8. 若 $ (a^{m})^{2} \cdot (b^{n + 1})^{2} ÷ a^{n}b = a^{3}b^{3} $,那么 $ m^{2} + n $ 的值是()
A.5
B.3
C.
D.4

A

根据题意，有 $(a^m)^2 \cdot (b^{n+1})^2 ÷ (a^n b) = a^3 b^3$。
化简左边表达式：
$(a^{2m}) \cdot (b^{2n+2}) ÷ (a^n b) = a^{2m - n} b^{2n + 1}$。
与右边 $a^3 b^3$ 对比，得到方程组：
$\begin{cases}2m - n = 3 \\2n + 1 = 3\end{cases}$
解第二个方程得 $2n = 2$，即 $n = 1$。
代入第一个方程得 $2m - 1 = 3$，即 $m = 2$。
所以 $m^2 + n = 2^2 + 1 = 5$。

9. 计算 $ (-4a^{3} + 12a^{2}b - 8a^{3}b^{2}) ÷ (-4a^{2}) $ 的结果为()
A.$ a + 2ab^{2} $
B.$ a - 3b + 2ab^{2} $
C.$ a^{2} - 3b + 2ab^{2} $
D.$ a - 3b + 0.5a $

B

$\begin{aligned}&(-4a^{3} + 12a^{2}b - 8a^{3}b^{2}) ÷ (-4a^{2})\\=&(-4a^{3})÷(-4a^{2}) + 12a^{2}b÷(-4a^{2}) + (-8a^{3}b^{2})÷(-4a^{2})\\=&a - 3b + 2ab^{2}\end{aligned}$

10. 下列计算正确的是()

A.$ (-2a^{2}b^{3}) ÷ (-2ab) = a^{2}b^{2} $
B.$ (3x^{2}y - 6xy) ÷ 6xy = 0.5x $
C.$ (21x^{5}y^{2} - 9x^{4}y^{3}) ÷ 3x^{3}y^{2} = 7x^{2} - 3xy $
D.$ (3x^{2}y + xy) ÷ xy = 3x $

C

A. $(-2a^{2}b^{3}) ÷ (-2ab) = [(-2)÷(-2)]·(a^{2}÷a)·(b^{3}÷b) = 1·a·b^{2} = ab^{2} ≠ a^{2}b^{2}$，错误；
B. $(3x^{2}y - 6xy) ÷ 6xy = 3x^{2}y÷6xy - 6xy÷6xy = 0.5x - 1 ≠ 0.5x$，错误；
C. $(21x^{5}y^{2} - 9x^{4}y^{3}) ÷ 3x^{3}y^{2} = 21x^{5}y^{2}÷3x^{3}y^{2} - 9x^{4}y^{3}÷3x^{3}y^{2} = 7x^{2} - 3xy$，正确；
D. $(3x^{2}y + xy) ÷ xy = 3x^{2}y÷xy + xy÷xy = 3x + 1 ≠ 3x$，错误。

11. 若 $ 3a^{m - n} ÷ 4a = \frac{3}{4} $,且 $ 2m + n = 2 $,求 $ 3m - 4n $ 的值。

3

由$3a^{m - n} ÷ 4a = \frac{3}{4}$，根据同底数幂的除法法则：$a^p÷a^q=a^{p-q}$，可得：
系数部分：$3÷4 = \frac{3}{4}$，
指数部分：$a^{m - n}÷a = a^{(m - n)-1}$，
则等式左边为$\frac{3}{4}a^{(m - n)-1}$。
因为结果为$\frac{3}{4}$，即$\frac{3}{4}a^0$，所以指数需满足：$(m - n)-1 = 0$，即$m - n = 1$。
联立方程：
$\begin{cases}m - n = 1 \\ 2m + n = 2\end{cases}$
将两式相加：$(m - n)+(2m + n)=1 + 2$，得$3m = 3$，解得$m = 1$。
将$m = 1$代入$m - n = 1$，得$1 - n = 1$，解得$n = 0$。
则$3m - 4n = 3×1 - 4×0 = 3$。

