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8. 校园诗歌朗诵比赛采用10位评委现场打分的模式,每位选手的最后得分为去掉一个最低分,去掉一个最高分后的平均分,已知10位评委给某位选手的打分分别是9.0,9.4,9.3,9.8,9.5,9.1,9.6,9.4,9.7,9.6.求这位选手的最后得分.
答案
1. 将打分按从小到大排列：9.0,9.1,9.3,9.4,9.4,9.5,9.6,9.6,9.7,9.8
2. 去掉最高分9.8和最低分9.0，剩余分数：9.1,9.3,9.4,9.4,9.5,9.6,9.6,9.7
3. 计算剩余8个分数的总和：9.1+9.3+9.4+9.4+9.5+9.6+9.6+9.7=75.6
4. 计算平均分：75.6÷8=9.45
5. 最后得分：9.45
2. 去掉最高分9.8和最低分9.0，剩余分数：9.1,9.3,9.4,9.4,9.5,9.6,9.6,9.7
3. 计算剩余8个分数的总和：9.1+9.3+9.4+9.4+9.5+9.6+9.6+9.7=75.6
4. 计算平均分：75.6÷8=9.45
5. 最后得分：9.45
9. 在期中考试中,小明若不算数学成绩,其平均成绩是92分;若不算语文成绩,其平均成绩是93分;若不算英语成绩,其平均成绩是97分.小明三科的平均成绩是多少分?
答案
94
解析
设语文、数学、英语成绩分别为$x$分、$y$分、$z$分。
不算数学成绩，平均成绩92分：$\frac{x+z}{2}=92$，则$x+z=184$；
不算语文成绩，平均成绩93分：$\frac{y+z}{2}=93$，则$y+z=186$；
不算英语成绩，平均成绩97分：$\frac{x+y}{2}=97$，则$x+y=194$。
三式相加：$2(x+y+z)=184+186+194=564$，则$x+y+z=282$。
三科平均成绩：$\frac{x+y+z}{3}=\frac{282}{3}=94$。
94
不算数学成绩，平均成绩92分：$\frac{x+z}{2}=92$，则$x+z=184$；
不算语文成绩，平均成绩93分：$\frac{y+z}{2}=93$，则$y+z=186$；
不算英语成绩，平均成绩97分：$\frac{x+y}{2}=97$，则$x+y=194$。
三式相加：$2(x+y+z)=184+186+194=564$，则$x+y+z=282$。
三科平均成绩：$\frac{x+y+z}{3}=\frac{282}{3}=94$。
94
10. 一组数据$x_1,x_2,x_3,…,x_n$的平均数是5.求:
(1)$x_1+3,x_2+3,x_3+3,…,x_n+3$的平均数;
(2)数据$2x_1,2x_2,2x_3,…,2x_n$的平均数;
(3)数据$2x_1+3,2x_2+3,2x_3+3,…,2x_n+3$的平均数.
(1)$x_1+3,x_2+3,x_3+3,…,x_n+3$的平均数;
(2)数据$2x_1,2x_2,2x_3,…,2x_n$的平均数;
(3)数据$2x_1+3,2x_2+3,2x_3+3,…,2x_n+3$的平均数.
