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1. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\tan B= \frac{\sqrt{3}}{2}$,$BC= 2\sqrt{3}$,则$AC$等于(
A.3
B.4
C.$4\sqrt{3}$
D.6
A
)A.3
B.4
C.$4\sqrt{3}$
D.6
答案
A
解析
在直角三角形$ \triangle ABC $中，已知$ \tan B = \frac{\sqrt{3}}{2} $，$ BC = 2\sqrt{3} $。
根据正切定义，$ \tan B = \frac{对边}{邻边} = \frac{AC}{BC} $。
所以，$ \frac{AC}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $。
解方程得：
$ AC = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 $。
根据正切定义，$ \tan B = \frac{对边}{邻边} = \frac{AC}{BC} $。
所以，$ \frac{AC}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $。
解方程得：
$ AC = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 $。
2. 已知$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90°$,若$\sin B= \frac{\sqrt{3}}{2}$,则$\cos A$的值为(
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案
答题卡：
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C= 90^\circ$，
所以$\angle A+\angle B=90^\circ$，
根据三角函数的互余关系，有$\cos A=\sin(90^\circ-A)$，
因为$\angle A+\angle B=90^\circ$，
所以$90^\circ-A=B$，
所以$\cos A=\sin B$，
已知$\sin B= \frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$\cos A= \frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选 C。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C= 90^\circ$，
所以$\angle A+\angle B=90^\circ$，
根据三角函数的互余关系，有$\cos A=\sin(90^\circ-A)$，
因为$\angle A+\angle B=90^\circ$，
所以$90^\circ-A=B$，
所以$\cos A=\sin B$，
已知$\sin B= \frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$\cos A= \frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选 C。
3. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比是$1:2$,则等腰三角形顶角的度数为(
A.$30^\circ$
B.$50^\circ$
C.$60^\circ或120^\circ$
D.$30^\circ或150^\circ$
D
)A.$30^\circ$
B.$50^\circ$
C.$60^\circ或120^\circ$
D.$30^\circ或150^\circ$
答案
D
解析
设等腰三角形为$\triangle ABC$，其中$AB = AC$，过点$B$作$BD \perp AC$交$AC$于点$D$。
由题意知，$\frac{BD}{AB} = \frac{1}{2}$。
在直角三角形$\triangle ABD$中，由于$\frac{BD}{AB} = \frac{1}{2}$，根据直角三角形中30°-60°-90°三角形的性质，我们知道当直角边与斜边的比为1:2时，对应的锐角为$30^\circ$。
所以，$\angle BAD = 30^\circ$或$150^\circ$（考虑到高可能在三角形的外部）。
由于$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle BAC$即为顶角，所以顶角的度数为$30^\circ$或$150^\circ$。
由题意知，$\frac{BD}{AB} = \frac{1}{2}$。
在直角三角形$\triangle ABD$中，由于$\frac{BD}{AB} = \frac{1}{2}$，根据直角三角形中30°-60°-90°三角形的性质，我们知道当直角边与斜边的比为1:2时，对应的锐角为$30^\circ$。
所以，$\angle BAD = 30^\circ$或$150^\circ$（考虑到高可能在三角形的外部）。
由于$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle BAC$即为顶角，所以顶角的度数为$30^\circ$或$150^\circ$。
4. 如图,将圆桶中的水倒入一个直径为$40\ cm$,高为$55\ cm$的圆口容器中,圆桶放置的角度与水平线的夹角为$45°$.要使容器中的水面与圆桶相接触,则容器中水的深度至少应为(
A.$10\ cm$
B.$20\ cm$
C.$30\ cm$
D.$35\ cm$
D
)A.$10\ cm$
B.$20\ cm$
C.$30\ cm$
D.$35\ cm$
答案
要使容器中的水面与圆桶相接触，需分析圆桶倾斜45°时的几何关系。容器为直径40cm（半径20cm）、高55cm的圆柱，圆桶与水平线夹角45°。在容器竖直横截面（过底面中心O的直径平面）中，圆桶侧面与水面接触点到中心O的水平距离为容器半径20cm。因圆桶倾斜45°，接触点到O的竖直距离等于水平距离20cm。设水深为h，接触点到容器上口的距离为55-h，该距离等于水平距离20cm，即55-h=20，解得h=35cm。
D
D
5. 计算$\tan 60° + 2\sin 45° - 2\cos 30°$的结果是(
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
C
)A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2}$
D.1
答案
C
解析
首先，代入各特殊角的三角函数值：
