21. (本题 9 分)
已知三个数 $ x $,$ y $,$ z $ 满足：$ \frac{xy}{x + y} = -3 $,$ \frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3} $,$ \frac{zx}{z + x} = -\frac{4}{3} $,求 $ \frac{xyz}{xy + yz + zx} $ 的值.

$-6$

1. 对已知条件取倒数：
由$\frac{xy}{x + y} = -3$，得$\frac{x + y}{xy} = -\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = -\frac{1}{3}$；
由$\frac{yz}{y + z} = \frac{4}{3}$，得$\frac{y + z}{yz} = \frac{3}{4}$，即$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{4}$；
由$\frac{zx}{z + x} = -\frac{4}{3}$，得$\frac{z + x}{zx} = -\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{z} + \frac{1}{x} = -\frac{3}{4}$。
2. 设$a = \frac{1}{x}$，$b = \frac{1}{y}$，$c = \frac{1}{z}$，则有方程组：
$\begin{cases} a + b = -\frac{1}{3} & (1) \\ b + c = \frac{3}{4} & (2) \\ c + a = -\frac{3}{4} & (3) \end{cases}$
3. 联立方程(1)(2)(3)，左右两边分别相加：
$2(a + b + c) = -\frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{3}$，
解得$a + b + c = -\frac{1}{6}$。
4. 目标式$\frac{xyz}{xy + yz + zx}$的倒数为$\frac{xy + yz + zx}{xyz} = \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = a + b + c = -\frac{1}{6}$，
故$\frac{xyz}{xy + yz + zx} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} = -6$。

22. (本题 14 分)
欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一,他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献,也在初等数学中留下了不凡的足迹. 设 $ a $,$ b $,$ c $ 为两两不同的数,称 $ P_n = \frac{a^n}{(a - b)(a - c)} + \frac{b^n}{(b - c)(b - a)} + \frac{c^n}{(c - a)(c - b)} $($ n = 0 $,$ 1 $,$ 2 $,$ 3 $)为欧拉分式.
(1)写出 $ P_0 $ 对应的表达式；
(2)化简 $ P_1 $ 对应的表达式.

(1) $ P_0 = \frac{1}{(a - b)(a - c)} + \frac{1}{(b - c)(b - a)} + \frac{1}{(c - a)(c - b)} $
(2) $ P_1 = \frac{a}{(a - b)(a - c)} + \frac{b}{(b - c)(b - a)} + \frac{c}{(c - a)(c - b)} $
通分，最简公分母为$(a - b)(a - c)(b - c)$
$\begin{aligned}&\frac{a(b - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)} - \frac{b(a - c)}{(a - b)(a - c)(b - c)} + \frac{c(a - b)}{(a - b)(a - c)(b - c)} \\=&\frac{a(b - c) - b(a - c) + c(a - b)}{(a - b)(a - c)(b - c)} \\=&\frac{ab - ac - ab + bc + ac - bc}{(a - b)(a - c)(b - c)} \\=&\frac{0}{(a - b)(a - c)(b - c)} = 0\end{aligned}$
故 $ P_1 = 0 $