登录
1.下列各式是二次根式的是 （
A.$\sqrt{-2}$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt[3]{-2}$
C
）A.$\sqrt{-2}$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt[3]{-2}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次根式，需先明确二次根式的判定标准：一是根指数必须为2（通常省略不写），二是被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题时只需逐一核对每个选项是否同时满足这两个条件，就能得出正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2；②被开方数$a≥0$。
选项A：$\sqrt{-2}$的被开方数是$-2＜0$，无意义，不符合二次根式要求；
选项B：$2$是整数，不含二次根号，不符合二次根式的形式；
选项C：$\sqrt{2}$的根指数为2，被开方数$2≥0$，满足二次根式的所有条件；
选项D：$\sqrt[3]{-2}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记二次根式的两个判定条件，注意区分二次根式和更高次根式，同时要注意被开方数必须是非负的，避免误选被开方数为负数的选项。
【难度系数】
0.9
要判断一个式子是不是二次根式，需先明确二次根式的判定标准：一是根指数必须为2（通常省略不写），二是被开方数必须是非负数（即大于等于0）。解题时只需逐一核对每个选项是否同时满足这两个条件，就能得出正确答案。
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}\ (a≥0)$的式子叫做二次根式，需同时满足两个条件：①根指数为2；②被开方数$a≥0$。
选项A：$\sqrt{-2}$的被开方数是$-2＜0$，无意义，不符合二次根式要求；
选项B：$2$是整数，不含二次根号，不符合二次根式的形式；
选项C：$\sqrt{2}$的根指数为2，被开方数$2≥0$，满足二次根式的所有条件；
选项D：$\sqrt[3]{-2}$的根指数是3，属于三次根式，不是二次根式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记二次根式的两个判定条件，注意区分二次根式和更高次根式，同时要注意被开方数必须是非负的，避免误选被开方数为负数的选项。
【难度系数】
0.9
2.计算$(\sqrt{3})^2$的结果为 （
A.9
B.3
C.$\pm3$
D.$-9$
B
）A.9
B.3
C.$\pm3$
D.$-9$
答案
2.B
解析
【分析】
要计算$(\sqrt{3})^2$的结果，首先回忆二次根式的相关性质：对于非负数$a$，有$(\sqrt{a})^2=a$。首先确认根号内的数3是非负数，满足该性质的使用条件，直接套用性质即可得到结果，再对应选项选出正确答案即可，注意不要和普通平方运算、平方根的概念混淆。
【解析】
根据二次根式的性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$。
本题中$a=3≥0$，符合性质的使用要求，代入可得：
$(\sqrt{3})^2=3$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查二次根式的核心性质，解题时注意不要将$(\sqrt{a})^2$与普通整数平方、平方根的概念混淆，牢记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要计算$(\sqrt{3})^2$的结果，首先回忆二次根式的相关性质：对于非负数$a$，有$(\sqrt{a})^2=a$。首先确认根号内的数3是非负数，满足该性质的使用条件，直接套用性质即可得到结果，再对应选项选出正确答案即可，注意不要和普通平方运算、平方根的概念混淆。
【解析】
根据二次根式的性质：当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$。
本题中$a=3≥0$，符合性质的使用要求，代入可得：
$(\sqrt{3})^2=3$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质、乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查二次根式的核心性质，解题时注意不要将$(\sqrt{a})^2$与普通整数平方、平方根的概念混淆，牢记相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.【开放性问题】请写出一个使$\sqrt{5-x}$在实数范围内有意义的$x$的值：
0
.答案
3.0(答案不唯一,满足$x≤5$即可)
解析
【分析】
要使二次根式在实数范围内有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，这是解题的核心依据。首先我们可以根据这个性质列出关于x的不等式，解出x的取值范围后，在范围内任意选取一个数值即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得：
$5 - x ≥ 0$
移项得：$-x ≥ -5$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得：$x ≤ 5$
因此所有小于等于5的实数均符合要求，例如取$x=0$。
【答案】
0(答案不唯一，满足$x≤5$即可)
