5. 已知多项式 $A = 5x^{2}-2xy + y$,$B = - 2x^{2}+xy - 2y + 1$。
(1)求 $2A + 5B$ 的值；
(2)若 $2A + 5B$ 的值与 $y$ 的取值无关,求 $x$ 的值。

(1)
首先，已知$A = 5x^{2}-2xy + y$，$B = - 2x^{2}+xy - 2y + 1$。
$2A=2(5x^{2}-2xy + y)=10x^{2}-4xy + 2y$；
$5B = 5(-2x^{2}+xy - 2y + 1)=-10x^{2}+5xy-10y + 5$。
则$2A + 5B=(10x^{2}-4xy + 2y)+(-10x^{2}+5xy-10y + 5)$
$=10x^{2}-4xy + 2y-10x^{2}+5xy-10y + 5$
$=(10x^{2}-10x^{2})+(5xy-4xy)+(2y - 10y)+5$
$=xy-8y + 5$
(2)
由(1)得$2A + 5B=xy-8y + 5=(x - 8)y+5$。
因为$2A + 5B$的值与$y$的取值无关，所以$y$的系数为$0$，即$x - 8 = 0$，解得$x = 8$。
综上，答案为：(1)$xy - 8y+5$；(2)$x = 8$。

6. 李明在做一道题：“已知两个多项式 $M$,$N$,其中 $M = x^{2}-3x + 1$,计算 $2M - N$。”他误将“$2M - N$”写成了“$M - 2N$”,结果答案是 $x^{2}-7x + 5$。请帮他求出 $2M - N$ 的正确答案。

$2x^{2}-8x + 4$

因为李明误将“$2M - N$”写成“$M - 2N$”，结果为$x^{2}-7x + 5$，且$M = x^{2}-3x + 1$，所以：
$M - 2N = x^{2}-7x + 5$
将$M = x^{2}-3x + 1$代入上式，得：
$(x^{2}-3x + 1) - 2N = x^{2}-7x + 5$
移项、合并同类项，求$N$：
$-2N = x^{2}-7x + 5 - (x^{2}-3x + 1)$
$= x^{2}-7x + 5 - x^{2}+3x - 1$
$= -4x + 4$
则$N = \frac{-4x + 4}{-2} = 2x - 2$
计算$2M - N$：
$2M = 2(x^{2}-3x + 1) = 2x^{2}-6x + 2$
$2M - N = (2x^{2}-6x + 2) - (2x - 2) = 2x^{2}-6x + 2 - 2x + 2 = 2x^{2}-8x + 4$

7. 已知 $a$,$b$,$c$ 在数轴上对应点的位置如图所示,化简 $2|a + b|-5|b + c|+2|a - b|$。

由数轴可知$a\lt0\lt b\lt c$，所以$a + b\lt0$，$b + c\gt0$，$a - b\lt0$。
则$2|a + b|-5|b + c|+2|a - b|$
$=2×[-(a + b)]-5×(b + c)+2×[-(a - b)]$
$=-2a - 2b - 5b - 5c - 2a + 2b$
$=-4a - 5b - 5c$

例1 (1) 单项式 $-3^{4}a^{2}b^{5}$ 的系数是,次数是；
(2) 单项式 $x^{3}y$ 的系数是,次数是.

(1) $-81$，$7$；(2) $1$，$4$。

(1) 对于单项式 $-3^{4}a^{2}b^{5}$：
系数：单项式中的数字因数是 $-3^{4} = -81$，所以系数是 $-81$。
次数：需要计算所有字母的指数之和。在这里，$a$ 的指数是 $2$，$b$ 的指数是 $5$，所以次数是 $2 + 5 = 7$。
(2) 对于单项式 $x^{3}y$：
系数：单项式中的数字因数是 $1$（因为没有明确的数字因数，所以默认为 $1$），所以系数是 $1$。
次数：需要计算所有字母的指数之和。在这里，$x$ 的指数是 $3$，$y$ 的指数是 $1$，所以次数是 $3 + 1 = 4$。

巩固提升 若单项式 $-x^{4}y^{6}$ 与 $3x^{3 - m}y^{6}$ 的和仍是单项式,则 $m = $.

