的坐标为$(-5,-2)$。
点$C(-2,3)$，将$OC$绕点$O$逆时针旋转$90^{\circ}$，可得$C_1$的坐标为$(-3,-2)$。
3. 顺次连接$A_1$，$B_1$，$C_1$，得到$\triangle A_1B_1C_1$。

变式训练 如图,在边长均为 $1$ 的正方形网格纸上有一个 $\triangle ABC$,顶点 $A$,$B$,$C$ 及点 $O$ 均在格点上,请按要求画图：将 $\triangle ABC$ 向上平移 $4$ 个单位,得到 $\triangle A_1B_1C_1$；将 $\triangle ABC$ 绕点 $O$ 旋转 $180^{\circ}$,得到 $\triangle A_2B_2C_2$。

△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂如图所示

1. 平移：分别将点A、B、C向上平移4个单位长度，得到对应点A₁、B₁、C₁，顺次连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁；2. 旋转：连接AO并延长至A₂，使OA₂=OA；连接BO并延长至B₂，使OB₂=OB；连接CO并延长至C₂，使OC₂=OC，顺次连接A₂B₂、B₂C₂、C₂A₂，得到△A₂B₂C₂。

1. 如图,$\triangle ABC$ 绕点 $C$ 旋转,点 $B$ 转到点 $E$ 的位置,则下列说法正确的是()

A.点 $B$ 与点 $D$ 是对应点
B.$\angle BCD$ 等于旋转角
C.点 $A$ 与点 $E$ 是对应点
D.$\triangle ABC\cong\triangle DEC$

D

根据旋转的性质，逐一分析选项：
A. 点$B$旋转后到达点$E$，
所以点$B$的对应点是点$E$，不是点$D$，
所以A选项错误。
B. 旋转角是旋转前后图形上对应点与旋转中心的连线所成的角，
在这里，$\angle ACE$（或$\angle BCD$的补角）才是旋转角，
而不是$\angle BCD$，
所以B选项错误。
C. 点$A$旋转后的对应点应该是与$A$在旋转前后位置相对应的点，
根据图形，这个点不是$E$，而是$D$（因为$B$对应$E$，且旋转中心是$C$），
所以C选项错误。
D. 由于$\triangle ABC$绕点$C$旋转得到$\triangle DEC$，
根据旋转的性质，旋转前后的图形是全等的，
所以$\triangle ABC \cong \triangle DEC$，
D选项正确。