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4. 数据“275 809.4 万”精确到千万位可用科学记数法表示为(
A.$27×10^{8}$
B.$2.76×10^{9}$
C.$2.758×10^{9}$
D.$2.7×10^{9}$
B
)A.$27×10^{8}$
B.$2.76×10^{9}$
C.$2.758×10^{9}$
D.$2.7×10^{9}$
答案
B
解析
275809.4万=2758094000，千万位是从右向左第8位数字5，下一位百万位是8，根据四舍五入向千万位进1，得2760000000，用科学记数法表示为2.76×10⁹。
5. 桌上摆着一个由若干个相同的小正方体组成的几何体,其主视图和左视图如图所示,则组成这个几何体的小正方体的个数最多有(
A.10 个
B.11 个
C.12 个
D.13 个
A
)A.10 个
B.11 个
C.12 个
D.13 个
答案
A
解析
由主视图和左视图可知，该几何体共有3列3行。主视图每列高度分别为1,2,1（中间列最高2层，两侧各1层），左视图每行高度分别为1,2,1（中间行最高2层，两侧各1层）。要使小正方体个数最多，底层按3×3=9个摆满，第二层仅中间位置（2,2）有1个。总数为9+1=10个。
6. 已知一元二次方程$x^{2}-2024x + 1 = 0$的两个根分别为$x_{1},x_{2}$,则$x_{1}^{2}-\frac{2024}{x_{2}}+1$的值为(
A.-1
B.0
C.-2024
D.-2023
B
)A.-1
B.0
C.-2024
D.-2023
答案
B
解析
由一元二次方程 $x^{2} - 2024x + 1 = 0$，根据求根公式或因式分解（此处使用求根公式性质）知：
$x_{1} + x_{2} = 2024$，$x_{1} \cdot x_{2} = 1$，$x_1^2 = 2024x_1 - 1$（由原方程得出）。
将$x_1^2$代入$x_1^2 - \frac{2024}{x_2} + 1$得：
$x_1^2 - \frac{2024}{x_2} + 1 = (2024x_1 - 1) - \frac{2024}{x_2} + 1$
$= 2024x_1 - \frac{2024}{x_2}$
$= 2024 × \frac{x_1x_2 - 1}{x_2}$
由于$x_1x_2 = 1$，所以：
$2024 × \frac{x_1x_2 - 1}{x_2} = 2024 × \frac{0}{x_2} = 0$
$x_{1} + x_{2} = 2024$，$x_{1} \cdot x_{2} = 1$，$x_1^2 = 2024x_1 - 1$（由原方程得出）。
将$x_1^2$代入$x_1^2 - \frac{2024}{x_2} + 1$得：
$x_1^2 - \frac{2024}{x_2} + 1 = (2024x_1 - 1) - \frac{2024}{x_2} + 1$
$= 2024x_1 - \frac{2024}{x_2}$
$= 2024 × \frac{x_1x_2 - 1}{x_2}$
由于$x_1x_2 = 1$，所以：
$2024 × \frac{x_1x_2 - 1}{x_2} = 2024 × \frac{0}{x_2} = 0$
7. 下列关于运用计算器计算的说法不正确的是(
A.用计算器计算时,在按$\%$，$\pi$，$e^{x}$这三种键之前应先按$2ndF$键
B.要启动计算器的统计计算功能应按的键是$ON/C$ $MODE$ $2$
C.启动计算器的统计计算功能后,要清除原有统计数据应按$2ndF$ $CA$键
D.用计算器计算时,依次按键$sin$ $($ $7$ $5$ $-$ $1$ $5$ $)$ $=$显示结果是 0.5
D
)A.用计算器计算时,在按$\%$，$\pi$，$e^{x}$这三种键之前应先按$2ndF$键
B.要启动计算器的统计计算功能应按的键是$ON/C$ $MODE$ $2$
C.启动计算器的统计计算功能后,要清除原有统计数据应按$2ndF$ $CA$键
D.用计算器计算时,依次按键$sin$ $($ $7$ $5$ $-$ $1$ $5$ $)$ $=$显示结果是 0.5
答案
D
解析
A. 对于计算器上的特殊键如$\%$，$\pi$，$e^{x}$，通常需要先按$2ndF$（或类似的功能键）才能访问这些功能，所以A选项描述正确。
B. 要启动计算器的统计计算功能，通常需要进入特定的模式。按照常见计算器的操作，按$ON/C$（开机/清除键），然后按$MODE$（模式键），接着选择数字键$2$（通常代表统计模式）是正确的操作顺序，所以B选项描述正确。
C. 在统计计算模式下，要清除原有的统计数据，通常需要按特定的键组合。按照题目描述，按$2ndF$ $CA$（或类似的清除键）是清除原有统计数据的正确方法，所以C选项描述正确。
D. 对于计算器计算$sin(75-15)$，首先计算括号内的值为$60$，然后计算$sin(60°)$。但计算器上通常默认的角度单位是度（$°$）或弧度（$rad$），且$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$，并非$0.5$。若计算器设置为弧度模式，则$sin(60 \, rad)$的值与$0.5$更不相等。因此，D选项描述错误。
