14. 已知点 $ A(4,6) $ 和点 $ B(a,b) $,若线段 $ AB $ 与坐标轴平行,则 $ a $,$ b $ 应满足的条件是.

$a = 4$且$b\neq 6$ 或 $b = 6$且$a \neq 4$

若线段 $AB$ 平行于 $x$轴，则点 $A$ 和点 $B$ 的纵坐标相同，即 $b = 6$，此时横坐标 $a$ 可以取任意实数，但需要满足 $a \neq 4$（若 $a = 4$，则点 $A$ 和点 $B$ 重合，不能构成线段）。
若线段 $AB$ 平行于 $y$轴，则点 $A$ 和点 $B$ 的横坐标相同，即 $a = 4$，此时纵坐标 $b$ 可以取任意实数，但需要满足 $b \neq 6$（若 $b = 6$，则点 $A$ 和点 $B$ 重合，不能构成线段）。
综合以上两种情况，若线段 $AB$ 与坐标轴平行，则 $a$，$b$ 应满足的条件是：$a = 4$且$b\neq 6$ 或 $b = 6$且$a \neq 4$。

15. 已知点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ a $,到 $ y $ 轴的距离为 $ b $,$ a + b = 6 $,若 $ a $,$ b $ 为正整数,则符合条件的点 $ P $ 一共有个.

20

因为点P到x轴距离为a，到y轴距离为b，所以|y|=a，|x|=b，a,b为正整数且a+b=6。正整数对(a,b)有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)共5组。每组中，|x|=b得x=±b，|y|=a得y=±a，故每组对应4个点（2×2=4）。总点数：5×4=20。

16. 在平面直角坐标系中,$ A $,$ B $,$ C $ 三点的坐标分别为 $ (0,0) $,$ (4,0) $,$ (3,2) $,以 $ A $,$ B $,$ C $ 三点为顶点画平行四边形,则第四个顶点不可能在第象限.

三

设第四个顶点为D(x,y)，分三种情况：
1. 以AB为对角线：AB中点(2,0)，则CD中点(2,0)，由C(3,2)得(3+x)/2=2，(2+y)/2=0，解得D(1,-2)（第四象限）；
2. 以AC为对角线：AC中点(1.5,1)，则BD中点(1.5,1)，由B(4,0)得(4+x)/2=1.5，(0+y)/2=1，解得D(-1,2)（第二象限）；
3. 以BC为对角线：BC中点(3.5,1)，则AD中点(3.5,1)，由A(0,0)得x/2=3.5，y/2=1，解得D(7,2)（第一象限）。
综上，第四个顶点不可能在第三象限。

17. (8 分)在平面直角坐标系中,
(1)已知点 $ M(m - 6,2m + 3) $ 到两坐标轴的距离相等,求 $ M $ 的坐标；
(2)已知点 $ M(m - 6,2m + 3) $,点 $ N(5,2) $,且 $ MN // y $ 轴,求 $ M $ 的坐标；
(3)已知点 $ M(a,b) $,点 $ N(5,2) $,且 $ MN // x $ 轴,$ MN = 3 $,求 $ M $ 的坐标.

(1)
点$M(m - 6,2m + 3)$到$x$轴距离为$\vert 2m + 3\vert$，到$y$轴距离为$\vert m - 6\vert$，
由点$M$到两坐标轴距离相等可得$\vert m - 6\vert=\vert 2m + 3\vert$，
则$m - 6 = 2m + 3$或$m - 6 = -(2m + 3)$，
当$m - 6 = 2m + 3$时，$m=-9$，此时$M(-15,-15)$；
当$m - 6 = -(2m + 3)$时，$3m = 3$，$m = 1$，此时$M(-5,5)$。
所以$M$的坐标为$(-15,-15)$或$(-5,5)$。
(2)
因为$MN// y$轴，所以$M$与$N$横坐标相同，
即$m - 6 = 5$，$m = 11$，
$2m+3=2×11 + 3=25$，所以$M(5,25)$。
(3)
因为$MN// x$轴，所以$b = 2$，
又因为$MN = 3$，$N(5,2)$，所以$\vert a - 5\vert= 3$，
则$a - 5 = 3$或$a - 5 = -3$，
当$a - 5 = 3$时，$a = 8$；当$a - 5 = -3$时，$a = 2$。
所以$M$的坐标为$(2,2)$或$(8,2)$。