21. (本题 10 分)
如图,四边形 $ A B C D $ 是矩形纸片,翻折 $ \angle B $,$ \angle D $,使 $ B C $,$ A D $ 都恰好落在 $ A C $ 上.设 $ F $,$ H $ 分别是 $ B $,$ D $ 落在 $ A C $ 上的两点,$ E $,$ G $ 分别是折痕 $ C E $,$ A G $ 与 $ A B $,$ C D $ 的交点.
(1) 求证:四边形 $ A E C G $ 是平行四边形.
(2) 若 $ A B = 4 \mathrm { cm } $,$ B C = 3 \mathrm { cm } $,求线段 $ E F $ 的长.

(1) 见证明过程；(2) EF=3/2cm。

(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AB//CD，∠DAC=∠BCA。
由翻折性质，AG平分∠DAC，CE平分∠BCA，
∴∠GAC=1/2∠DAC，∠ECA=1/2∠BCA，
∴∠GAC=∠ECA，∴AG//CE。
又∵AE//CG（AB//CD），
∴四边形AECG是平行四边形。
(2) 解：
在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，
∴AC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5cm。
设EF=x，由翻折性质得BE=EF=x，CF=BC=3cm，∠CFE=∠B=90°，
∴AF=AC-CF=5-3=2cm，AE=AB-BE=4-x。
在Rt△AFE中，∠AFE=90°，
由勾股定理得AF²+EF²=AE²，即2²+x²=(4-x)²，
解得x=3/2。
∴EF=3/2cm。