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四、找一找,有什么规律?用你发现的规律计算后面2道算式。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=1-\frac{1}{16}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1-\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1-\frac{1}{8}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=1-\frac{1}{16}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=$
答案
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=1-\frac{1}{128}=\frac{127}{128}$
答：两道算式的结果分别为$\frac{31}{32}$和$\frac{127}{128}$。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=1-\frac{1}{128}=\frac{127}{128}$
答：两道算式的结果分别为$\frac{31}{32}$和$\frac{127}{128}$。
解析
【分析】
先观察给出的3组等式：左边的加数都是分子为1的分数，且后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍；等式右边的结果都是1减去左边算式里的最后一个加数。由此可总结规律：从$\frac{1}{2}$开始，依次加上分子为1、分母是前一个分母2倍的分数，和等于1减去算式中的最后一个加数。解题时直接套用该规律即可快速得到结果，不需要逐一通分计算。
【解析】
根据总结的规律计算：
1. 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$的最后一个加数是$\frac{1}{32}$，所以：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
2. 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}$的最后一个加数是$\frac{1}{128}$，所以：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=1-\frac{1}{128}=\frac{127}{128}$
【答案】
两道算式的结果分别为$\frac{31}{32}$和$\frac{127}{128}$。
【知识点】
算式找规律；分数加减法巧算
【点评】
本题核心是通过已知等式归纳通用计算规律，再利用规律简化计算，避免了复杂的通分步骤，能有效锻炼观察归纳能力和简便计算意识。
【难度系数】
0.7
先观察给出的3组等式：左边的加数都是分子为1的分数，且后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍；等式右边的结果都是1减去左边算式里的最后一个加数。由此可总结规律：从$\frac{1}{2}$开始，依次加上分子为1、分母是前一个分母2倍的分数，和等于1减去算式中的最后一个加数。解题时直接套用该规律即可快速得到结果，不需要逐一通分计算。
【解析】
根据总结的规律计算：
1. 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$的最后一个加数是$\frac{1}{32}$，所以：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
2. 算式$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}$的最后一个加数是$\frac{1}{128}$，所以：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}=1-\frac{1}{128}=\frac{127}{128}$
【答案】
两道算式的结果分别为$\frac{31}{32}$和$\frac{127}{128}$。
【知识点】
算式找规律；分数加减法巧算
【点评】
本题核心是通过已知等式归纳通用计算规律，再利用规律简化计算，避免了复杂的通分步骤，能有效锻炼观察归纳能力和简便计算意识。
【难度系数】
0.7
五、解方程。
$x+\frac{13}{9}=\frac{14}{9}$
$x-\frac{5}{9}=\frac{1}{2}$
$x-(\frac{3}{14}+\frac{4}{7})=\frac{1}{2}$
$1.2x=12+0.6$
