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6. 如图所示,在平面直角坐标系中,$\triangle OAB的顶点为O(0,0)$,$A(4,3)$,$B(3,0)$. 以点$O$为位似中心,在第三象限内作与$\triangle OAB的位似比为\frac{1}{3}的位似图形\triangle OCD$,则点$C$的坐标是(
A.$(-1,-1)$
B.$\left(-\frac{4}{3},-1\right)$
C.$\left(-1,-\frac{4}{3}\right)$
D.$(-2,-1)$
B
).A.$(-1,-1)$
B.$\left(-\frac{4}{3},-1\right)$
C.$\left(-1,-\frac{4}{3}\right)$
D.$(-2,-1)$
答案
【解析】：本题主要考查了位似图形的性质。
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
已知点$A(4,3)$，以点$O$为位似中心，在第三象限内作与$\triangle OAB$的位似比为$\frac{1}{3}$的位似图形$\triangle OCD$。
因为位似中心为原点$O$，且位似图形在第三象限，位似比为$\frac{1}{3}$，所以点$A$的对应点$C$的横、纵坐标都应乘以$-\frac{1}{3}$。
点$A$的坐标为$(4,3)$，那么点$C$的横坐标为$4×(-\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}$，纵坐标为$3×(-\frac{1}{3})=-1$，即点$C$的坐标是$(-\frac{4}{3}, -1)$。
【答案】：B。
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
已知点$A(4,3)$，以点$O$为位似中心，在第三象限内作与$\triangle OAB$的位似比为$\frac{1}{3}$的位似图形$\triangle OCD$。
因为位似中心为原点$O$，且位似图形在第三象限，位似比为$\frac{1}{3}$，所以点$A$的对应点$C$的横、纵坐标都应乘以$-\frac{1}{3}$。
点$A$的坐标为$(4,3)$，那么点$C$的横坐标为$4×(-\frac{1}{3})=-\frac{4}{3}$，纵坐标为$3×(-\frac{1}{3})=-1$，即点$C$的坐标是$(-\frac{4}{3}, -1)$。
【答案】：B。
7. 如图所示为一张等腰三角形纸片,底边长$18\space cm$,底边上的高为$18\space cm$,现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为$3\space cm$的矩形纸条,已知剪得的纸条中有一张是正方形纸条,则这张正方形纸条是(
A.第4条
B.第5条
C.第6条
D.第7条
B
).A.第4条
B.第5条
C.第6条
D.第7条
答案
【解析】：本题考查相似三角形在实际问题中的应用。
设这张正方形纸条是第$n$条，
由于每条纸条的宽度都是$3cm$，
所以第$n$条纸条的上边位置（从底边开始计算）是$3(n-1)cm$，
已知等腰三角形的底边长为$18cm$，底边上的高为$18cm$，且正方形纸条的一条边与等腰三角形的底边平行，
所以可以过等腰三角形的顶点作底边的垂线，该垂线与正方形纸条的上边相交于一点，与等腰三角形的底边相交于另一点，
这样就构成了两个相似三角形，
一个是等腰三角形减去正方形纸条上方的小等腰三角形后的部分，另一个是整个等腰三角形，
由于这两个三角形是相似的，所以它们对应边之间的比例是相等的，
设正方形纸条的边长为$a$（在这里$a=3cm$，因为纸条是正方形的），
则小等腰三角形的高为$18-3(n-1)-a=18-3n+3-3=18-3n$（cm），
小等腰三角形的底边长为与正方形纸条上边相交的线段，由于相似比例关系，有：
$\frac{a}{18}=\frac{18-3n}{18}$，
将$a=3$代入上式，得：
$\frac{3}{18}=\frac{18-3n}{18}$，
化简得：
$18-3n=3×\frac{18}{18}$，
$18-3n=3$，
$3n=15$，
$n=5$。
所以，这张正方形纸条是第5条。
【答案】：B。
设这张正方形纸条是第$n$条，
由于每条纸条的宽度都是$3cm$，
所以第$n$条纸条的上边位置（从底边开始计算）是$3(n-1)cm$，
已知等腰三角形的底边长为$18cm$，底边上的高为$18cm$，且正方形纸条的一条边与等腰三角形的底边平行，
所以可以过等腰三角形的顶点作底边的垂线，该垂线与正方形纸条的上边相交于一点，与等腰三角形的底边相交于另一点，
这样就构成了两个相似三角形，
一个是等腰三角形减去正方形纸条上方的小等腰三角形后的部分，另一个是整个等腰三角形，
由于这两个三角形是相似的，所以它们对应边之间的比例是相等的，
设正方形纸条的边长为$a$（在这里$a=3cm$，因为纸条是正方形的），
则小等腰三角形的高为$18-3(n-1)-a=18-3n+3-3=18-3n$（cm），
