25. (12分)如图,抛物线$y = ax^{2} + bx + c$过点$A(-1,0)$,点$B(3,0)$,与y轴负半轴交于点C,且$OC = 3OA$,抛物线的顶点为D,对称轴交x轴于点E.
(1) 求抛物线的函数表达式;
(2) 求直线BC的函数表达式;
(3) 若点P是抛物线上一点,过点P作$PQ⊥x$轴交直线BC于点Q,试探究是否存在以点E,D,P,Q为顶点的平行四边形.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)$y=x^2-2x-3$；(2)$y=x-3$；(3)存在，P(4,5)或(-1,0)。

(1) ∵抛物线过点A(-1,0)，B(3,0)，设抛物线表达式为$y=a(x+1)(x-3)$。
∵OC=3OA，OA=1，∴OC=3，C(0,-3)。
将C(0,-3)代入得：$-3=a(1)(-3)$，解得$a=1$。
∴抛物线表达式为$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$。
(2) 设直线BC表达式为$y=kx+b$。
将B(3,0)，C(0,-3)代入：$\begin{cases}0=3k+b\\-3=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=1\\b=-3\end{cases}$。
∴直线BC表达式为$y=x-3$。
(3) 抛物线对称轴为$x=1$，E(1,0)，顶点D(1,-4)。设P(m,$m^2-2m-3$)，则Q(m,$m-3$)。
情况1：ED与PQ为对边
ED为竖直线段，长度4；PQ为竖直线段，长度$|(m^2-2m-3)-(m-3)|=|m^2-3m|$。
由ED=PQ得$|m^2-3m|=4$。
$m^2-3m=4$，解得$m=4$或$m=-1$。
$m=4$时，P(4,5)，Q(4,1)，构成平行四边形。
$m=-1$时，P(-1,0)，Q(-1,-4)，构成平行四边形。
$m^2-3m=-4$，方程无解。
情况2：ED为对角线
ED中点(1,-2)，PQ中点(m,$\frac{m^2-m-6}{2}$)，则$m=1$且$\frac{m^2-m-6}{2}=-2$，无解。
综上，存在点P，坐标为(4,5)或(-1,0)。