B. 要启动计算器的统计计算功能，通常需要进入特定的模式。按照常见计算器的操作，按$ON/C$（开机/清除键），然后按$MODE$（模式键），接着选择数字键$2$（通常代表统计模式）是正确的操作顺序，所以B选项描述正确。
C. 在统计计算模式下，要清除原有的统计数据，通常需要按特定的键组合。按照题目描述，按$2ndF$ $CA$（或类似的清除键）是清除原有统计数据的正确方法，所以C选项描述正确。
D. 对于计算器计算$sin(75-15)$，首先计算括号内的值为$60$，然后计算$sin(60°)$。但计算器上通常默认的角度单位是度（$°$）或弧度（$rad$），且$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$，并非$0.5$。若计算器设置为弧度模式，则$sin(60 \, rad)$的值与$0.5$更不相等。因此，D选项描述错误。
8. 关于 x 的分式方程$\frac{ax - 3}{x - 2}+1=\frac{3x - 1}{2 - x}$的解为正数,且使关于 y 的一元一次不等式组$\begin{cases}\frac{3y - 2}{2}\leq y - 1,\\y + 2＞a\end{cases}$有解,则所有满足条件的整数 a 的值的和是(
A.-5
B.-4
C.-3
D.-2
B
)A.-5
B.-4
C.-3
D.-2
答案
B
解析
1. 解分式方程：$\frac{ax - 3}{x - 2}+1=\frac{3x - 1}{2 - x}$
两边乘$x - 2$得：$ax - 3 + x - 2 = -(3x - 1)$
化简：$(a + 1)x - 5 = -3x + 1$
移项合并：$(a + 4)x = 6$
解得：$x = \frac{6}{a + 4}$
2. 分式方程解为正数且$x \neq 2$：
$\frac{6}{a + 4} ＞ 0 \Rightarrow a + 4 ＞ 0 \Rightarrow a ＞ -4$；
$\frac{6}{a + 4} \neq 2 \Rightarrow 6 \neq 2(a + 4) \Rightarrow a \neq -1$
3. 解不等式组：
$\begin{cases}\frac{3y - 2}{2}\leq y - 1 \\ y + 2＞a\end{cases}$
解①：$3y - 2 \leq 2y - 2 \Rightarrow y \leq 0$；
解②：$y ＞ a - 2$；
有解需$a - 2 ＜ 0 \Rightarrow a ＜ 2$
4. 综合条件：$-4 ＜ a ＜ 2$且$a \neq -1$，整数$a$为$-3, -2, 0, 1$
5. 和：$-3 + (-2) + 0 + 1 = -4$
两边乘$x - 2$得：$ax - 3 + x - 2 = -(3x - 1)$
化简：$(a + 1)x - 5 = -3x + 1$
移项合并：$(a + 4)x = 6$
解得：$x = \frac{6}{a + 4}$
2. 分式方程解为正数且$x \neq 2$：
$\frac{6}{a + 4} ＞ 0 \Rightarrow a + 4 ＞ 0 \Rightarrow a ＞ -4$；
$\frac{6}{a + 4} \neq 2 \Rightarrow 6 \neq 2(a + 4) \Rightarrow a \neq -1$
3. 解不等式组：
$\begin{cases}\frac{3y - 2}{2}\leq y - 1 \\ y + 2＞a\end{cases}$
解①：$3y - 2 \leq 2y - 2 \Rightarrow y \leq 0$；
解②：$y ＞ a - 2$；
有解需$a - 2 ＜ 0 \Rightarrow a ＜ 2$
4. 综合条件：$-4 ＜ a ＜ 2$且$a \neq -1$，整数$a$为$-3, -2, 0, 1$
5. 和：$-3 + (-2) + 0 + 1 = -4$
9. 下列说法不正确的是(
A.从两名男生和两名女生中随机选两人当志愿者,则两人恰好是一男一女的概率是$\frac{2}{3}$
B.不透明袋子中装有除颜色外都一样的 3 个黑球和 2 个白球,从中任意摸出 3 个球,则摸出的 3 个球中至少有 1 个黑球是必然事件
C.若一组数据 2,3,x,1,5 的平均数是 3,则这组数据的中位数是 4,极差是 4
D.上图是一张矩形纸板,连接各边中点得到菱形,再连接菱形各边中点得到一个小矩形.若从图中随机取点,则这个点取自阴影部分的概率是$\frac{1}{4}$
C
)A.从两名男生和两名女生中随机选两人当志愿者,则两人恰好是一男一女的概率是$\frac{2}{3}$
B.不透明袋子中装有除颜色外都一样的 3 个黑球和 2 个白球,从中任意摸出 3 个球,则摸出的 3 个球中至少有 1 个黑球是必然事件
C.若一组数据 2,3,x,1,5 的平均数是 3,则这组数据的中位数是 4,极差是 4
D.上图是一张矩形纸板,连接各边中点得到菱形,再连接菱形各边中点得到一个小矩形.若从图中随机取点,则这个点取自阴影部分的概率是$\frac{1}{4}$
答案
C
解析
A.总选法C(4,2)=6种，一男一女C(2,1)C(2,1)=4种，概率4/6=2/3，正确；B.白球共2个，摸3个球至少1黑球，必然事件，正确；C.平均数3得总和15，x=15-(2+3+1+5)=4，数据排序1,2,3,4,5，中位数为3，极差5-1=4，中位数不是4，错误；D.设矩形面积S，中点菱形面积S/2，菱形中点小矩形面积S/4，阴影占比1/4，正确。
