1. 下列各式中,能用平方差公式分解因式的是()
A.$x^{2}-x$
B.$x^{2}-2x + 1$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$x^{2}-1$

D

平方差公式为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，要求两项式且分别为平方项（正负可变），还能写成两个数（或式）的平方差的形式。
选项A：$x^2 - x$，只有一项平方项$x^2$，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式。
选项B：$x^2 - 2x + 1$，这是完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的形式，其中$a = x$，$b = 1$，即$x^2 - 2x + 1=(x - 1)^2$，不能用平方差公式分解因式。
选项C：$x^2 + y^2$，是两平方项相加，不符合平方差公式$a^2 - b^2$的形式，不能用平方差公式分解因式。
选项D：$x^2 - 1$，可写成$x^2 - 1^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2$的形式，其中$a = x$，$b = 1$，能分解为$(x + 1)(x - 1)$。

2. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是()
A.$x^{2}-9$
B.$-4 - m^{2}$
C.$m^{2}-n^{2}$
D.$9x^{2}-4$

B

平方差公式为$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，要求分解的式子要能写成两个数或式子的平方差的形式。
选项A：$x^{2}-9=x^{2}-3^{2}$，可以用平方差公式分解为$(x + 3)(x - 3)$。
选项B：$-4 - m^{2}=-(m^{2}+4)$，不能写成两个数或式子的平方差的形式，不能用平方差公式分解。
选项C：$m^{2}-n^{2}$，可以用平方差公式分解为$(m + n)(m - n)$。
选项D：$9x^{2}-4=(3x)^{2}-2^{2}$，可以用平方差公式分解为$(3x + 2)(3x - 2)$。

3. 对多项式 $4 - x^{2}$ 进行因式分解,正确的是()
A.$4 - x^{2}= (4 + x)(4 - x)$
B.$4 - x^{2}= (x + 2)(x - 2)$
C.$4 - x^{2}= (1 + 2x)(1 - 2x)$
D.$4 - x^{2}= (2 + x)(2 - x)$

D

题目要求对多项式 $4 - x^2$ 进行因式分解，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，将 $4 - x^2$ 视为 $2^2 - x^2$，因此分解为 $(2 + x)(2 - x)$。

4. 将多项式 $-m^{2}+n^{2}$ 用公式法进行因式分解,正确的是()
A.$(m + n)(m - n)$
B.$(n - m)^{2}$
C.$(-m - n)(m + n)$
D.$(n + m)(n - m)$

D

原式 $ -m^2 + n^2 $ 可以写成 $ n^2 - m^2 $，根据平方差公式 $ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $，令 $ a = n $，$ b = m $，则 $ n^2 - m^2 = (n + m)(n - m) $。
对比选项，D 选项为 $ (n + m)(n - m) $，与解析结果一致。

5. 若 $x^{2}-y^{2}= 12$,且 $x - y = 2$,则 $x + y$ 的值是()
A.12
B.24
C.6
D.14

C

根据平方差公式，有 $x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y)$。
已知 $x^{2} - y^{2} = 12$ 和 $x - y = 2$，将 $x - y = 2$ 代入平方差公式中，得到：
$(x + y) × 2 = 12$，
$x + y = 6$。

6. 因式分解 $(x - 1)^{2}-9$ 的结果是()
A.$(x - 10)(x + 8)$
B.$(x + 8)(x + 1)$
C.$(x - 2)(x + 4)$
D.$(x + 2)(x - 4)$

D

原式 $(x - 1)^{2} - 9$ 可以看作是平方差的形式，即 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
在这里，$a = x - 1$，$b = 3$。
应用平方差公式，有：
$(x - 1)^{2} - 9 = (x - 1 + 3)(x - 1 - 3) = (x + 2)(x - 4)$。

7. 分解因式：
(1) $x^{2}-1=$；
(2) $-25 + 16x^{2}=$；
(3) $x^{2}-\frac{1}{25}y^{2}=$；
(4) $49a^{2}-81b^{4}=$。

(1) $(x + 1)(x - 1)$
(2) $(4x + 5)(4x - 5)$
(3) $(x + \frac{1}{5}y)(x - \frac{1}{5}y)$
(4) $(7a + 9b^{2})(7a - 9b^{2})$

(1) 对于 $x^{2} - 1$，这是平方差的形式，可以直接应用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
这里 $a = x, b = 1$，所以 $x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$。
(2) 对于 $-25 + 16x^{2}$，首先调整顺序为 $16x^{2} - 25$。
这也是平方差的形式，应用平方差公式，这里 $a = 4x, b = 5$，所以 $16x^{2} - 25 = (4x + 5)(4x - 5)$，即可以填写为$(4x + 5)(4x - 5)$。
(3) 对于 $x^{2} - \frac{1}{25}y^{2}$，这同样是平方差的形式。
应用平方差公式，这里 $a = x, b = \frac{1}{5}y$，所以 $x^{2} - \frac{1}{25}y^{2} = (x + \frac{1}{5}y)(x - \frac{1}{5}y)$。
(4) 对于 $49a^{2} - 81b^{4}$，这同样是平方差的形式。
应用平方差公式，可以得到$a = 7a, b = 9b^{2}$，所以 $49a^{2} - 81b^{4} = (7a + 9b^{2})(7a - 9b^{2})$。

8. 若 $|x + y - 6|+(x - y - 3)^{2}= 0$,则 $x^{2}-y^{2}= $。

18

因为|x + y - 6|≥0，(x - y - 3)²≥0，且|x + y - 6| + (x - y - 3)² = 0，所以x + y - 6 = 0，x - y - 3 = 0，即x + y = 6，x - y = 3。则x² - y² = (x + y)(x - y) = 6×3 = 18。

9. 利用因式分解计算：
(1) $65^{2}-35^{2}$；
(2) $97^{2}-9$；
(3) $7×55^{2}-45^{2}×7$。

(1)
$\begin{aligned}原式=(65 + 35)(65 - 35)=100×30 = 3000\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式=97^{2}-3^{2}=(97 + 3)(97 - 3)=100×94 = 9400\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}原式=7×(55^{2}-45^{2})=7×(55 + 45)(55 - 45)=7×100×10 = 7000\end{aligned}$