7. 若方程 $ 3(x-k)= 2(x+1)$ 与 $ x-3(x-1)= 2-(x+1)$ 的解互为相反数,求 $ k$ 的值.

由方程3(x-k)=2(x+1)得x=2+3k,由方程x-3(x-1)=2-(x+1)得x=2,因为两方程的解互为相反数,所以-2=2+3k,解得k=-4/3.

解：解方程$3(x - k) = 2(x + 1)$，
$3x - 3k = 2x + 2$，
$3x - 2x = 2 + 3k$，
得$x = 2 + 3k$。
解方程$x - 3(x - 1) = 2 - (x + 1)$，
$x - 3x + 3 = 2 - x - 1$，
$-2x + 3 = 1 - x$，
$-2x + x = 1 - 3$，
$-x = -2$，
得$x = 2$。
因为两方程的解互为相反数，所以$2 + 3k = -2$，
$3k = -4$，
解得$k = -\dfrac{4}{3}$。

8. 已知 $ y_1= 6-x,y_2= 2+7x$.
(1) 当 $ y_1= 2y_2$ 时,求 $ x$ 的值； (2) 当 $ x$ 取何值时,$ y_1$ 比 $ y_2$ 小 -3?

1. （1）
解：
已知$y_1 = 6 - x$，$y_2 = 2+7x$，当$y_1 = 2y_2$时，可得到方程$6 - x=2(2 + 7x)$。
去括号：
根据乘法分配律$a(b + c)=ab+ac$，$2(2 + 7x)=2×2+2×7x = 4 + 14x$，则原方程变为$6 - x=4 + 14x$。
移项：
把含$x$的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，得到$-x-14x=4 - 6$。
合并同类项：
对于$-x-14x$，根据合并同类项法则$ax+bx=(a + b)x$，$-x-14x=(-1-14)x=-15x$；$4 - 6=-2$，所以方程变为$-15x=-2$。
系数化为$1$：
两边同时除以$-15$，$x=\frac{-2}{-15}=\frac{2}{15}$。
2. （2）
解：
当$y_1$比$y_2$小$-3$时，即$y_1=y_2-(-3)$，也就是$y_1=y_2 + 3$。
把$y_1 = 6 - x$，$y_2 = 2+7x$代入$y_1=y_2 + 3$，得到$6 - x=(2 + 7x)+3$。
去括号：
右边$(2 + 7x)+3=2 + 7x+3=5 + 7x$，方程变为$6 - x=5 + 7x$。
移项：
$-x-7x=5 - 6$。
合并同类项：
$-x-7x=(-1 - 7)x=-8x$，$5 - 6=-1$，方程变为$-8x=-1$。
系数化为$1$：
两边同时除以$-8$，$x=\frac{-1}{-8}=\frac{1}{8}$。
综上，（1）$x$的值为$\frac{2}{15}$；（2）当$x = \frac{1}{8}$时，$y_1$比$y_2$小$-3$。

9. 对于两个不相等的有理数 $ m,n$,规定 $ \min\{m,n\}$ 表示两个数中较小的数,如: $ \min\{3,-2\}= -2$.求方程 $ \min\{x,-1\}= 2(1-x)$ 的解.

当x＞-1时,方程为-1=2(1-x),解得x=3/2;当x＜-1时,方程为x=2(1-x),解得x=2/3,不符合题意,舍去.综上所述,方程的解为x=3/2.

当$x ＞ -1$时，方程为$-1 = 2(1 - x)$，解得$x = \dfrac{3}{2}$；
当$x ＜ -1$时，方程为$x = 2(1 - x)$，解得$x = \dfrac{2}{3}$，不符合题意，舍去。
综上所述，方程的解为$x = \dfrac{3}{2}$。