$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
然后，将这些值代入原式进行计算：
$\tan 60^\circ + 2\sin 45^\circ - 2\cos 30^\circ$
$= \sqrt{3} + 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3}$
$= \sqrt{2}$
$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
然后，将这些值代入原式进行计算：
$\tan 60^\circ + 2\sin 45^\circ - 2\cos 30^\circ$
$= \sqrt{3} + 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 × \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3}$
$= \sqrt{2}$
6. 如图①,已知坡面的坡度$i= 1:\sqrt{3}$,则坡角$\alpha$为(
A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$45°$
C
)A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$45°$
答案
解：坡度i是坡面的垂直高度和水平方向的距离的比值，即$i = \tan\alpha$。
已知$i = 1:\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
因为$\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$，所以$\alpha = 30^{\circ}$。
答案选C。
已知$i = 1:\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
因为$\tan\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且$0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$，所以$\alpha = 30^{\circ}$。
答案选C。
7. 如图②,在高为$2\ m$,坡角为$30°$的楼梯上铺地毯,则地毯的长度至少应为(
A.$4\ m$
B.$6\ m$
C.$4\sqrt{2}\ m$
D.$(2 + 2\sqrt{3})\ m$
D
)A.$4\ m$
B.$6\ m$
C.$4\sqrt{2}\ m$
D.$(2 + 2\sqrt{3})\ m$
答案
D
解析
要求地毯的长度至少应为多少，需要将楼梯的水平长度和垂直高度相加。已知楼梯的高度为$2\ m$，坡角为$30°$。
根据直角三角形性质，楼梯的水平长度为$\frac{2}{\tan 30°} = 2\sqrt{3}\ m$。
因此，地毯的长度至少应为$2\ m + 2\sqrt{3}\ m = (2 + 2\sqrt{3})\ m$。
根据直角三角形性质，楼梯的水平长度为$\frac{2}{\tan 30°} = 2\sqrt{3}\ m$。
因此，地毯的长度至少应为$2\ m + 2\sqrt{3}\ m = (2 + 2\sqrt{3})\ m$。
8. 因为$\sin 30°=\frac{1}{2}$,$\sin 210°=-\frac{1}{2}$,所以$\sin 210°=\sin(180° + 30°)= -\sin 30°$;因为$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sin 225°=-\frac{\sqrt{2}}{2}$,所以$\sin 225°=\sin(180° + 45°)= -\sin 45°$,由此猜想并推理得:一般地,当$\alpha为锐角时有\sin(180°+\alpha)= -\sin\alpha$,由此可知:$\sin 240°$等于(
A.$-\frac{1}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\sqrt{3}$
C
)A.$-\frac{1}{2}$
B.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\sqrt{3}$
答案
C
解析
根据题目中的猜想，当$\alpha$为锐角时，有$\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha$。
题目要求计算$\sin 240^\circ$，可以将$240^\circ$表示为$180^\circ + 60^\circ$，即$\sin 240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ)$。
根据猜想公式，$\sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ$。
已知$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\sin 240^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$。
题目要求计算$\sin 240^\circ$，可以将$240^\circ$表示为$180^\circ + 60^\circ$，即$\sin 240^\circ = \sin(180^\circ + 60^\circ)$。
根据猜想公式，$\sin(180^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ$。
已知$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\sin 240^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$。
9. 如图,$P是角\alpha的边OA$上一点,且点$P的坐标为(-3,4)$,则$\sin\alpha=$
$\frac{4}{5}$
.答案
$\frac{4}{5}$。
解析
点$P$的坐标为$(-3, 4)$，则点$P$到原点$O$的距离为：
$OP = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$，
$\sin \alpha$是点$P$到$x$-轴的垂直距离与$OP$的比值，
即$\sin \alpha = \frac{4}{5}$。
$OP = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$，
$\sin \alpha$是点$P$到$x$-轴的垂直距离与$OP$的比值，
即$\sin \alpha = \frac{4}{5}$。