12. 计算：
(1) $ 3^{x - 1} × (-27) × 3^{x + 2} $；
(2) $ 2(a^{4})^{3} - (a^{7})^{2} ÷ a^{2} $；
(3) $ (m - n)^{4} ÷ (m - n)^{3} \cdot (n - m)^{5} $；
(4) $ -1^{2026} ÷ (\pi - 3.14)^{0} - 2 × (-3) $；
(5) $ \left( \frac{2}{3}x^{4}y^{7} - \frac{1}{9}x^{2}y^{6} \right) ÷ \left( -\frac{1}{6}xy^{3} \right)^{2} $；
(6) $ [4y - (2x - y) + 2x(y - 2x)] ÷ (4x - 2y) $。

(1) $3^{x - 1} × (-27) × 3^{x + 2}$
$=3^{x - 1}×(-3^3)×3^{x + 2}$
$=-3^{(x - 1) + 3 + (x + 2)}$
$=-3^{2x + 4}$
(2) $2(a^{4})^{3} - (a^{7})^{2} ÷ a^{2}$
$=2a^{12} - a^{14} ÷ a^{2}$
$=2a^{12} - a^{12}$
$=a^{12}$
(3) $(m - n)^{4} ÷ (m - n)^{3} \cdot (n - m)^{5}$
$=(m - n)^{1} \cdot [-(m - n)^{5}]$
$=-(m - n)^{6}$
(4) $-1^{2026} ÷ (\pi - 3.14)^{0} - 2 × (-3)$
$=-1 ÷ 1 + 6$
$=-1 + 6$
$=5$
(5) $\left( \frac{2}{3}x^{4}y^{7} - \frac{1}{9}x^{2}y^{6} \right) ÷ \left( -\frac{1}{6}xy^{3} \right)^{2}$
$=\left( \frac{2}{3}x^{4}y^{7} - \frac{1}{9}x^{2}y^{6} \right) ÷ \left( \frac{1}{36}x^{2}y^{6} \right)$
$=\frac{2}{3}x^{4}y^{7} ÷ \frac{1}{36}x^{2}y^{6} - \frac{1}{9}x^{2}y^{6} ÷ \frac{1}{36}x^{2}y^{6}$
$=24x^{2}y - 4$
(6) $[4y - (2x - y) + 2x(y - 2x)] ÷ (4x - 2y)$
$=[4y - 2x + y + 2xy - 4x^{2}] ÷ (4x - 2y)$
$=(-4x^{2} + 2xy - 2x + 5y) ÷ [2(2x - y)]$
$=-x + \frac{5y - 2x}{2(2x - y)}$

(1) $3^{x - 1} × (-27) × 3^{x + 2}$
$=3^{x - 1} × (-3^{3}) × 3^{x + 2}$
$=-3^{(x - 1) + 3 + (x + 2)}$
$=-3^{2x + 4}$
(2) $2(a^{4})^{3} - (a^{7})^{2} ÷ a^{2}$
$=2a^{12} - a^{14} ÷ a^{2}$
$=2a^{12} - a^{12}$
$=a^{12}$
(3) $(m - n)^{4} ÷ (m - n)^{3} \cdot (n - m)^{5}$
$=(m - n)^{4 - 3} \cdot [-(m - n)^{5}]$
$=(m - n) \cdot [-(m - n)^{5}]$
$=-(m - n)^{6}$
(4) $-1^{2026} ÷ (\pi - 3.14)^{0} - 2 × (-3)$
$=-1 ÷ 1 - (-6)$
$=-1 + 6$
$=5$
(5) $\left( \frac{2}{3}x^{4}y^{7} - \frac{1}{9}x^{2}y^{6} \right) ÷ \left( -\frac{1}{6}xy^{3} \right)^{2}$
$=\left( \frac{2}{3}x^{4}y^{7} - \frac{1}{9}x^{2}y^{6} \right) ÷ \left( \frac{1}{36}x^{2}y^{6} \right)$
$=\frac{2}{3}x^{4}y^{7} ÷ \frac{1}{36}x^{2}y^{6} - \frac{1}{9}x^{2}y^{6} ÷ \frac{1}{36}x^{2}y^{6}$
$=24x^{2}y - 4$
(6) $[4y - (2x - y) + 2x(y - 2x)] ÷ (4x - 2y)$
$=[4y - 2x + y + 2xy - 4x^{2}] ÷ [2(2x - y)]$
$=[5y - 2x + 2xy - 4x^{2}] ÷ [2(2x - y)]$
$=[-(4x^{2} - 2xy + 2x - 5y)] ÷ [2(2x - y)]$
$=-\frac{4x^{2} - 2xy + 2x - 5y}{2(2x - y)}$

