1.(2024·甘肃兰州中考)如图,在△ABC 中,AB = AC,∠BAC = 130°,DA ⊥ AC,则∠ADB = ()

A.100°
B.115°
C.130°
D.145°

B

由于$AB=AC$，根据等腰三角形的性质，$\angle B=\angle C$。
已知$\angle BAC=130°$，根据三角形内角和为$180°$，有：
$\angle B+\angle C=180°-130°=50°$。
由于$\angle B=\angle C$，所以：
$\angle B=\angle C=\frac{50°}{2}=25°$。
由于$DA\perp AC$，所以$\angle DAC=90°$。
根据三角形外角性质，$\angle ADB$是$\triangle ADC$的外角，所以：
$\angle ADB=\angle C+\angle DAC=25°+90°=115°$。

【典型例题 2】如图,在△ABC 中,AB = AC,D 是 BC 边上的中点,连接 AD,若∠C = 36°,求∠BAD 的度数.

【解】因为 AB = AC,∠C = 36°,所以∠B = ∠C = 36°(等边对等角).因为 D 是 BC 边上的中点,所以 BD = CD.又 AB = AC,所以 AD ⊥ BC(等腰三角形“三线合一”).所以∠ADB = 90°.所以∠BAD = 90° - 36° = 54°.

2.(2024·云南中考)已知 AF 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的高.若点 F 到直线 AB 的距离为 3,则点 F 到直线 AC 的距离为()
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

C

本题可根据等腰三角形的性质，利用角平分线的性质来求解点$F$到直线$AC$的距离。
步骤一：分析等腰三角形的性质
已知$AF$是等腰三角形$ABC$底边$BC$上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合），可知$AF$也是$\angle BAC$的平分线。
步骤二：利用角平分线的性质求解
角平分线的性质为：角平分线上的点到角两边的距离相等。
因为点$F$在角平分线$AF$上，点$F$到直线$AB$的距离为$3$，根据角平分线的性质可知，点$F$到直线$AC$的距离与点$F$到直线$AB$的距离相等，即为$3$。

1. 如图 1,已知∠AOB,只用直尺和圆规,如何判断∠AOB 是否为直角？如图 2,小意在 OA,OB 上分别取 C,D,以点 C 为圆心,CD 的长为半径画弧,交 OB 的反向延长线于点 E.若测量得 OE = OD,则∠AOB = 90°.小意判断的依据是()

A.等边对等角

B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C.垂线段最短
D.等腰三角形“三线合一”

D

根据题意，以点$C$为圆心，$CD$的长为半径画弧，交$OB$的反向延长线于点$E$，则$CE = CD$。
若$OE = OD$，在$\triangle COD$和$\triangle COE$中，$CO$为公共边，$CE = CD$，$OE = OD$，所以$\triangle COD\cong\triangle COE(SSS)$。
则$\angle COD=\angle COE$，又因为$\angle COD+\angle COE = 180^{\circ}$（平角定义），所以$\angle COD = 90^{\circ}$，即$\angle AOB = 90^{\circ}$。
其判断依据是等腰三角形“三线合一”，因为$CE = CD$，$OE = OD$，$CO$是等腰三角形$CDE$底边$DE$上的中线，根据等腰三角形“三线合一”性质，$CO$也是$\angle EOD$的角平分线，所以$\angle AOB = 90^{\circ}$。