-1

因为两个单项式的和仍是单项式，所以它们是同类项。同类项要求相同字母的指数相同，对于$x$的指数，有$4 = 3 - m$，解得$m = 3 - 4 = -1$。

例2 已知多项式 $-8x^{3}y^{m} + xy^{2} - 3x^{3} + 6y$ 是六次四项式,单项式 $\frac{3}{2}\pi x^{2}y^{5 - n}$ 的次数与这个多项式的次数相同.
(1) 求 $m,n$ 的值；
(2) 求多项式的各项的系数和.
名师导引 整式概念的重点是“三式”和“四数”,“三式”指单项式、多项式、整式,“四数”指单项式的次数、系数,多项式的次数、系数.

(1) $m=3$，$n=1$；(2) $-4$。

(1) 多项式$-8x^{3}y^{m} + xy^{2} - 3x^{3} + 6y$是六次四项式，最高次项为$-8x^{3}y^{m}$，其次数为$3 + m$。由多项式次数为6，得$3 + m = 6$，解得$m = 3$。
单项式$\frac{3}{2}\pi x^{2}y^{5 - n}$的次数与多项式相同（即6），其次数为$2 + (5 - n)$。由$2 + 5 - n = 6$，解得$n = 1$。
(2) 多项式各项系数分别为：$-8$（第一项）、$1$（第二项）、$-3$（第三项）、$6$（第四项）。各项系数和为$-8 + 1 + (-3) + 6 = -4$。

巩固提升 若单项式 $3a^{4}b^{n + 2}$ 与 $5a^{m - 1} \cdot b^{2n + 3}$ 是同类项,则 $m + n = $ ()
A.2
B.3
C.4
D.6

C

同类项的定义为所含字母相同，且相同字母的指数也相同。
对于单项式 $3a^{4}b^{n + 2}$ 与 $5a^{m - 1}b^{2n + 3}$，
由 $a$ 的指数相同，得 $m - 1 = 4$，即 $m = 5$。
由 $b$ 的指数相同，得 $n + 2 = 2n + 3$，即 $n = -1$。
所以 $m + n = 5 + (-1) = 4$。

例3 一个二次三项式加上它的任意一项,得到一个新的多项式,称为“加系数操作”. 例如：对 $-2x^{2} - x + 1$ 进行“加系数操作”后可以是 $-2x^{2} - x + 1 + (-2x^{2}) = -4x^{2} - x + 1$. 下列说法中正确的个数是 ()
① 对 $x^{2} + x + 1$ 进行“加系数操作”后的所有多项式的和是 $4x^{2} + 4x + 4$；
② 存在不同的二次三项式,对它们进行“加系数操作”后,其结果相同；
③ 若关于 $x$ 的二次三项式 $ax^{2} + bx + c$ ($a,b,c$ 为常数) 的值不可能为零,则对 $ax^{2} + bx + c$ 进行“加系数操作”后的多项式的值也不可能为零.
A.0
B.1
C.2
D.3

C

①原多项式为$x^2 + x + 1$，“加系数操作”后的多项式为：
$(x^2 + x + 1) + x^2 = 2x^2 + x + 1$，
$(x^2 + x + 1) + x = x^2 + 2x + 1$，
$(x^2 + x + 1) + 1 = x^2 + x + 2$。
三者之和为$(2x^2 + x + 1) + (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + x + 2) = 4x^2 + 4x + 4$，①正确。
②设二次三项式$A = x^2 + 2x + 3$，$B = 2x^2 + x + 3$（不同）。
$A$加二次项：$x^2 + 2x + 3 + x^2 = 2x^2 + 2x + 3$；
$B$加一次项：$2x^2 + x + 3 + x = 2x^2 + 2x + 3$，结果相同，②正确。
③取原多项式$x^2 + x + 1$（$\Delta = -3 ＜ 0$，恒不为0），加一次项后得$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，当$x = -1$时值为0，③错误。
正确个数为2。