【例题1】如图，在平面直角坐标系中，点O'的坐标为(2，0)，$\odot O'$与x轴相交于原点O和点A，又B，C，E三点的坐标分别为(-1，0)，(0，3)，(0，b)，且0＜b＜3，当点E在线段OC上移动时，直线BE与$\odot O'$有哪几种位置关系？请求出每种位置关系下b的取值范围.

思路导引 根据已知条件，可以求出直线BE与$\odot O'$相切时b的取值，再由直线的上、下平移确定b的取值范围及直线与圆的位置关系.
解：当直线BE与$\odot O'$相切时，设切点为M，连接O'M，则O'M⊥BE.
∵O'M=2，BO'=3，
∴$BM=\sqrt{3^2 - 2^2}=\sqrt{5}$.
∵∠BOE=∠O'ME=90°，
∴直线EO，EM均与$\odot O'$相切.
∴EO=EM.在Rt△BOE中，$BE=\sqrt{EO^2 + BO^2}=\sqrt{EO^2 + 1}$.在Rt△BMO'中，BM=BE + EM，即$\sqrt{5}=\sqrt{EO^2 + 1}+EO$.解得$EO=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即$b=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
∴当$b=\frac{2\sqrt{5}}{5}$时，直线BE与$\odot O'$相切.观察图形可知，当直线BE与$\odot O'$相离时，$\frac{2\sqrt{5}}{5}＜b＜3$；当直线BE与$\odot O'$相切时，$b=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；当直线BE与$\odot O'$相交时，$0＜b＜\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

【例题2】如图，$\odot O$的直径AB=4，∠B=30°，$BC=4\sqrt{3}$，D是线段BC的中点.

(1)判断点D与$\odot O$的位置关系，并说明理由.
(2)过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是$\odot O$的切线.

思路导引 (1)要判断点D与$\odot O$的位置关系，只要比较OD与半径的大小关系即可.(2)要证明一条直线是圆的切线，有两种方法：一是已知直线过圆上一点，则连接半径，证明垂直；二是不知道直线过圆上一点，则作垂线.证明垂线段等于半径.此题连接OD，只需证明OD⊥ED即可.
(1)解：点D在$\odot O$上.理由：连接OD.过点O作OF⊥BC于点F.在Rt△BOF中，$OB=\frac{1}{2}AB=2$，∠B=30°.
∴OF=1，$BF=\sqrt{OB^2 - OF^2}=\sqrt{3}$.
∴$DF=BD - BF=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}=BF$.
∵OF⊥BD，
在Rt△DOF中，$OD=\sqrt{3 + 1}=2=OB$，
∴点D在$\odot O$上.
(2)证明：
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD//AC.
又DE⊥AC，
∴DE⊥OD，即∠EDO=90°.
∵OD是$\odot O$的半径，
∴直线DE是$\odot O$的切线.