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础开放性题目，考查二次根式的基本性质，只要掌握被开方数非负的要求，解出x的取值范围后任选一个符合条件的值即可得分。
【难度系数】
0.9
要使二次根式在实数范围内有意义，需满足二次根式的被开方数为非负数，这是解题的核心依据。首先我们可以根据这个性质列出关于x的不等式，解出x的取值范围后，在范围内任意选取一个数值即可。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，可得：
$5 - x ≥ 0$
移项得：$-x ≥ -5$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得：$x ≤ 5$
因此所有小于等于5的实数均符合要求，例如取$x=0$。
【答案】
0(答案不唯一，满足$x≤5$即可)
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题是基础开放性题目，考查二次根式的基本性质，只要掌握被开方数非负的要求，解出x的取值范围后任选一个符合条件的值即可得分。
【难度系数】
0.9
4.【动手操作】如图，用面积均为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是
$\sqrt{6}$
.答案
4.$\sqrt{6}$
解析
【分析】
要求大正方形的边长，首先需要确定大正方形的面积。两个小正方形拼接成大正方形时，总面积不会发生变化，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和；再根据正方形面积公式“面积=边长²”，边长就是面积的算术平方根，代入数值计算即可。
【解析】
首先计算大正方形的面积：拼接前后总面积不变，两个小正方形的面积均为3，因此大正方形的面积为 $3+3=6$。
设大正方形的边长为 $a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得 $a^2=6$，对等式两边开算术平方根，得 $a=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根、拼接图形面积守恒
【点评】
本题属于基础题，解题核心是抓住图形拼接前后总面积不变的特点，结合正方形面积公式和算术平方根的定义求解，思路清晰直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
要求大正方形的边长，首先需要确定大正方形的面积。两个小正方形拼接成大正方形时，总面积不会发生变化，因此大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和；再根据正方形面积公式“面积=边长²”，边长就是面积的算术平方根，代入数值计算即可。
【解析】
首先计算大正方形的面积：拼接前后总面积不变，两个小正方形的面积均为3，因此大正方形的面积为 $3+3=6$。
设大正方形的边长为 $a$（$a＞0$），根据正方形面积公式可得 $a^2=6$，对等式两边开算术平方根，得 $a=\sqrt{6}$。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根、拼接图形面积守恒
【点评】
本题属于基础题，解题核心是抓住图形拼接前后总面积不变的特点，结合正方形面积公式和算术平方根的定义求解，思路清晰直接，计算量小。
【难度系数】
0.8
5.【易错题】若$\sqrt{x^2}=2$，则$x$的值为
2或－2
.答案
5.2或－2
解析
【分析】
解题时首先观察到被开方数是x的平方项，结合二次根式的性质：被开方数为平方项时，开方结果等于底数的绝对值，先将原式转化为绝对值方程，再根据绝对值的定义求解x的值，注意不要遗漏负数解。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对原式化简可得：
$\sqrt{x^2}=|x|=2$
根据绝对值的定义，绝对值为2的数有2和-2两个，因此$x=2$或$x=-2$。
【答案】
2或－2
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的运算
【点评】
本题是典型易错题，易错点是直接将$\sqrt{x^2}$化简为x，仅得到x=2这一个解，忽略了二次根式开方结果是非负数，对应原数的绝对值，去绝对值时要考虑正负两种情况，需要牢固掌握二次根式的性质，避免思维定势漏解。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察到被开方数是x的平方项，结合二次根式的性质：被开方数为平方项时，开方结果等于底数的绝对值，先将原式转化为绝对值方程，再根据绝对值的定义求解x的值，注意不要遗漏负数解。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，对原式化简可得：
$\sqrt{x^2}=|x|=2$
根据绝对值的定义，绝对值为2的数有2和-2两个，因此$x=2$或$x=-2$。
【答案】
2或－2
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的运算
【点评】
本题是典型易错题，易错点是直接将$\sqrt{x^2}$化简为x，仅得到x=2这一个解，忽略了二次根式开方结果是非负数，对应原数的绝对值，去绝对值时要考虑正负两种情况，需要牢固掌握二次根式的性质，避免思维定势漏解。
【难度系数】
0.6
6.计算：
(1) $(\sqrt{\dfrac{3}{11}})^2$；
(2) $(-\sqrt{0.8})^2$；
(3) $-\sqrt{(-5)^2}$；
(4) $\sqrt{100^{-2}}$。
数学
