9. ▶一题多解 在同一平面直角坐标系中,函数$y=kx+1$与$y=-\dfrac{k}{x}(k$为常数且$k≠0)$的图象大致是 ()


A
B
C D

9 A
通解 对 $k$ 分类讨论如下:
| | $y=kx+1$ | $y=-\dfrac{k}{x}$ | 结论 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $k＞0$ | 图象经过第一、二、三象限 | 图象位于第二、四象限 | 排除选项 C |
| $k＜0$ | 图象经过第一、二、四象限 | 图象位于第一、三象限 | 排除选项 B,D |
另解 由题意,知一次函数的图象经过点$(0,1)$,排除选项 B,D. 选项 A 中,由一次函数的图象可知,$k＞0$,由反比例函数的图象可知,$k＞0$;选项 C 中,由一次函数的图象可知,$k＞0$,由反比例函数的图象可知,$k＜0$,$k$ 的符号不一致,所以排除选项 C.

10. [2026 台州白云中学月考] 反比例函数 $y=\frac{4}{x}$ 的图象上有 $P(t,y_1),Q(t+4,y_2)$ 两点. 下列正确的选项是（）

A.当 $t＜-4$ 时，$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$
B.当 $-4 ＜ t ＜ 0$ 时，$y_2 ＜ y_1 ＜ 0$
C.当 $-4 ＜ t ＜ 0$ 时，$0 ＜ y_1 ＜ y_2$
D.当 $t＞0$ 时，$0 ＜ y_1 ＜ y_2$

10 A $\because$ 反比例函数 $y = \dfrac{4}{x}$ 中,$k = 4 ＞ 0,\therefore$ 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限,在每一个象限内,$y$ 随 $x$ 的增大而减小. 当 $t ＜ -4$ 时,$t + 4 ＜ 0$. $\because t ＜ t + 4,\therefore y_2 ＜ y_1 ＜ 0$,A 符合题意;当 $-4 ＜ t ＜ 0$ 时,点 $P(t,y_1)$ 在第三象限,点 $Q(t + 4,y_2)$ 在第一象限,$\therefore y_1 ＜ 0,y_2 ＞ 0,\therefore y_1 ＜ 0 ＜ y_2$,B,C 不符合题意;当 $t ＞ 0$ 时,$t + 4 ＞ 0$,$\therefore$ 点 $P(t,y_1),Q(t + 4,y_2)$ 在第一象限. $\because t ＜ t + 4,\therefore y_1 ＞ y_2 ＞ 0$,D 不符合题意.

11. [2026南京鼓楼实验中学模拟] 在平面直角坐标系中，直线$y = kx(k ≠ 0)$与双曲线$y = \dfrac{2}{x}$交于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点，则$x_1y_2 + x_2y_1$的值为.

11 -4 $\because$ 直线 $y = kx(k ≠ 0)$ 与双曲线 $y = \dfrac{2}{x}$ 都关于原点对称,$\therefore$ 点 $A,B$ 关于原点对称,$\therefore x_1 = -x_2,y_1 = -y_2,\therefore x_1y_2 + x_2y_1 = (-x_2) · y_2 + x_2 · (-y_2) = -2x_2y_2$. $\because$ 点 $B(x_2,y_2)$ 在双曲线 $y = \dfrac{2}{x}$ 上,$\therefore x_2y_2 = 2,\therefore x_1y_2 + x_2y_1 = -2x_2y_2 = -4$.

12. [2026南京一模]如图,已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$x＜0$）,$△ OAB$和$△ BCD$均为等腰直角三角形,点D在反比例函数图象上. 若$S_{△ OAB} - S_{△ BCD}=10$,则$k=$.

12 -20 设 $AO = a,CD = b$. $\because △ OAB$ 和 $△ BCD$ 均为等腰直角三角形,$\therefore AB = AO = a,BO = \sqrt{2}a,BC = CD = b,DB = \sqrt{2}b$,$\therefore D(-a - b,a - b)$. $\because$ 点 $D$ 在反比例函数图象上,$\therefore (-a - b)(a - b) = k$,即 $b^2 - a^2 = k$. 又$\because S_{△ OAB} - S_{△ BCD} = 10,\therefore \dfrac{a^2}{2} - \dfrac{b^2}{2} = 10,\therefore -k = 20,\therefore k = -20$.