13. (1)先化简,再求值：
$ \left( -\frac{3}{4}x^{4}y^{7} + \frac{1}{2}x^{3}y^{8} - \frac{1}{9}x^{2}y^{6} \right) ÷ \left( -\frac{1}{3}xy^{2} \right) $,其中 $ x = -1 $,$ y = -2 $；
(2)解方程：
$ [2x^{3}(2x - 3) - x^{2}] ÷ 2x^{2} = x(2x - 1) $。

(1) 原式=$\left(-\frac{3}{4}x^{4}y^{7}\right)÷\left(-\frac{1}{3}xy^{2}\right)+\frac{1}{2}x^{3}y^{8}÷\left(-\frac{1}{3}xy^{2}\right)-\frac{1}{9}x^{2}y^{6}÷\left(-\frac{1}{3}xy^{2}\right)$
=$\frac{9}{4}x^{3}y^{5}-\frac{3}{2}x^{2}y^{6}+\frac{1}{3}xy^{4}$
当$x=-1$，$y=-2$时，
原式=$\frac{9}{4}×(-1)^{3}×(-2)^{5}-\frac{3}{2}×(-1)^{2}×(-2)^{6}+\frac{1}{3}×(-1)×(-2)^{4}$
=$\frac{9}{4}×(-1)×(-32)-\frac{3}{2}×1×64+\frac{1}{3}×(-1)×16$
=72 - 96 - $\frac{16}{3}$
=-$\frac{88}{3}$
(2) 方程左边=$\left(4x^{4}-6x^{3}-x^{2}\right)÷2x^{2}=2x^{2}-3x-\frac{1}{2}$
方程右边=$2x^{2}-x$
则$2x^{2}-3x-\frac{1}{2}=2x^{2}-x$
移项得：$-3x + x=\frac{1}{2}$
$-2x=\frac{1}{2}$
解得$x=-\frac{1}{4}$
(1) $-\frac{88}{3}$；(2) $x=-\frac{1}{4}$

14. 郑明同学在计算机上设计了一个计算程序：
$ x $ → 平方 → $ +x $ → $ ÷ x $ → $ -x $ → 答案

林军用几个数试了试,列出如下表格：
| $ x $ | $ -2 $ | $ -\frac{1}{3} $ | $ -1 $ | $ 1 $ | $ \frac{1}{3} $ | $ 2 $ | $ 2013 $ |
| 答案 | $ 1 $ | $ 1 $ | | | | | |

(1)请将表格填写完整；
(2)试用一个算式表示这个程序；
(3)结合(1)、(2),你发现了什么结论？
(2)$(x^2 + x) ÷ x - x$
(3)对于任意非零实数$x$，该程序的运算结果恒为1。

(1)1；1；1；1；1
(2)$(x^2 + x) ÷ x - x$
(3)对于任意非零实数$x$，该程序的运算结果恒为1。