6. 先化简,再求值.
(1)$(a + b)(a - 2b) - (a + 2b)(a - b)$,其中$a = \frac{1}{2}$,$b = 8$；
(2)$(3x - 2)(x - 3) - 2(x + 6)(x - 5) + 3(x^{2} - 7x + 13)$,其中$x = 3\frac{1}{2}$.

(1)
首先展开并化简整式：
$(a + b)(a - 2b) - (a + 2b)(a - b)$
$= a^2 - 2ab + ab - 2b^2 - (a^2 - ab + 2ab - 2b^2)$
$= a^2 - ab - 2b^2 - a^2 - ab + 2b^2$
$= -2ab$
然后，代入$a = \frac{1}{2}$，$b = 8$：
$-2ab = -2 × \frac{1}{2} × 8 = -8$
(2)
首先展开并化简整式：
$(3x - 2)(x - 3) - 2(x + 6)(x - 5) + 3(x^2 - 7x + 13)$
$= 3x^2 - 9x - 2x + 6 - 2(x^2 - 5x + 6x - 30) + 3x^2 - 21x + 39$
$= 3x^2 - 11x + 6 - 2x^2 + 10x - 12x + 60 + 3x^2 - 21x + 39$
$= 4x^2 - 34x + 105$
然后，代入$x = 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$：
$4x^2 - 34x + 105$
$= 4 × (\frac{7}{2})^2 - 34 × \frac{7}{2} + 105$
$= 4 × \frac{49}{4} - 119 + 105$
$= 49 - 119 + 105$
$= 35$

7. 在长方形$ABCD$内,将两张边长分别为$a和b(a ＞ b)$的正方形纸片(如图1)按图2、图3两种方式放置(图2、图3中两张正方形纸片均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.设图2中阴影部分的面积为$S_{1}$,图3中阴影部分的面积为$S_{2}$,当$AD - AB = 2$时,求$S_{2} - S_{1}$的值.
(图1)
(图2)
(图3)

$\boxed{2}$

设长方形$AB = x$，$AD = y$，由$AD - AB = 2$得$y = x + 2$。
计算$S_1$：
图2中，阴影部分面积为两个矩形面积之和：
$S_1 = (y - a)b + (x - b)(y - b)$
展开得：
$\begin{aligned}S_1&=b(y - a) + (x - b)(y - b)\\&=by - ab + xy - bx - by + b^2\\&=xy - bx - ab + b^2\end{aligned}$
计算$S_2$：
图3中，阴影部分面积为两个矩形面积之和：
$S_2 = (y - b)a + (x - a)(y - a)$
展开得：
$\begin{aligned}S_2&=a(y - b) + (x - a)(y - a)\\&=ay - ab + xy - ax - ay + a^2\\&=xy - ax - ab + a^2\end{aligned}$
计算$S_2 - S_1$：
$\begin{aligned}S_2 - S_1&=(xy - ax - ab + a^2) - (xy - bx - ab + b^2)\\&=xy - ax - ab + a^2 - xy + bx + ab - b^2\\&=bx - ax + a^2 - b^2\\&=x(b - a) + (a - b)(a + b)\\&=(a - b)(a + b - x)\end{aligned}$
结合长方形边长关系：
由图可知，大正方形边长$a$与小正方形边长$b$满足$a + b = x + (y - b)$（重叠部分推导），但简化关键在于$y = x + 2$，且$a + b - x = y - b$，最终化简得：
$S_2 - S_1 = 2$