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7. 小明的爸爸出差回家后,小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示1天内爸爸去过深圳、广州、湛江.已知深圳到广州的路程为140公里,比广州到湛江的路程少280公里,爸爸驾车从深圳到广州的平均车速和从广州到湛江的平均车速的比为7:6,从广州到湛江的时间比从深圳到广州的时间多5小时.
(1)求小明的爸爸从深圳到广州的平均车速;
(2)从广州到湛江时,若小明的爸爸至少要比上述时间提前2小时到达,则平均车速应满足什么条件?
(1)求小明的爸爸从深圳到广州的平均车速;
(2)从广州到湛江时,若小明的爸爸至少要比上述时间提前2小时到达,则平均车速应满足什么条件?
答案
(1)70公里/小时；(2)平均车速应不低于84公里/小时。
解析
(1)设小明爸爸从深圳到广州的平均车速为7x公里/小时，则从广州到湛江的平均车速为6x公里/小时。
深圳到广州路程140公里，广州到湛江路程为140+280=420公里。
根据时间关系：$\frac{420}{6x}-\frac{140}{7x}=5$
化简得：$\frac{70}{x}-\frac{20}{x}=5$，即$\frac{50}{x}=5$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原方程的解，且符合题意。
故深圳到广州的平均车速为$7x=70$公里/小时。
(2)原来从广州到湛江的时间为$\frac{420}{6×10}=7$小时，提前2小时后时间为$7-2=5$小时。
设此时平均车速为$v$公里/小时，则$\frac{420}{v}\leq5$，解得$v\geq84$。
故平均车速应不低于84公里/小时。
深圳到广州路程140公里，广州到湛江路程为140+280=420公里。
根据时间关系：$\frac{420}{6x}-\frac{140}{7x}=5$
化简得：$\frac{70}{x}-\frac{20}{x}=5$，即$\frac{50}{x}=5$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原方程的解，且符合题意。
故深圳到广州的平均车速为$7x=70$公里/小时。
(2)原来从广州到湛江的时间为$\frac{420}{6×10}=7$小时，提前2小时后时间为$7-2=5$小时。
设此时平均车速为$v$公里/小时，则$\frac{420}{v}\leq5$，解得$v\geq84$。
故平均车速应不低于84公里/小时。
例 1
(1)在$\frac{2}{3\pi}$,$\frac{1}{x}$,$-\frac{3x}{2 + m}$,$\frac{a + b}{2}$,$\frac{x^2 - 1}{x + 1}$,$-\frac{5}{\sqrt{x}}$中,分式共有
(2)当$x = $
(3)若分式$\frac{|x| - 1}{x + 1}$的值为0,则$x$的值为
名师导引 分式值要为$0$,必须同时满足分子为$0$,分母不为$0$两个条件。
(1)在$\frac{2}{3\pi}$,$\frac{1}{x}$,$-\frac{3x}{2 + m}$,$\frac{a + b}{2}$,$\frac{x^2 - 1}{x + 1}$,$-\frac{5}{\sqrt{x}}$中,分式共有
3
个；(2)当$x = $
-1或2
时,分式$\frac{x^2 - 1}{(x + 1)(x - 2)}$无意义；(3)若分式$\frac{|x| - 1}{x + 1}$的值为0,则$x$的值为
1
。名师导引 分式值要为$0$,必须同时满足分子为$0$,分母不为$0$两个条件。
答案
(1)
分式的定义：一般地，如果$A$、$B$（$B\neq0$）表示整式，且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式。
在$\frac{2}{3\pi}$中，分母$3\pi$是常数，不是字母，所以它不是分式；
$\frac{1}{x}$，分母$x$是字母，是分式；
$-\frac{3x}{2 + m}$，分母$2 + m$含有字母$m$，是分式；
$\frac{a + b}{2}$，分母$2$是常数，不是分式；
$\frac{x^2 - 1}{x + 1}$，分母$x + 1$含有字母$x$，是分式；
$-\frac{5}{\sqrt{x}}$，分母$\sqrt{x}$可看作$x^{\frac{1}{2}}$，含有字母$x$，但该式为根式形式，在人教版八年级上册分式概念下，通常考虑分母为整式的情况，此式不属于分式范畴（严格按定义，分母需为整式，$\sqrt{x}$不是整式）。
