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8.如图，某地修建高速公路，要从$B$地向$C$地修一条隧道($B,C$在同一水平面上).为了测量$B,C$两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从$C$地出发，垂直上升$100\ m$到达$A$处，在$A$处观测到$B$地的俯角为$30^{\circ}$，则$B,C$两地之间的距离是(
A.$100\sqrt{3}\ m$
B.$50\sqrt{2}\ m$
C.$50\sqrt{3}\ m$
D.$\frac{100}{3}\sqrt{3}\ m$
A
).A.$100\sqrt{3}\ m$
B.$50\sqrt{2}\ m$
C.$50\sqrt{3}\ m$
D.$\frac{100}{3}\sqrt{3}\ m$
答案
8.A
解析
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=100m，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$，则BC=$\frac{AC}{tan30°}=\frac{100}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=100\sqrt{3}$m。
A
A
9.如图，小王在江边某瞭望台$D$处，测得江面上的渔船$A$的俯角为$40^{\circ}$.若$DE=3\ m$，$CE=2\ m$，$CE$平行于江面$AB$，迎水坡$BC$的坡度$i=1:0.75$，坡长$BC=10\ m$，则此时$AB$的长约为(参考数据：$\sin40^{\circ}\approx0.64$，$\cos40^{\circ}\approx0.77$，$\tan40^{\circ}\approx0.84$)(
A.$5.1\ m$
B.$6.3\ m$
C.$7.1\ m$
D.$9.2\ m$
A
).A.$5.1\ m$
B.$6.3\ m$
C.$7.1\ m$
D.$9.2\ m$
答案
9.A
解析
过点$C$作$CF\perp AB$于点$F$，过点$E$作$EG\perp AB$于点$G$，则四边形$CFGE$为矩形，$FG=CE=2\ m$，$CF=EG$。
迎水坡$BC$的坡度$i=1:0.75=\frac{CF}{BF}$，设$CF=4k\ m$，$BF=3k\ m$。
在$Rt\triangle BCF$中，$BC=10\ m$，由勾股定理得：$(3k)^{2}+(4k)^{2}=10^{2}$，解得$k=2$，则$CF=8\ m$，$BF=6\ m$，$EG=8\ m$。
$DG=DE+EG=3+8=11\ m$。
在$Rt\triangle ADG$中，$\tan40^{\circ}=\frac{DG}{AG}$，$AG=\frac{DG}{\tan40^{\circ}}\approx\frac{11}{0.84}\approx13.1\ m$。
$AB=AG-BF-FG=13.1-6-2=5.1\ m$。
A
迎水坡$BC$的坡度$i=1:0.75=\frac{CF}{BF}$，设$CF=4k\ m$，$BF=3k\ m$。
在$Rt\triangle BCF$中，$BC=10\ m$，由勾股定理得：$(3k)^{2}+(4k)^{2}=10^{2}$，解得$k=2$，则$CF=8\ m$，$BF=6\ m$，$EG=8\ m$。
$DG=DE+EG=3+8=11\ m$。
在$Rt\triangle ADG$中，$\tan40^{\circ}=\frac{DG}{AG}$，$AG=\frac{DG}{\tan40^{\circ}}\approx\frac{11}{0.84}\approx13.1\ m$。
$AB=AG-BF-FG=13.1-6-2=5.1\ m$。
A
10.如图，在某监测点$B$处望见一艘正在作业的渔船在南偏西$15^{\circ}$方向的$A$处，若该渔船沿北偏西$75^{\circ}$方向以$40\ n\ mile/h$的速度航行，航行半小时后到达$C$处.在$C$处观测到$B$在$C$的北偏东$60^{\circ}$方向上，则$B,C$之间的距离是(
A.$20\ n\ mile$
B.$10\sqrt{3}\ n\ mile$
C.$20\sqrt{2}\ n\ mile$
D.$30\ n\ mile$
C
).A.$20\ n\ mile$
B.$10\sqrt{3}\ n\ mile$
C.$20\sqrt{2}\ n\ mile$
D.$30\ n\ mile$
答案
10.C
解析
解：由题意得，渔船航行半小时的路程 $AC = 40 × 0.5 = 20\ n mile$。
根据方向角可知：
$\angle BAC = 15° + 75° = 90°$
$\angle ACB = 60° - 15° = 45°$（北偏东$60°$与渔船航行方向北偏西$75°$的夹角）
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90°$，$\angle ACB = 45°$，$AC = 20\ n mile$，则$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AB = AC = 20\ n mile$。
由勾股定理得：$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2}\ n mile$。
答案：$20\sqrt{2}\ n mile$，选C。
根据方向角可知：
$\angle BAC = 15° + 75° = 90°$
$\angle ACB = 60° - 15° = 45°$（北偏东$60°$与渔船航行方向北偏西$75°$的夹角）
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90°$，$\angle ACB = 45°$，$AC = 20\ n mile$，则$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$AB = AC = 20\ n mile$。
由勾股定理得：$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = 20\sqrt{2}\ n mile$。
答案：$20\sqrt{2}\ n mile$，选C。
11.在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=13$，$BC=5$，则$\tan B=$
$\frac{12}{5}$
.答案
11.$\frac{12}{5}$
解析
在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$AB=13$，$BC=5$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$，则$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{5}$。
12.已知$\sin\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$，则锐角$\alpha$的度数为
$60°$
.答案
12.$60°$
解析
解：$\because \sin\alpha-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$
$\therefore \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\because \alpha$为锐角
$\therefore \alpha=60^{\circ}$
$\therefore \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\because \alpha$为锐角
$\therefore \alpha=60^{\circ}$
13.如图，正方形$ABCD$的边长为$4$，点$M$在边$DC$上，$M,N$两点关于对角线$AC$所在的直线对称，若$DM=1$，则$\tan\angle ADN=$
$\frac{4}{3}$
.答案
13.$\frac{4}{3}$