(1) $(\sqrt{\dfrac{3}{11}})^2$；
(2) $(-\sqrt{0.8})^2$；
(3) $-\sqrt{(-5)^2}$；
(4) $\sqrt{100^{-2}}$。
数学
答案
6.解:(1)原式$=\dfrac{3}{11}$；
(2)原式$=(\sqrt{0.8})^2=0.8$；
(3)原式$=-5$；
(4)原式$=\sqrt{(\dfrac{1}{100})^2}=\dfrac{1}{100}$。
(2)原式$=(\sqrt{0.8})^2=0.8$；
(3)原式$=-5$；
(4)原式$=\sqrt{(\dfrac{1}{100})^2}=\dfrac{1}{100}$。
解析
【分析】
解题前需牢记二次根式的两个核心性质：①$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），平方运算可直接消去根号，前提是被开方数非负；②$\sqrt{a^2}=|a|$，开平方的结果一定是非负数，需根据$a$的正负去绝对值。各小题解题思路如下：
(1) 被开方数$\frac{3}{11}＞0$，直接套用性质①计算即可；
(2) 平方运算下负号会抵消，转化为$(\sqrt{0.8})^2$后套用性质①计算；
(3) 先计算根号内的平方运算，再套用性质②计算，最后保留原式前的负号；
(4) 先将负整数指数幂转化为正指数幂的平方形式，再套用性质②计算。
【解析】
(1) 根据$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），$\frac{3}{11}＞0$，
原式$=\dfrac{3}{11}$；
(2) 负数的平方为正数，可得$(-\sqrt{0.8})^2=(\sqrt{0.8})^2$，
再根据$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），$0.8≥0$，
原式$=0.8$；
(3) 先计算根号内的运算：$(-5)^2=25=5^2$，
再根据$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{5^2}=|5|=5$，
原式$=-5$；
(4) 先将负指数幂变形：$100^{-2}=(\dfrac{1}{100})^2$，
再根据$\sqrt{a^2}=|a|$，$\dfrac{1}{100}＞0$，$\sqrt{(\dfrac{1}{100})^2}=|\dfrac{1}{100}|=\dfrac{1}{100}$，
原式$=\dfrac{1}{100}$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{11}$；(2) $0.8$；(3) $-5$；(4) $\dfrac{1}{100}$
【知识点】
二次根式的性质，负整数指数幂，平方运算性质
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，核心是区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算顺序与计算规则，运算中负号、负指数幂的处理是常见易错点，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题前需牢记二次根式的两个核心性质：①$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），平方运算可直接消去根号，前提是被开方数非负；②$\sqrt{a^2}=|a|$，开平方的结果一定是非负数，需根据$a$的正负去绝对值。各小题解题思路如下：
(1) 被开方数$\frac{3}{11}＞0$，直接套用性质①计算即可；
(2) 平方运算下负号会抵消，转化为$(\sqrt{0.8})^2$后套用性质①计算；
(3) 先计算根号内的平方运算，再套用性质②计算，最后保留原式前的负号；
(4) 先将负整数指数幂转化为正指数幂的平方形式，再套用性质②计算。
【解析】
(1) 根据$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），$\frac{3}{11}＞0$，
原式$=\dfrac{3}{11}$；
(2) 负数的平方为正数，可得$(-\sqrt{0.8})^2=(\sqrt{0.8})^2$，
再根据$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），$0.8≥0$，
原式$=0.8$；
(3) 先计算根号内的运算：$(-5)^2=25=5^2$，
再根据$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{5^2}=|5|=5$，
原式$=-5$；
(4) 先将负指数幂变形：$100^{-2}=(\dfrac{1}{100})^2$，
再根据$\sqrt{a^2}=|a|$，$\dfrac{1}{100}＞0$，$\sqrt{(\dfrac{1}{100})^2}=|\dfrac{1}{100}|=\dfrac{1}{100}$，
原式$=\dfrac{1}{100}$。
【答案】
(1) $\dfrac{3}{11}$；(2) $0.8$；(3) $-5$；(4) $\dfrac{1}{100}$
【知识点】
二次根式的性质，负整数指数幂，平方运算性质
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，核心是区分$(\sqrt{a})^2$和$\sqrt{a^2}$的运算顺序与计算规则，运算中负号、负指数幂的处理是常见易错点，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