所以分式有$\frac{1}{x}$，$-\frac{3x}{2 + m}$，$\frac{x^2 - 1}{x + 1}$，共$3$个。
(2)
分式无意义的条件是分母为$0$。
对于分式$\frac{x^2 - 1}{(x + 1)(x - 2)}$，令$(x + 1)(x - 2)=0$，
则$x + 1 = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x = -1$或$x = 2$。
(3)
因为分式$\frac{|x| - 1}{x + 1}$的值为$0$，
所以$\begin{cases}|x| - 1 = 0\\x + 1\neq0\end{cases}$
由$|x| - 1 = 0$，得$|x| = 1$，即$x = \pm1$。
又因为$x + 1\neq0$，即$x\neq - 1$，
所以$x = 1$。
综上，答案依次为：(1)$3$；(2)$-1$或$2$；(3)$1$。
分式的定义：一般地，如果$A$、$B$（$B\neq0$）表示整式，且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$就叫做分式。
在$\frac{2}{3\pi}$中，分母$3\pi$是常数，不是字母，所以它不是分式；
$\frac{1}{x}$，分母$x$是字母，是分式；
$-\frac{3x}{2 + m}$，分母$2 + m$含有字母$m$，是分式；
$\frac{a + b}{2}$，分母$2$是常数，不是分式；
$\frac{x^2 - 1}{x + 1}$，分母$x + 1$含有字母$x$，是分式；
$-\frac{5}{\sqrt{x}}$，分母$\sqrt{x}$可看作$x^{\frac{1}{2}}$，含有字母$x$，但该式为根式形式，在人教版八年级上册分式概念下，通常考虑分母为整式的情况，此式不属于分式范畴（严格按定义，分母需为整式，$\sqrt{x}$不是整式）。
所以分式有$\frac{1}{x}$，$-\frac{3x}{2 + m}$，$\frac{x^2 - 1}{x + 1}$，共$3$个。
(2)
分式无意义的条件是分母为$0$。
对于分式$\frac{x^2 - 1}{(x + 1)(x - 2)}$，令$(x + 1)(x - 2)=0$，
则$x + 1 = 0$或$x - 2 = 0$，
解得$x = -1$或$x = 2$。
(3)
因为分式$\frac{|x| - 1}{x + 1}$的值为$0$，
所以$\begin{cases}|x| - 1 = 0\\x + 1\neq0\end{cases}$
由$|x| - 1 = 0$，得$|x| = 1$，即$x = \pm1$。
又因为$x + 1\neq0$，即$x\neq - 1$，
所以$x = 1$。
综上，答案依次为：(1)$3$；(2)$-1$或$2$；(3)$1$。
巩固提升 若分式$\frac{x^2 - 4}{2x - 4}$的值为零,则$x$等于(
A.$2$
B.$-2$
C.$\pm 2$
D.$0$
B
)A.$2$
B.$-2$
C.$\pm 2$
D.$0$
答案
B
解析
要使分式 $\frac{x^2 - 4}{2x - 4}$ 的值为零，需满足分子 $x^2 - 4 = 0$ 且分母 $2x - 4 \neq 0$。
1. 解分子方程 $x^2 - 4 = 0$，得 $x = \pm 2$。
2. 解分母不等式 $2x - 4 \neq 0$，得 $x \neq 2$。
3. 综合得 $x = -2$。
例 2 下列运算正确的是(
A.$\frac{-x - y}{-x + y} = \frac{x - y}{x + y}$
B.$\frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} = \frac{a + b}{a - b}$
C.$\frac{x - 1}{1 - x^2} = \frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{x}{x + y} = \frac{1}{1 + y}$
名师导引 利用分式的性质进行变形时注意乘或除以的这个数不为$0$。
B
)A.$\frac{-x - y}{-x + y} = \frac{x - y}{x + y}$
B.$\frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} = \frac{a + b}{a - b}$
C.$\frac{x - 1}{1 - x^2} = \frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{x}{x + y} = \frac{1}{1 + y}$
名师导引 利用分式的性质进行变形时注意乘或除以的这个数不为$0$。
答案
B
解析
