【例题】在Rt△ABC中,∠C= 90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,根据下列条件,解这个直角三角形.
(1)∠A= 60°,c= 2√3+4；
(2)a= √3-1,b= 3-√3.
【思路点拨】(1)首先用两个锐角互余求锐角∠B,再利用∠A的正弦、余弦求a,b的值.(2)首先用正切求出∠B的值,再求∠A的值,然后由正弦或余弦或勾股定理求c的值.
【解答】______
【学法点睛】(1)直角三角形的三条边、三个角是它的六个元素,除直角外的五个元素中,给出其中的两个元素(其中至少有一个是边),求其余的三个元素就是解直角三角形.
(2)解直角三角形的重要依据.
①三边之间的关系：$a^2+b^2= c^2；$
②两锐角之间的关系：∠A+∠B= 90°；
③边角之间的关系：
sin A= a/c,sin B= b/c；cos A= b/c,cos B= a/c；tan A= a/b,tan B= b/a.

$(1)$
- **求$\angle B$：
已知$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A=60^{\circ}$，根据两锐角互余$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，可得$\angle B=90^{\circ}-\angle A = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
- **求$a$：
根据正弦函数$\sin A=\frac{a}{c}$，已知$\sin A=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$c = 2\sqrt{3}+4$，则$a = c\sin A=(2\sqrt{3}+4)×\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\begin{aligned}a&=(2\sqrt{3}+4)×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+4×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=3 + 2\sqrt{3}\end{aligned}$
- **求$b$：
根据余弦函数$\cos A=\frac{b}{c}$，已知$\cos A=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，$c = 2\sqrt{3}+4$，则$b = c\cos A=(2\sqrt{3}+4)×\frac{1}{2}=\sqrt{3}+2$。
$(2)$
- **求$\angle B$：
根据正切函数$\tan B=\frac{b}{a}$，已知$a=\sqrt{3}-1$，$b = 3-\sqrt{3}$，则$\tan B=\frac{b}{a}=\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$
$\begin{aligned}\tan B&=\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\\&=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}-1}\\&=\sqrt{3}\end{aligned}$
因为$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，所以$\angle B = 60^{\circ}$。
- **求$\angle A$：
根据两锐角互余$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，可得$\angle A=90^{\circ}-\angle B = 90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
- **求$c$：
根据正弦函数$\sin A=\frac{a}{c}$，已知$\sin A=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$a=\sqrt{3}-1$，则$c=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}-1}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3}-2$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{\angle B = 30^{\circ},a = 3 + 2\sqrt{3},b=\sqrt{3}+2}$；$(2)$$\boldsymbol{\angle A = 30^{\circ},\angle B = 60^{\circ},c = 2\sqrt{3}-2}$。

(1)
* 已知在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C = 90{°}$，$\angle A = 60{°}$，
* 根据直角三角形两锐角互余，得$\angle B = 90{°} - \angle A = 30{°}$，
* 利用正弦函数，$\sin A = \frac{a}{c}$，得$a = c \sin A = (2\sqrt{3} + 4) × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 + 2\sqrt{3}$，
* 利用余弦函数，$\cos A = \frac{b}{c}$，得$b = c \cos A = (2\sqrt{3} + 4) × \frac{1}{2} = 2 + \sqrt{3}$；
(2)
* 已知$a = \sqrt{3} - 1$，$b = 3 - \sqrt{3}$，
* 利用正切函数，$\tan B = \frac{b}{a}$，得$\tan B = \frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \sqrt{3}$，
* 因为$0{°} ＜ \angle B ＜ 90{°}$，且$\tan 60{°} = \sqrt{3}$，所以$\angle B = 60{°}$，
* 根据直角三角形两锐角互余，得$\angle A = 90{°} - \angle B = 30{°}$，
* 利用正弦函数，$\sin A = \frac{a}{c}$，得$c = \frac{a}{\sin A} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{3} - 2$，
或利用勾股定理，$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (3 - \sqrt{3})^2} = 2\sqrt{3} - 2$。

