22. 已知二次函数$y= -x^2+bx+3$的图象经过点A(1,4).
(1)求b的值.
(2)判断P(2,3)是否在该函数的图象上,并说明理由.

(1)解：∵二次函数$y=-x^2+bx+3$的图象经过点A(1,4)，
∴将x=1，y=4代入函数得：$4=-1^2+b×1+3$，
即$4=-1+b+3$，
$4=2+b$，
解得$b=2$。
(2)解：由(1)知二次函数解析式为$y=-x^2+2x+3$。
将x=2代入函数得：$y=-2^2+2×2+3=-4+4+3=3$，
∵当x=2时，y=3，与点P的坐标(2,3)一致，
∴点P(2,3)在该函数的图象上。

23. 如图所示,在$\triangle ABC$中,D是AB边上的点,$\angle ADC= \angle ACB$.
(1)求证:$\triangle ADC\sim\triangle ACB$.
(2)若$AB= 5$,$AC= 3$,求BD的长.

【解析】：
(1) 本题考查相似三角形的判定。在$\triangle ADC$和$\triangle ACB$中，已知$\angle ADC = \angle ACB$，且$\angle A$为公共角，即$\angle A = \angle A$。根据相似三角形的判定条件，当两个三角形有两个对应的角相等时，这两个三角形相似。所以，可以得出$\triangle ADC \sim \triangle ACB$。
(2)本题考查相似三角形的性质以及比例的应用。由于$\triangle ADC \sim \triangle ACB$，根据相似三角形的性质，有$\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$。已知$AB = 5$，$AC = 3$，代入比例式得$\frac{AD}{3} = \frac{3}{5}$，解得$AD = \frac{9}{5}$。
最后，利用线段的减法求出$BD$的长度，即$BD = AB - AD = 5 - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}$。
【答案】：
(1)证明：
在$\triangle ADC$和$\triangle ACB$中，
$\angle ADC = \angle ACB$，$\angle A = \angle A$，
∴ $\triangle ADC \sim \triangle ACB$。
(2)解：
∵ $\triangle ADC \sim \triangle ACB$，
∴ $\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}$，
∵ $AB = 5$，$AC = 3$，
∴ $\frac{AD}{3} = \frac{3}{5}$，
解得$AD = \frac{9}{5}$，
∴ $BD = AB - AD = 5 - \frac{9}{5} = \frac{16}{5}$。