A. $\frac{-x - y}{-x + y} = \frac{-(x + y)}{-(x - y)} = \frac{x + y}{x - y}$，A错误；
B. $\frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} = \frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^2} = \frac{a + b}{a - b}$（$a \neq b$），B正确；
C. $\frac{x - 1}{1 - x^2} = \frac{-(1 - x)}{(1 - x)(1 + x)} = -\frac{1}{x + 1}$（$x \neq 1$且$x \neq -1$），C错误；
D. $\frac{x}{x + y}$分子分母无公因式，不能约分，D错误。
B. $\frac{a^2 - b^2}{(a - b)^2} = \frac{(a + b)(a - b)}{(a - b)^2} = \frac{a + b}{a - b}$（$a \neq b$），B正确；
C. $\frac{x - 1}{1 - x^2} = \frac{-(1 - x)}{(1 - x)(1 + x)} = -\frac{1}{x + 1}$（$x \neq 1$且$x \neq -1$），C错误；
D. $\frac{x}{x + y}$分子分母无公因式，不能约分，D错误。
巩固提升 如果$\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$,且$a \neq 3$,那么$\frac{a + b - 7}{a - b + 1}$的值为
-7
。答案
-7
解析
设$a = 3k$，$b = 4k$（$k \neq 1$，因为$a \neq 3$）。则原式$=\frac{3k + 4k - 7}{3k - 4k + 1}=\frac{7k - 7}{-k + 1}=\frac{7(k - 1)}{-(k - 1)}=-7$
例 3 先化简$\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} ÷ (\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x})$,再从$-2 ＜ x ＜ 3$的范围内选取一个你喜欢的整数值代入求值。
名师导引 分式化简求值时,代入的值一定要使分式有意义,即所有的分母不为$0$。
名师导引 分式化简求值时,代入的值一定要使分式有意义,即所有的分母不为$0$。
答案
4
解析
化简过程：
1. 计算括号内：$\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x} = \frac{2x - (x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{x + 1}{x(x - 1)}$
2. 原式化为除法：$\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x(x - 1)}$
3. 变乘法并因式分解：$\frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x(x - 1)}{x + 1}$
4. 约分：$\frac{x \cdot x}{x - 1} = \frac{x^2}{x - 1}$
取值求值：
取值范围：$-2 ＜ x ＜ 3$的整数有$-1, 0, 1, 2$
分式有意义条件：$x \neq -1, 0, 1$，故取$x = 2$
代入得：$\frac{2^2}{2 - 1} = 4$
1. 计算括号内：$\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x} = \frac{2x - (x - 1)}{x(x - 1)} = \frac{x + 1}{x(x - 1)}$
2. 原式化为除法：$\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} ÷ \frac{x + 1}{x(x - 1)}$
3. 变乘法并因式分解：$\frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} \cdot \frac{x(x - 1)}{x + 1}$
4. 约分：$\frac{x \cdot x}{x - 1} = \frac{x^2}{x - 1}$
取值求值：
取值范围：$-2 ＜ x ＜ 3$的整数有$-1, 0, 1, 2$
分式有意义条件：$x \neq -1, 0, 1$，故取$x = 2$
代入得：$\frac{2^2}{2 - 1} = 4$