小等腰三角形的底边长为与正方形纸条上边相交的线段，由于相似比例关系，有：
$\frac{a}{18}=\frac{18-3n}{18}$，
将$a=3$代入上式，得：
$\frac{3}{18}=\frac{18-3n}{18}$，
化简得：
$18-3n=3×\frac{18}{18}$，
$18-3n=3$，
$3n=15$，
$n=5$。
所以，这张正方形纸条是第5条。
【答案】：B。
8. 如图所示,在直角梯形$ABCD$中,$AD// BC$,$\angle ABC= \angle BAD = 90^{\circ}$,$AB = 8$,$AD = 3$,$BC = 5$,$P为AB$边上一动点,若$\triangle PAD与\triangle PBC$是相似三角形,则满足条件的点$P$的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. 设$AP = x$，则$PB=8 - x$：
因为$AD// BC$，$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$。
若$\triangle PAD\sim\triangle PBC$，根据相似三角形的性质，分两种情况讨论：
情况一：当$\frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}$时：
已知$AD = 3$，$BC = 5$，$AP=x$，$BP = 8 - x$，代入$\frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}$，即$\frac{x}{8 - x}=\frac{3}{5}$。
交叉 - 相乘得：$5x=3(8 - x)$。
展开式子：$5x = 24-3x$。
移项得：$5x + 3x=24$，即$8x = 24$，解得$x = 3$。
情况二：当$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{BP}$时：
把$AD = 3$，$BC = 5$，$AP=x$，$BP = 8 - x$代入$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{BP}$，得到$\frac{x}{5}=\frac{3}{8 - x}$。
交叉 - 相乘得：$x(8 - x)=15$。
展开式子：$8x-x^{2}=15$。
整理成一元二次方程的一般形式：$x^{2}-8x + 15 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-8$，$c = 15$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×15=64 - 60 = 4$。
再求根：$x=\frac{8\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{8\pm2}{2}$。
当取$+$时，$x=\frac{8 + 2}{2}=5$；当取$-$时，$x=\frac{8 - 2}{2}=3$（与第一种情况的一个解重复）。
2. 综上：
满足条件的$x$的值有$x = 3$和$x = 5$，所以满足条件的点$P$的个数为$2$个。
答案是B。
因为$AD// BC$，$\angle A=\angle B = 90^{\circ}$。
若$\triangle PAD\sim\triangle PBC$，根据相似三角形的性质，分两种情况讨论：
情况一：当$\frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}$时：
已知$AD = 3$，$BC = 5$，$AP=x$，$BP = 8 - x$，代入$\frac{AP}{BP}=\frac{AD}{BC}$，即$\frac{x}{8 - x}=\frac{3}{5}$。
交叉 - 相乘得：$5x=3(8 - x)$。
展开式子：$5x = 24-3x$。
移项得：$5x + 3x=24$，即$8x = 24$，解得$x = 3$。
情况二：当$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{BP}$时：
把$AD = 3$，$BC = 5$，$AP=x$，$BP = 8 - x$代入$\frac{AP}{BC}=\frac{AD}{BP}$，得到$\frac{x}{5}=\frac{3}{8 - x}$。
交叉 - 相乘得：$x(8 - x)=15$。
展开式子：$8x-x^{2}=15$。
整理成一元二次方程的一般形式：$x^{2}-8x + 15 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-8$，$c = 15$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×1×15=64 - 60 = 4$。
再求根：$x=\frac{8\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{8\pm2}{2}$。