13. [2026西安二十六中模拟]若反比例函数 $y_1=\frac{2}{x}$，$y_2=-\frac{3}{x}$，当 $1≤x≤3$ 时，函数 $y_1$ 的最大值是 $a$，函数 $y_2$ 的最大值是 $b$，则 $a^b=$ 。

13 $\dfrac{1}{2}$ $\because$ 反比例函数 $y_1 = \dfrac{2}{x},\therefore$ 当 $x ＞ 0$ 时,$y_1$ 随 $x$ 的增大而减小,当 $1 ≤ x ≤ 3$ 时,函数 $y_1$ 在 $x = 1$ 时取得最大值 $a$,$\therefore a = \dfrac{2}{1} = 2$. $\because$ 反比例函数 $y_2 = -\dfrac{3}{x},\therefore$ 当 $x ＞ 0$ 时,$y_2$ 随 $x$ 的增大而增大,当 $1 ≤ x ≤ 3$ 时,函数 $y_2$ 在 $x = 3$ 时取得最大值 $b$,$\therefore b = -\dfrac{3}{3} = -1,\therefore a^b = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$.

14. [2025无锡外国语学校一模] 如图,在$Rt△ ABC$中,$AC=BC$,点A,B均落在坐标轴上,且$OA=2$,点C的坐标为$(3,3)$,将$△ ABC$向上平移得到$△ A'B'C'$.若点$B'$,$C'$恰好都在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,则k的值是.

14 36 如图,过点 $C$ 作 $CN ⊥ y$ 轴于点 $N$,过点 $B$ 作 $BM ⊥ CN$ 交 $NC$ 的延长线于点 $M$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AC = BC$,点 $A,B$ 均在坐标轴上,且 $OA = 2$,点 $C$ 的坐标为 $(3,3),\therefore CN = BM = ON = 3,\therefore AN = 3 - 2 = 1$. 在 $\mathrm{Rt}△ CAN$ 和 $\mathrm{Rt}△ BCM$ 中,$\begin{cases} CN = BM, \\ AC = CB, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ CAN ≌ \mathrm{Rt}△ BCM(\mathrm{HL}),\therefore CM = AN = 1$,$\therefore OB = MN = 3 + 1 = 4,\therefore B(4,0)$. 设 $△ ABC$ 向上平移 $m$ 个单位长度,则 $C'(3,3 + m),B'(4,m)$. $\because$ 点 $C'$ 和 $B'$ 在该反比例函数图象上,$\therefore k = 3(3 + m) = 4m$,解得 $m = 9,\therefore k = 36$.

15. 推理能力 [2025苏州二模] 如图,以矩形ABCD的对称中心O为原点建立平面直角坐标系,各边与x轴、y轴交于点N,E,M,F,AB=4,BC=8,反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象与矩形的边AB,BC分别交于点P,Q,且AB=8EP,直线$l:y_2=k_2x+b$经过P,Q两点.
(1)请分别求出直线l和反比例函数的表达式.
(2)连接EN.
①求证:$EN// PQ$.
②线段EN与反比例函数图象是否有公共点?若有,请求出公共点的坐标;若没有,请说明理由.

15 (1)解:$\because$ 以矩形 $ABCD$ 的对称中心 $O$ 为原点建立平面直角坐标系,$AB = 4,BC = 8,\therefore B(2,4)$.
$\because AB = 8EP,\therefore EP = \dfrac{AB}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2},\therefore P(\dfrac{1}{2},4)$.
把 $P(\dfrac{1}{2},4)$ 代入 $y_1 = \dfrac{k_1}{x}$,得 $4 = \dfrac{k_1}{\dfrac{1}{2}}$,
解得 $k_1 = 2,\therefore y_1 = \dfrac{2}{x}$.
在 $y_1 = \dfrac{2}{x}$ 中,令 $x = 2$,得 $y_1 = 1$,
$\therefore Q(2,1)$.
把 $P(\dfrac{1}{2},4),Q(2,1)$ 代入 $y_2 = k_2x + b$,得
$\begin{cases} 4 = \dfrac{1}{2}k_2 + b, \\ 1 = 2k_2 + b, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k_2 = -2, \\ b = 5, \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $l$ 的表达式为 $y_2 = -2x + 5$.
(2) ①证明:$\because B(2,4)$,
$\therefore E(0,4),N(2,0)$.
设直线 $EN$ 的表达式为 $y = mx + n$,
把 $E(0,4),N(2,0)$ 代入,得 $\begin{cases} n = 4, \\ 2m + n = 0, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} m = -2, \\ n = 4, \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $EN$ 的表达式为 $y = -2x + 4$.
$\because$ 直线 $PQ$ 的表达式为 $y = -2x + 5$,
$\therefore EN // PQ$.
②解:线段 $EN$ 与反比例函数图象有公共点.
联立,得$\begin{cases} y = -2x + 4, \\ y = \dfrac{2}{x}, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 1, \\ y = 2, \end{cases}$
$\therefore$ 直线 $EN$ 与反比例函数图象有公共点$(1,2)$.
$\because x_E = 0,x_N = 2$,且 $0 ＜ 1 ＜ 2$,
$\therefore$ 直线 $EN$ 与反比例函数图象的公共点$(1,2)$ 在线段 $EN$ 上,
$\therefore$ 线段 $EN$ 与反比例函数图象有公共点,公共点的坐标为$(1,2)$.