$5x÷12=24$
$x-\frac{3}{5}=9$
$x+\frac{13}{9}=\frac{14}{9}$
$x-\frac{5}{9}=\frac{1}{2}$
$x-(\frac{3}{14}+\frac{4}{7})=\frac{1}{2}$
$1.2x=12+0.6$
$5x÷12=24$
$x-\frac{3}{5}=9$
答案
1.$x=\frac{1}{9}$
2.$x=\frac{19}{18}$
3.$x=\frac{9}{7}$
4.$x=10.5$
5.$x=57.6$
6.$x=9\frac{3}{5}$
2.$x=\frac{19}{18}$
3.$x=\frac{9}{7}$
4.$x=10.5$
5.$x=57.6$
6.$x=9\frac{3}{5}$
解析
【分析】
这是一组基础的一元一次方程求解题目，解题核心是利用等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。遇到分数运算时先通分统一分母再计算，有括号的先计算括号内的算式，逐步把未知数单独放在等式的一边即可求出x的值。
【解析】
1. 解方程$\boldsymbol{x+\frac{13}{9}=\frac{14}{9}}$
等式两边同时减去$\frac{13}{9}$：
$x+\frac{13}{9}-\frac{13}{9}=\frac{14}{9}-\frac{13}{9}$
解得$x=\frac{1}{9}$
2. 解方程$\boldsymbol{x-\frac{5}{9}=\frac{1}{2}}$
等式两边同时加上$\frac{5}{9}$：
$x=\frac{1}{2}+\frac{5}{9}$
通分（分母最小公倍数为18）得：$\frac{1}{2}=\frac{9}{18}$，$\frac{5}{9}=\frac{10}{18}$
$x=\frac{9}{18}+\frac{10}{18}=\frac{19}{18}$
3. 解方程$\boldsymbol{x-(\frac{3}{14}+\frac{4}{7})=\frac{1}{2}}$
先计算括号内的和：$\frac{4}{7}=\frac{8}{14}$，$\frac{3}{14}+\frac{8}{14}=\frac{11}{14}$
原式简化为$x-\frac{11}{14}=\frac{1}{2}$
等式两边同时加$\frac{11}{14}$：$x=\frac{1}{2}+\frac{11}{14}$
通分得：$\frac{1}{2}=\frac{7}{14}$，$x=\frac{7}{14}+\frac{11}{14}=\frac{18}{14}=\frac{9}{7}$
4. 解方程$\boldsymbol{1.2x=12+0.6}$
先计算等式右侧的和：$12+0.6=12.6$
等式两边同时除以1.2：$x=12.6÷1.2=10.5$
5. 解方程$\boldsymbol{5x÷12=24}$
等式两边先同时乘12：$5x=24×12=288$
再两边同时除以5：$x=288÷5=57.6$
6. 解方程$\boldsymbol{x-\frac{3}{5}=9}$
等式两边同时加$\frac{3}{5}$：$x=9+\frac{3}{5}=9\frac{3}{5}$
【答案】
1.$x=\frac{1}{9}$
2.$x=\frac{19}{18}$
3.$x=\frac{9}{7}$
4.$x=10.5$
5.$x=57.6$
6.$x=9\frac{3}{5}$
【知识点】
等式的性质、分数加减法、简易方程求解
【点评】
这组题目侧重考察简易方程的基础解法，同时融合了分数通分计算、小数四则运算的知识点，计算时需要细心处理通分和小数除法步骤，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
这是一组基础的一元一次方程求解题目，解题核心是利用等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。遇到分数运算时先通分统一分母再计算，有括号的先计算括号内的算式，逐步把未知数单独放在等式的一边即可求出x的值。
【解析】
1. 解方程$\boldsymbol{x+\frac{13}{9}=\frac{14}{9}}$
等式两边同时减去$\frac{13}{9}$：
$x+\frac{13}{9}-\frac{13}{9}=\frac{14}{9}-\frac{13}{9}$
解得$x=\frac{1}{9}$
2. 解方程$\boldsymbol{x-\frac{5}{9}=\frac{1}{2}}$
等式两边同时加上$\frac{5}{9}$：
$x=\frac{1}{2}+\frac{5}{9}$
通分（分母最小公倍数为18）得：$\frac{1}{2}=\frac{9}{18}$，$\frac{5}{9}=\frac{10}{18}$