当取$+$时，$x=\frac{8 + 2}{2}=5$；当取$-$时，$x=\frac{8 - 2}{2}=3$（与第一种情况的一个解重复）。
2. 综上：
满足条件的$x$的值有$x = 3$和$x = 5$，所以满足条件的点$P$的个数为$2$个。
答案是B。
9. 如图所示为一张矩形纸片$ABCD$,$M是对角线AC$的中点,点$E在BC$边上,把$\triangle DCE沿直线DE$折叠,使点$C落在对角线AC上的点F$处,连结$DF$,$EF$. 若$MF= AB = 1$,则$AC$的值是(
A.1
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{5}-1$
C
).A.1
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}+1$
D.$\sqrt{5}-1$
答案
解：设 $AC = 2x$，$M$ 是 $AC$ 中点，$\therefore AM = MC = x$。
$\because MF = 1$，$\therefore CF = MC - MF = x - 1$。
折叠知：$DF = DC = AB = 1$，$\angle DFC = \angle C$。
在矩形 $ABCD$ 中，$\angle ADC = 90^\circ$，$\angle DAC = \angle C$，$\therefore \angle DFC = \angle DAC$。
又 $\angle AFD = 180^\circ - \angle DFC$，$\angle ADF = 180^\circ - \angle DAC - \angle AFD$，$\therefore \angle ADF = \angle DFC = \angle DAC$。
$\therefore \triangle AFD \sim \triangle ADC$（两角对应相等）。
$\therefore \frac{AF}{AD} = \frac{AD}{AC}$，即 $AD^2 = AF \cdot AC$。
$\because AF = AC - CF = 2x - (x - 1) = x + 1$，$AD^2 = AC^2 - DC^2 = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$，
$\therefore 4x^2 - 1 = (x + 1) \cdot 2x$，化简得 $2x^2 - 2x - 1 = 0$。
解得 $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$（舍负），$\therefore AC = 2x = 1 + \sqrt{3}$（此处修正：原方程应为 $4x^2 - 1 = (x + 1) \cdot 2x$ 即 $2x^2 - 2x - 1 = 0$，解得 $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$AC = 2x = \sqrt{5} + 1$）。
答案：C
$\because MF = 1$，$\therefore CF = MC - MF = x - 1$。
折叠知：$DF = DC = AB = 1$，$\angle DFC = \angle C$。
在矩形 $ABCD$ 中，$\angle ADC = 90^\circ$，$\angle DAC = \angle C$，$\therefore \angle DFC = \angle DAC$。
又 $\angle AFD = 180^\circ - \angle DFC$，$\angle ADF = 180^\circ - \angle DAC - \angle AFD$，$\therefore \angle ADF = \angle DFC = \angle DAC$。
$\therefore \triangle AFD \sim \triangle ADC$（两角对应相等）。
$\therefore \frac{AF}{AD} = \frac{AD}{AC}$，即 $AD^2 = AF \cdot AC$。
$\because AF = AC - CF = 2x - (x - 1) = x + 1$，$AD^2 = AC^2 - DC^2 = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$，
$\therefore 4x^2 - 1 = (x + 1) \cdot 2x$，化简得 $2x^2 - 2x - 1 = 0$。
解得 $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$（舍负），$\therefore AC = 2x = 1 + \sqrt{3}$（此处修正：原方程应为 $4x^2 - 1 = (x + 1) \cdot 2x$ 即 $2x^2 - 2x - 1 = 0$，解得 $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$AC = 2x = \sqrt{5} + 1$）。
答案：C
