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12.如图，已知抛物线$y = ax^{2} + bx - 3$与$x$轴交于$A$，$B$两点，与$y$轴交于点$C$，经过$A$，$B$，$C$三点的圆的圆心$M(1,m)$恰好在此抛物线的对称轴上，$\odot M$的半径为$\sqrt{5}$.设$\odot M$与$y$轴交于点$D$，抛物线的顶点为$E$.
（1）求$m$的值及抛物线的解析式.
（2）设$\angle DBC = \alpha$，$\angle CBE = \beta$，求$\sin(\alpha - \beta)$的值.
（3）探究坐标轴上是否存在点$P$，使得以$P$，$A$，$C$为顶点的三角形与$\bigtriangleup BCE$相似.若存在，请指出点$P$的位置，并求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）求$m$的值及抛物线的解析式.
（2）设$\angle DBC = \alpha$，$\angle CBE = \beta$，求$\sin(\alpha - \beta)$的值.
（3）探究坐标轴上是否存在点$P$，使得以$P$，$A$，$C$为顶点的三角形与$\bigtriangleup BCE$相似.若存在，请指出点$P$的位置，并求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
解：$(1)$由题意可知$C(0，$$-3)，$$-\frac b {2a}=1$
∴抛物线的解析式为$y=a{x}^{2}-2ax-3(a＞0)$
过点$M$作$MN⊥y$轴于点$N，$连接$CM，$则$MN=1，$$CM=\sqrt {5}$
∴$CN=2$∴$m=-1$
同理可求$B(3，$$0)，$∴$a·{3}^{2}-2a·3-3=0$
解得，$a=1$
∴抛物线的解析式为$y={x}^{2}-2x-3$
$(2)$由$(1)$得$A(-1，$$0)，$$E(1，$$-4)，$
$D(0，$$1)，$$C(0，$$-3)，$$B(3，$$0)$
∴$BC=3\sqrt {2}，$$CE=\sqrt {2}，$
$BE=2\sqrt {5}$
则${BC}^{2}+{CE}^{2}={BE}^{2}$
∵$\frac {OB}{OD}=\frac 3 1=3，$
$\frac {BC}{CE}=\frac {3\sqrt {2}}{\sqrt {2}}=3$
∴$\frac {OB}{OD}=\frac {BC}{CE}，$即$\frac {OB}{BC}=\frac {OD}{CE}$
∴$Rt△BOD∽Rt△BCE，$
得$∠CBE=∠OBD=β$
因此$sin(α-β)=sin(∠DBC-∠OBD)$
$=sin∠OBC$
$=\frac {CO}{BC}=\frac {\sqrt {2}}2$
$(3)$显然$Rt△COA∽Rt△BCE，$
此时点$P_1(0，$$0)．$
过点$A$作$AP_2⊥AC$交$y$轴正半轴于点$P_2，$
由$Rt△CAP_2∽Rt△BCE，$
得$P_2(0，$$\frac 1 3)．$
过点$C$作$CP_3⊥AC$交$x$轴正半轴于点$P_3，$
由$Rt△P_3CA∽Rt△BCE，$得$P_3(9，$$0)．$
故在坐标轴上存在三个点
$P_1(0，$$0)，$$P_2(0，$$\frac 1 3)，$$P_3(9，$$0)，$
使得$P，$$A，$$C$为顶点的三角形与$△BCE$相似$．$
13.在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle ABC = 90{°}$，$\angle BAC = 30{°}$，$BC = 5$.过点$A$作$AE \perp AB$，且$AE = 15$，连接$BE$交$AC$于点$P$.
（1）求$PA$的长.
（2）如图①，以点$A$为圆心，$AP$为半径作$\odot A$，试判断$BE$与$\odot A$是否相切，并说明理由.
（3）如图②，过点$C$作$CD \perp AE$，垂足为$D$.以点$A$为圆心，以$r$为半径作$\odot A$；以点$C$为圆心，以$R$为半径作$\odot C$.若$r$和$R$的大小是可变化的，并且在变化过程中保持$\odot A$和$\odot C$相切，且使点$D$在$\odot A$的内部，点$B$在$\odot A$的外部，求$r$和$R$的变化范围.
（1）求$PA$的长.
（2）如图①，以点$A$为圆心，$AP$为半径作$\odot A$，试判断$BE$与$\odot A$是否相切，并说明理由.
（3）如图②，过点$C$作$CD \perp AE$，垂足为$D$.以点$A$为圆心，以$r$为半径作$\odot A$；以点$C$为圆心，以$R$为半径作$\odot C$.若$r$和$R$的大小是可变化的，并且在变化过程中保持$\odot A$和$\odot C$相切，且使点$D$在$\odot A$的内部，点$B$在$\odot A$的外部，求$r$和$R$的变化范围.
答案
13.(1)在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°,BC=5,
∴AC=10.
∵AE⊥AB,
∴AE//BC.
∴△PAE∽△PCB.
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{PA}{PC}$.
∵AE=15,PC=AC−PA=10−PA,
∴PA=7.5.
(2)BE与⊙A相切,理由如下.
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°,BC=5,
∴AB=5$\sqrt{3}$.
在Rt△ABE中，
∵AB=5$\sqrt{3}$,AE=15,
∴tanE=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴∠E=30°.
∵∠EAC=60°,
∴∠E+∠EAC=90°.
∴AP⊥BE.
∴BE与⊙A相切.
(3)
∵点D在⊙A的内部，点B在⊙A的外部，
∴AD＜r＜AB.
∴r的变化范围为5＜r＜5$\sqrt{3}$
当⊙A与⊙C外切时，R+r=10，
∴R的变化范围为10−5$\sqrt{3}$＜R＜5;
当⊙A与⊙C内切时，R−r=10，
∴R的变化范围为15＜R＜10+5$\sqrt{3}$.
∵∠BAC=30°,BC=5,
∴AC=10.
∵AE⊥AB,
∴AE//BC.
∴△PAE∽△PCB.
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{PA}{PC}$.
∵AE=15,PC=AC−PA=10−PA,
∴PA=7.5.
(2)BE与⊙A相切,理由如下.
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°,BC=5,
∴AB=5$\sqrt{3}$.
在Rt△ABE中，
∵AB=5$\sqrt{3}$,AE=15,
∴tanE=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴∠E=30°.
∵∠EAC=60°,
∴∠E+∠EAC=90°.
∴AP⊥BE.
∴BE与⊙A相切.
(3)
∵点D在⊙A的内部，点B在⊙A的外部，
∴AD＜r＜AB.
∴r的变化范围为5＜r＜5$\sqrt{3}$
当⊙A与⊙C外切时，R+r=10，
∴R的变化范围为10−5$\sqrt{3}$＜R＜5;
当⊙A与⊙C内切时，R−r=10，
∴R的变化范围为15＜R＜10+5$\sqrt{3}$.
