23. (14分)如图,已知直线$y = -x + 3$的图象分别交$x$轴于点$A$,交$y$轴于点$B$,抛物线$y = -x^2 + bx + c$经过$A$,$B$两点,并与$x$轴交于另一点$D$,顶点为$C$.
(1) 求$C$,$D$两点的坐标;
(2) 求$\tan \angle BAC$的值;
(3) 在$y$轴上是否存在一点$P$,使得以$P$,$B$,$D$三点为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似?如果存在,请求出点$P$的坐标;如果不存在,请说明理由.

(1)$C(1,4)$，$D(-1,0)$；
(2)$\frac{1}{3}$；
(3)存在，$P(0,0)$或$(0,-\frac{1}{3})$。

(1)
直线$y=-x+3$与$x$轴交于$A(3,0)$，与$y$轴交于$B(0,3)$。
将$A(3,0)$，$B(0,3)$代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得$\begin{cases}c=3\\-9+3b+3=0\end{cases}$，解得$b=2$，$c=3$。
抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
令$y=0$，解方程$-x^2+2x+3=0$，得$x=3$或$x=-1$，故$D(-1,0)$。
顶点$C$的横坐标为$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，代入抛物线得$y=-(1)^2+2×1+3=4$，故$C(1,4)$。
(2)
$A(3,0)$，$B(0,3)$，$C(1,4)$。
直线$AB$斜率$k_{AB}=\frac{3-0}{0-3}=-1$，直线$AC$斜率$k_{AC}=\frac{4-0}{1-3}=-2$。
$\tan\angle BAC=\left|\frac{k_{AC}-k_{AB}}{1+k_{AC}k_{AB}}\right|=\left|\frac{-2-(-1)}{1+(-2)(-1)}\right|=\left|\frac{-1}{3}\right|=\frac{1}{3}$。
(3)
存在。
$B(0,3)$，$D(-1,0)$，设$P(0,p)$。
$\triangle ABC$为直角三角形，$BC=\sqrt{2}$，$AB=3\sqrt{2}$，$AC=2\sqrt{5}$，$\angle ABC=90°$，直角边比$1:3$。
情况1： 直角在$D$，$\angle PDB=90°$。
$PD\perp BD$，$k_{BD}=3$，则$k_{PD}=-\frac{1}{3}$，$P(0,p)$，$k_{PD}=\frac{0-p}{-1-0}=p=-\frac{1}{3}$，$P(0,-\frac{1}{3})$。
情况2： 直角在$P$，$\angle DPB=90°$。
$PD\perp PB$，$P$在$y$轴，$PD$水平，$p=0$，$P(0,0)$。
综上，$P(0,0)$或$(0,-\frac{1}{3})$。