$x=\frac{9}{18}+\frac{10}{18}=\frac{19}{18}$
3. 解方程$\boldsymbol{x-(\frac{3}{14}+\frac{4}{7})=\frac{1}{2}}$
先计算括号内的和：$\frac{4}{7}=\frac{8}{14}$，$\frac{3}{14}+\frac{8}{14}=\frac{11}{14}$
原式简化为$x-\frac{11}{14}=\frac{1}{2}$
等式两边同时加$\frac{11}{14}$：$x=\frac{1}{2}+\frac{11}{14}$
通分得：$\frac{1}{2}=\frac{7}{14}$，$x=\frac{7}{14}+\frac{11}{14}=\frac{18}{14}=\frac{9}{7}$
4. 解方程$\boldsymbol{1.2x=12+0.6}$
先计算等式右侧的和：$12+0.6=12.6$
等式两边同时除以1.2：$x=12.6÷1.2=10.5$
5. 解方程$\boldsymbol{5x÷12=24}$
等式两边先同时乘12：$5x=24×12=288$
再两边同时除以5：$x=288÷5=57.6$
6. 解方程$\boldsymbol{x-\frac{3}{5}=9}$
等式两边同时加$\frac{3}{5}$：$x=9+\frac{3}{5}=9\frac{3}{5}$
【答案】
1.$x=\frac{1}{9}$
2.$x=\frac{19}{18}$
3.$x=\frac{9}{7}$
4.$x=10.5$
5.$x=57.6$
6.$x=9\frac{3}{5}$
【知识点】
等式的性质、分数加减法、简易方程求解
【点评】
这组题目侧重考察简易方程的基础解法，同时融合了分数通分计算、小数四则运算的知识点，计算时需要细心处理通分和小数除法步骤，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
六、先阅读下面一段话，再回答问题。
榴花乡中心小学开展了丰富多彩的课外活动。五年级的每个同学都参加了一个小组的活动。其中，参加书法小组的占全年级学生数的$\frac{1}{5}$，参加合唱队的占全年级学生数的$\frac{1}{4}$，参加计算机小组的占全年级学生数的$\frac{3}{8}$，剩下的都参加了足球队。
1. 参加足球队的占全年级学生数的________。
2. 参加书法小组的人数与计算机小组的人数之和，比全年级人数的$\frac{1}{2}$多还是少？
______。
3. 参加________课外小组的人数最多。
榴花乡中心小学开展了丰富多彩的课外活动。五年级的每个同学都参加了一个小组的活动。其中，参加书法小组的占全年级学生数的$\frac{1}{5}$，参加合唱队的占全年级学生数的$\frac{1}{4}$，参加计算机小组的占全年级学生数的$\frac{3}{8}$，剩下的都参加了足球队。
1. 参加足球队的占全年级学生数的________。
2. 参加书法小组的人数与计算机小组的人数之和，比全年级人数的$\frac{1}{2}$多还是少？
______。
3. 参加________课外小组的人数最多。
答案
1.
$1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{3}{8}$
$=\frac{40}{40}-\frac{8}{40}-\frac{10}{40}-\frac{15}{40}$
$=\frac{7}{40}$
答：参加足球队的占全年级学生数的$\frac{7}{40}$。
2.
$\frac{1}{5}+\frac{3}{8}=\frac{23}{40}$
$\frac{1}{2}=\frac{20}{40}$
$\frac{23}{40}＞\frac{20}{40}$
答：比全年级人数的$\frac{1}{2}$多。
3.
$\frac{3}{8}=\frac{15}{40},\frac{1}{4}=\frac{10}{40},\frac{1}{5}=\frac{8}{40},\frac{7}{40}$
$\frac{15}{40}＞\frac{10}{40}＞\frac{8}{40}＞\frac{7}{40}$
答：参加计算机课外小组的人数最多。
$1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{3}{8}$
$=\frac{40}{40}-\frac{8}{40}-\frac{10}{40}-\frac{15}{40}$
$=\frac{7}{40}$
答：参加足球队的占全年级学生数的$\frac{7}{40}$。
2.
$\frac{1}{5}+\frac{3}{8}=\frac{23}{40}$
$\frac{1}{2}=\frac{20}{40}$
$\frac{23}{40}＞\frac{20}{40}$
答：比全年级人数的$\frac{1}{2}$多。
3.
