8 [2025苏州改编]如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=40\ \mathrm{m}$,$BC=30\ \mathrm{m}$.若直线$BD$平分$△ ABC$的面积,点$D$在边$AC$上,则线段$BD$的长等于 ()

A.$23\ \mathrm{m}$
B.$25\ \mathrm{m}$
C.$28\ \mathrm{m}$
D.$\dfrac{120}{5}\ \mathrm{m}$

8. B

9 整体思想 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边长.若$a+b=14\ \mathrm{cm}$，$c=10\ \mathrm{cm}$，则$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积为（）

A.$24\ \mathrm{cm}^2$
B.$36\ \mathrm{cm}^2$
C.$48\ \mathrm{cm}^2$
D.$60\ \mathrm{cm}^2$

9. A

10 [2025辽宁]如图，在长方形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE。若AB=3，AE=4，则CE的长为。

10. √10

11 如图,在$△ ABC$中,按尺规作图的痕迹作直线$MN$,交边$AB$于点$E$.若$AC=5$,$BE=4$,$∠ B=45°$,则$AB$的长为.

11. 7

12 [2024陕西]如图,在$6×7$的网格中,每个小正方形的边长均为1,$△ ABC$和$△ DFE$的顶点都在格点上.求证:$∠ ABC=∠ EFD$.

12. 由题意,易得 $AB^{2}=EF^{2}=1^{2}+2^{2}=5,AC^{2}=ED^{2}=1^{2}+3^{2}=10,BC^{2}=FD^{2}=1^{2}+4^{2}=17. \therefore AB=EF,AC=ED,BC=FD.$ 在 $△ ABC$ 和 $△ EFD$ 中,$\begin{cases} AB=EF, \\ BC=FD, \\ AC=ED, \end{cases} \therefore △ ABC ≌ △ EFD$(SSS),$\therefore ∠ ABC=∠ EFD$

13 方程思想 如图，将长方形ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处。若点E在边AB上，AB=3，BC=5，求AE的长。（第13题）

13. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形, $\therefore ∠ A=∠ D=90°,CD=AB=3,AD=BC=5. \because CE$ 是折痕, $\therefore FC=BC=5,EF=BE. \because$ 在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$DF^{2}+CD^{2}=FC^{2}, \therefore DF^{2}=FC^{2}-CD^{2}=5^{2}-3^{2}=16, \therefore DF=4, \therefore AF=AD-DF=1.$ 设 $AE=x$, 则 $BE=EF=3-x. \because$ 在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 中,$EF^{2}=AE^{2}+AF^{2}$, $\therefore (3-x)^{2}=x^{2}+1^{2}$, 解得 $x=\frac{4}{3}, \therefore AE=\frac{4}{3}$