答案
(1) 设原数据$x_1,x_2,x_3,…,x_n$的平均数为$\overline{x}=5$，则新数据$x_1+3,x_2+3,x_3+3,…,x_n+3$的平均数为：
$\frac{1}{n}[(x_1+3)+(x_2+3)+…+(x_n+3)]$
$=\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n)+\frac{1}{n}× 3n$
$=\overline{x}+3$
$=5+3$
$=8$
(2) 新数据$2x_1,2x_2,2x_3,…,2x_n$的平均数为：
$\frac{1}{n}(2x_1+2x_2+…+2x_n)$
$=2×\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n)$
$=2\overline{x}$
$=2× 5$
$=10$
(3) 新数据$2x_1+3,2x_2+3,2x_3+3,…,2x_n+3$的平均数为：
$\frac{1}{n}[(2x_1+3)+(2x_2+3)+…+(2x_n+3)]$
$=2×\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n)+\frac{1}{n}× 3n$
$=2\overline{x}+3$
$=2× 5+3$
$=13$
$\frac{1}{n}[(x_1+3)+(x_2+3)+…+(x_n+3)]$
$=\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n)+\frac{1}{n}× 3n$
$=\overline{x}+3$
$=5+3$
$=8$
(2) 新数据$2x_1,2x_2,2x_3,…,2x_n$的平均数为：
$\frac{1}{n}(2x_1+2x_2+…+2x_n)$
$=2×\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n)$
$=2\overline{x}$
$=2× 5$
$=10$
(3) 新数据$2x_1+3,2x_2+3,2x_3+3,…,2x_n+3$的平均数为：
$\frac{1}{n}[(2x_1+3)+(2x_2+3)+…+(2x_n+3)]$
$=2×\frac{1}{n}(x_1+x_2+…+x_n)+\frac{1}{n}× 3n$
$=2\overline{x}+3$
$=2× 5+3$
$=13$
11. 某工厂加工一批比赛用乒乓球,按规定要求乒乓球的直径标准为40 mm,但是实际生产的乒乓球直径可能会有一些偏差.随机抽查检验该批加工的10个乒乓球直径,检验记录如下.("+"表示超出标准,"-"表示不足标准)
|序号|①|②|③|④|⑤|⑥|⑦|⑧|⑨|⑩|
|直径|$-0.1$|0|$-0.2$|$+0.5$|$-0.4$|0.3|0.1|$-0.1$|0.2|$-0.1$|
(1)其中偏差最大的乒乓球直径是______mm;
(2)若误差在"$\pm0.15$ mm"以内的球可以作为良好产品,则这批乒乓球的良好率是______%;
(3)这10个乒乓球平均每个球的直径是多少毫米?
(1)其中偏差最大的乒乓球直径是
(2)若误差在"$\pm0.15$ mm"以内的球可以作为良好产品,则这批乒乓球的良好率是
(3)这10个乒乓球平均每个球的直径是多少毫米?
|序号|①|②|③|④|⑤|⑥|⑦|⑧|⑨|⑩|
|直径|$-0.1$|0|$-0.2$|$+0.5$|$-0.4$|0.3|0.1|$-0.1$|0.2|$-0.1$|
(1)其中偏差最大的乒乓球直径是______mm;
(2)若误差在"$\pm0.15$ mm"以内的球可以作为良好产品,则这批乒乓球的良好率是______%;
(3)这10个乒乓球平均每个球的直径是多少毫米?
(1)其中偏差最大的乒乓球直径是
40.5
mm;(2)若误差在"$\pm0.15$ mm"以内的球可以作为良好产品,则这批乒乓球的良好率是
50
%;(3)这10个乒乓球平均每个球的直径是多少毫米?