$\frac{3}{8}=\frac{15}{40},\frac{1}{4}=\frac{10}{40},\frac{1}{5}=\frac{8}{40},\frac{7}{40}$
$\frac{15}{40}＞\frac{10}{40}＞\frac{8}{40}＞\frac{7}{40}$
答：参加计算机课外小组的人数最多。
解析
【分析】
解题时首先把五年级全年级总人数看作单位“1”：
1. 求足球队的占比，用单位“1”依次减去书法、合唱队、计算机小组的占比即可，计算时先找5、4、8的最小公倍数40进行通分，再按同分母分数减法规则计算。
2. 先算出书法小组和计算机小组的占比之和，再将和与$\frac{1}{2}$通分后比较大小，就能判断是多还是少。
3. 把四个课外小组的占比都通分为分母是40的同分母分数，同分母分数分子越大分数越大，占比最大的小组对应人数最多。
【解析】
1. 把全年级总人数看作单位“1”，参加足球队的占比为：
$1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{3}{8}$
$=\frac{40}{40}-\frac{8}{40}-\frac{10}{40}-\frac{15}{40}$
$=\frac{7}{40}$
2. 先计算书法小组和计算机小组的占比之和：
$\frac{1}{5}+\frac{3}{8}=\frac{8}{40}+\frac{15}{40}=\frac{23}{40}$
将$\frac{1}{2}$通分得$\frac{1}{2}=\frac{20}{40}$
因为$\frac{23}{40}＞\frac{20}{40}$，所以二者之和比全年级人数的$\frac{1}{2}$多。
3. 将四个小组的占比统一通分为分母是40的分数：
$\frac{1}{5}=\frac{8}{40}$，$\frac{1}{4}=\frac{10}{40}$，$\frac{3}{8}=\frac{15}{40}$，足球队占比为$\frac{7}{40}$
比较大小可得$\frac{15}{40}＞\frac{10}{40}＞\frac{8}{40}＞\frac{7}{40}$，即$\frac{3}{8}$最大，所以参加计算机小组的人数最多。
【答案】
1. $\frac{7}{40}$
2. 多
3. 计算机
【知识点】
单位“1”的应用、分数加减法、分数大小比较
【点评】
本题属于分数基础应用类题目，解题核心是找准单位“1”，熟练掌握通分方法即可完成分数的运算和大小比较，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先把五年级全年级总人数看作单位“1”：
1. 求足球队的占比，用单位“1”依次减去书法、合唱队、计算机小组的占比即可，计算时先找5、4、8的最小公倍数40进行通分，再按同分母分数减法规则计算。
2. 先算出书法小组和计算机小组的占比之和，再将和与$\frac{1}{2}$通分后比较大小，就能判断是多还是少。
3. 把四个课外小组的占比都通分为分母是40的同分母分数，同分母分数分子越大分数越大，占比最大的小组对应人数最多。
【解析】
1. 把全年级总人数看作单位“1”，参加足球队的占比为：
$1-\frac{1}{5}-\frac{1}{4}-\frac{3}{8}$
$=\frac{40}{40}-\frac{8}{40}-\frac{10}{40}-\frac{15}{40}$
$=\frac{7}{40}$
2. 先计算书法小组和计算机小组的占比之和：
$\frac{1}{5}+\frac{3}{8}=\frac{8}{40}+\frac{15}{40}=\frac{23}{40}$
将$\frac{1}{2}$通分得$\frac{1}{2}=\frac{20}{40}$
因为$\frac{23}{40}＞\frac{20}{40}$，所以二者之和比全年级人数的$\frac{1}{2}$多。
3. 将四个小组的占比统一通分为分母是40的分数：
$\frac{1}{5}=\frac{8}{40}$，$\frac{1}{4}=\frac{10}{40}$，$\frac{3}{8}=\frac{15}{40}$，足球队占比为$\frac{7}{40}$
比较大小可得$\frac{15}{40}＞\frac{10}{40}＞\frac{8}{40}＞\frac{7}{40}$，即$\frac{3}{8}$最大，所以参加计算机小组的人数最多。
【答案】
1. $\frac{7}{40}$
2. 多
3. 计算机
【知识点】
单位“1”的应用、分数加减法、分数大小比较
【点评】
本题属于分数基础应用类题目，解题核心是找准单位“1”，熟练掌握通分方法即可完成分数的运算和大小比较，解题思路清晰，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
