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例3 要测量池塘两侧A,B两点之间的距离.如图,测量员在地面上找一点C,沿着BC向前走到点D处,使得$CD=AC$,沿着AC向前走到点E处,使得$CE=BC$,测出D,E两点之间的距离是52.5 m,则$AB=$
例3题图
【规律方法】
构造全等三角形测距离
当两点间有障碍物不能直接测量时,可以把要测量的两点间的线段作为三角形的一边,然后构造全等三角形,从而把要测量的线段转化到可以直接测量的三角形中来测量.
52.5
m.例3题图
【规律方法】
构造全等三角形测距离
当两点间有障碍物不能直接测量时,可以把要测量的两点间的线段作为三角形的一边,然后构造全等三角形,从而把要测量的线段转化到可以直接测量的三角形中来测量.
答案
52.5
1. 如图，点A,C,E,F在同一条直线上，$CD=AB$，$∠ C=∠ A$，$CE=AF$。
求证：$△ CDF ≌ △ ABE$。
求证：$△ CDF ≌ △ ABE$。
答案
证明:$\because CE=AF$,
$\therefore CE-EF=AF-EF$,
即$CF=AE$.
在$△ CDF$和$△ ABE$中,
$\begin{cases}CD=AB, \\∠ C=∠ A, \\CF=AE,\end{cases}$
$\therefore △ CDF≌△ ABE(\mathrm{SAS}).$
$\therefore CE-EF=AF-EF$,
即$CF=AE$.
在$△ CDF$和$△ ABE$中,
$\begin{cases}CD=AB, \\∠ C=∠ A, \\CF=AE,\end{cases}$
$\therefore △ CDF≌△ ABE(\mathrm{SAS}).$
2. 如图所示的网格为正方形网格,则∠2-∠1= 
90°
. 答案
$90°$
3. 如图，$CE = CB$，$CD = CA$，$∠ DCA = ∠ ECB$. 求证: $DE = AB$. 
第3题图
第3题图答案
证明:$\because ∠ DCA=∠ ECB$,
$\therefore ∠ DCA+∠ ACE=∠ ECB+∠ ACE$,
即$∠ DCE=∠ ACB$.
在$△ DCE$和$△ ACB$中,
$\begin{cases}CE=CB, \\∠ DCE=∠ ACB, \\CD=CA,\end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ ACB(\mathrm{SAS}).$
$\therefore DE=AB.$
$\therefore ∠ DCA+∠ ACE=∠ ECB+∠ ACE$,
即$∠ DCE=∠ ACB$.
在$△ DCE$和$△ ACB$中,
$\begin{cases}CE=CB, \\∠ DCE=∠ ACB, \\CD=CA,\end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ ACB(\mathrm{SAS}).$
$\therefore DE=AB.$
4.如图,池塘边上有A,B两点,A,B两点之间的距离无法直接测量.请你利用本课时所学的数学知识,按以下要求设计一个测量方案:
(1)画出测量图案;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);
(3)计算A,B两点之间的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示).
(1)画出测量图案;
(2)写出测量步骤(测量数据用字母表示);
(3)计算A,B两点之间的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示).
答案
(1)画出测量图案如解图
;(2)在平地上取一个可以直接到达点A,B的点C,在射线AC上取一点D,使$CD=CA$,在射线BC上取一点E,使$CE=CB$.这时测出DE的长为$a\ \mathrm{m}$,则AB的长就是$a\ \mathrm{m}$;
(3)由测量方案可得$CA=CD,∠ ACB=∠ DCE,CB=CE$,
$\therefore △ ACB≌△ DCE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AB=DE=a\ \mathrm{m},$
$\therefore A,B$两点之间的距离为$a\ \mathrm{m}.$(答案不唯一)