解：首先计算这10个乒乓球直径与标准直径40mm的偏差之和。偏差之和为：-0.1 + 0 - 0.2 + 0.5 - 0.4 + 0.3 + 0.1 - 0.1 + 0.2 - 0.1 = 0.2。平均偏差为0.2÷10 = 0.02mm。所以平均直径为40 + 0.02 = 40.02mm。答：这10个乒乓球平均每个球的直径是40.02毫米。
答案
1. （1）
分析：求偏差最大的乒乓球直径，需要比较各乒乓球直径与标准直径$40mm$偏差的绝对值大小。
计算各偏差的绝对值：$\vert - 0.1\vert=0.1$，$\vert0\vert = 0$，$\vert - 0.2\vert=0.2$，$\vert+0.5\vert = 0.5$，$\vert - 0.4\vert=0.4$，$\vert0.3\vert = 0.3$，$\vert0.1\vert = 0.1$，$\vert - 0.1\vert=0.1$，$\vert0.2\vert = 0.2$，$\vert - 0.1\vert=0.1$。
因为$0.5\gt0.4\gt0.3\gt0.2\gt0.1\gt0$，所以偏差最大的乒乓球直径是$40 + 0.5=40.5mm$。
2. （2）
分析：误差在“$\pm0.15mm$”以内，即偏差的绝对值小于等于$0.15mm$。
满足条件的序号有①（$\vert - 0.1\vert = 0.1\leqslant0.15$）、②（$\vert0\vert = 0\leqslant0.15$）、⑦（$\vert0.1\vert = 0.1\leqslant0.15$）、⑧（$\vert - 0.1\vert=0.1\leqslant0.15$）、⑩（$\vert - 0.1\vert=0.1\leqslant0.15$），共$5$个。
良好率$=\frac{5}{10}×100\% = 50\%$。
3. （3）
解：首先计算这$10$个乒乓球直径与标准直径$40mm$的偏差之和。
设偏差之和为$x$，$x=-0.1 + 0-0.2 + 0.5-0.4 + 0.3+0.1-0.1 + 0.2-0.1$
$x=(-0.1-0.2-0.4 - 0.1-0.1)+(0.5 + 0.3+0.1+0.2)$
$x=(-0.9)+1.1$
$x = 0.2$。
这$10$个乒乓球的平均直径$=$标准直径$+$平均偏差。
平均偏差$=\frac{0.2}{10}=0.02mm$。
所以平均直径$d = 40+\frac{-0.1 + 0-0.2 + 0.5-0.4 + 0.3+0.1-0.1 + 0.2-0.1}{10}$
$d = 40+\frac{0.2}{10}=40.02mm$。
综上，答案依次为：（1）$40.5$；（2）$50$；（3）$40.02$。
分析：求偏差最大的乒乓球直径，需要比较各乒乓球直径与标准直径$40mm$偏差的绝对值大小。
计算各偏差的绝对值：$\vert - 0.1\vert=0.1$，$\vert0\vert = 0$，$\vert - 0.2\vert=0.2$，$\vert+0.5\vert = 0.5$，$\vert - 0.4\vert=0.4$，$\vert0.3\vert = 0.3$，$\vert0.1\vert = 0.1$，$\vert - 0.1\vert=0.1$，$\vert0.2\vert = 0.2$，$\vert - 0.1\vert=0.1$。
因为$0.5\gt0.4\gt0.3\gt0.2\gt0.1\gt0$，所以偏差最大的乒乓球直径是$40 + 0.5=40.5mm$。
2. （2）
分析：误差在“$\pm0.15mm$”以内，即偏差的绝对值小于等于$0.15mm$。
满足条件的序号有①（$\vert - 0.1\vert = 0.1\leqslant0.15$）、②（$\vert0\vert = 0\leqslant0.15$）、⑦（$\vert0.1\vert = 0.1\leqslant0.15$）、⑧（$\vert - 0.1\vert=0.1\leqslant0.15$）、⑩（$\vert - 0.1\vert=0.1\leqslant0.15$），共$5$个。
良好率$=\frac{5}{10}×100\% = 50\%$。
3. （3）
解：首先计算这$10$个乒乓球直径与标准直径$40mm$的偏差之和。
设偏差之和为$x$，$x=-0.1 + 0-0.2 + 0.5-0.4 + 0.3+0.1-0.1 + 0.2-0.1$
$x=(-0.1-0.2-0.4 - 0.1-0.1)+(0.5 + 0.3+0.1+0.2)$
$x=(-0.9)+1.1$
$x = 0.2$。
这$10$个乒乓球的平均直径$=$标准直径$+$平均偏差。
平均偏差$=\frac{0.2}{10}=0.02mm$。
所以平均直径$d = 40+\frac{-0.1 + 0-0.2 + 0.5-0.4 + 0.3+0.1-0.1 + 0.2-0.1}{10}$
$d = 40+\frac{0.2}{10}=40.02mm$。
综上，答案依次为：（1）$40.5$；（2）$50$；（3）$40.02$。