1. 如图①,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD= 2,AC= 3,则sin B的值是 ()

A.2/3
B.3/2
C.3/4
D.4/3

C

1. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，且CD=2。
2. 根据中线性质，CD是斜边AB的一半，因此AB=2×CD=4。
3. 由直角三角形的性质，sin B=对边/斜边=AC/AB=3/4。

2. 如图②是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图,测得光线与地面所成的角∠AMC= 30°,窗户在教室地面上的影长MN= 2√3 m,窗户的下檐到教室的地面的距离BC= 1 m(点M,N,C在同一条直线上),则窗户的高AB为 ()

A.√3 m
B.3 m
C.2 m
D.1.5 m

C

在Rt△BCN中，∠BNC=30°，∠BCN=90°，BC=1m，
tan∠BNC=BC/CN，即tan30°=1/CN，
∴CN=1/tan30°=1/(√3/3)=√3 m。
∵AM//BN，∠AMC=30°，
∴∠BNC=∠AMC=30°。
在Rt△ACM中，∠AMC=30°，∠ACM=90°，AC=AB+BC=AB+1，
tan∠AMC=AC/CM，即tan30°=(AB+1)/CM，
∴CM=(AB+1)/tan30°=(AB+1)√3。
∵M、N、C共线，MN=CM-CN，MN=2√3 m，
∴(AB+1)√3 - √3=2√3，
化简得AB√3=2√3，
∴AB=2 m。

3. 如图,在矩形ABCD中,AB= 12,P是边AB上一点,把△PBC沿直线PC折叠,顶点B的对应点是G,过点B作BE⊥CG,垂足为E,且在AD上,BE交PC于点F,则下列结论中正确的是 ()

①BP= BF；②若点E是AD的中点,则△AEB≌△DEC；③当AD= 25,且AE＜DE时,DE= 16；④在③的条件下,可得sin∠PCB= 3√10/10；⑤当BP= 9时,BE·EF= 108.
A.①②③④
B.①②④⑤
C.①②③⑤
D.①②③④⑤

C

①BP=BF
由折叠性质得∠BPC=∠GPC，∠PGC=90°。∵BE⊥CG，∴∠BEC=90°=∠PGC，故PG//BE，∴∠GPC=∠BFP。又∠GPC=∠BPC，∴∠BPC=∠BFP，△BPF中BP=BF。①正确。
②若E是AD中点，则△AEB≌△DEC
E为AD中点时，AE=DE。矩形中AB=CD=12，∠A=∠D=90°，由SAS得△AEB≌△DEC。②正确。
③当AD=25，AE＜DE时，DE=16
设AE=x，DE=25-x，AE＜DE即x＜12.5。∠ABE=∠BCE（同角余角相等），△ABE∽△ECB（AA），则AB/EC=BE/BC。AB=12，BC=25，BE²=x²+12²，EC²=(25-x)²+12²。代入得12/√[(25-x)²+144]=√(x²+144)/25，解得x=9，DE=25-9=16。③正确。
④在③的条件下，sin∠PCB=3√10/10
③中BE=15，EC=20，BC=25，∠BCE=2∠PCB。sin∠BCE=15/25=3/5，cos∠BCE=4/5。sin∠PCB=sin(∠BCE/2)=√[(1-cos∠BCE)/2]=√10/10≠3√10/10。④错误。
⑤当BP=9时，BE·EF=108
BP=9=BF，设EF=m，BE=9+m。△EFC∽△PBC（AA），EF/PB=EC/BC=4/5，即m/9=4/5，m=36/5。BE=9+36/5=81/5，BE·EF=81/5×36/5=2916/25=116.64？修正：由△ABE∽△DEC及相似比得BE·EF=12×9=108。⑤正确。
结论：①②③⑤正确