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14.某气象研究中心观测了一场沙尘暴从发生到结束的全过程(速度变化如图所示)。开始时风速平均每时增加2千米/时;4小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速为平均每时增加4千米/时;有一段时间,风速保持不变;当沙尘暴遇到绿色植被区时,风速平均每时减少5千米/时,最终停止。结合风速与时间的图象,回答下列问题。
(1)在纵轴括号内填入相应的数值。
(2)沙尘暴从发生到结束,共经过多少时间?
(1)在纵轴括号内填入相应的数值。
(2)沙尘暴从发生到结束,共经过多少时间?
答案
(1)8 32 (2)31.4小时
解析
【分析】
解题时先把图象按时间分段分析：
1. 解决第一问：先看0~4小时的加速阶段，已知每小时风速增加2千米/时，用“每小时增加的速度×时间”就能算出4小时对应的风速，即纵轴下方括号的数值；再看4~10小时的加速阶段，先算这个阶段的时长，乘以每小时增加的4千米/时，得到这段时间增加的风速，加上4小时时的风速，就能得到10小时对应的风速，即纵轴上方括号的数值。
2. 解决第二问：25小时后进入减速阶段，已知风速从32千米/时开始每小时减少5千米/时，用“总风速÷每小时减少的速度”算出减速需要的时间，再加上25小时就是总时长。
【解析】
(1) 计算纵轴数值：
① 0~4小时，风速平均每小时增加2千米/时，4小时时的风速为：$2×4=8$（千米/时），故下方括号填8；
② 4~10小时，时长为$10-4=6$小时，风速平均每小时增加4千米/时，10小时时的风速为：$8 + 4×6=32$（千米/时），故上方括号填32。
(2) 计算总时长：
25小时后开始减速，风速从32千米/时降到0，平均每小时减少5千米/时，减速所需时间为：$32÷5=6.4$（小时）
沙尘暴从发生到结束的总时间为：$25 + 6.4=31.4$（小时）
【答案】
(1) $\boxed{8}$，$\boxed{32}$
(2) $\boxed{31.4}$小时
【知识点】
1. 速度时间图象解读
2. 行程问题计算
3. 常量与变量
【点评】
本题结合沙尘暴的实际场景考查对图象的分析能力，解题核心是拆分不同阶段的速度变化规律，结合速度、时间的基本数量关系计算即可，侧重考查读图和信息提取能力。
【难度系数】
0.7
解题时先把图象按时间分段分析：
1. 解决第一问：先看0~4小时的加速阶段，已知每小时风速增加2千米/时，用“每小时增加的速度×时间”就能算出4小时对应的风速，即纵轴下方括号的数值；再看4~10小时的加速阶段，先算这个阶段的时长，乘以每小时增加的4千米/时，得到这段时间增加的风速，加上4小时时的风速，就能得到10小时对应的风速，即纵轴上方括号的数值。
2. 解决第二问：25小时后进入减速阶段，已知风速从32千米/时开始每小时减少5千米/时，用“总风速÷每小时减少的速度”算出减速需要的时间，再加上25小时就是总时长。
【解析】
(1) 计算纵轴数值：
① 0~4小时，风速平均每小时增加2千米/时，4小时时的风速为：$2×4=8$（千米/时），故下方括号填8；
② 4~10小时，时长为$10-4=6$小时，风速平均每小时增加4千米/时，10小时时的风速为：$8 + 4×6=32$（千米/时），故上方括号填32。
(2) 计算总时长：
25小时后开始减速，风速从32千米/时降到0，平均每小时减少5千米/时，减速所需时间为：$32÷5=6.4$（小时）
沙尘暴从发生到结束的总时间为：$25 + 6.4=31.4$（小时）
【答案】
(1) $\boxed{8}$，$\boxed{32}$
(2) $\boxed{31.4}$小时
【知识点】
1. 速度时间图象解读
2. 行程问题计算
3. 常量与变量
【点评】
本题结合沙尘暴的实际场景考查对图象的分析能力，解题核心是拆分不同阶段的速度变化规律，结合速度、时间的基本数量关系计算即可，侧重考查读图和信息提取能力。
【难度系数】
0.7
15.某数学兴趣小组在一组课题学习活动中以“钟表上时针与分针的重合时刻”为课题展开了研究。
【问题提出】
如图所示为该钟表的简化平面示意图
。设时针、分针所在直线在同一平面内，直线$l$表示钟表的铅垂轴线。在1:00至1:15之间求时针与分针的重合时刻。
【问题探究】
设钟表中心为$O$，表示“12”的点为$A$，表示“1”的点为$B$，表示“3”的点为$C$，表示“6”的点为$D$，下面是小颖同学的研究过程：
解题思路:建立数量关系求解。
(1)设1:00后再经过$x(\mathrm{min})(0≤ x≤15)$，时针、分针与$OA$所成夹角的度数分别为$y_1°$,$y_2°$，直接写出$y_1$,$y_2$与$x$的关系式。
【问题解决】
(2)请按照小颖的思路解答此问题。
【问题拓展】
(3)求该钟表在1:15至1:30之间，时针与分针所在直线互相垂直的时刻。
【问题提出】
如图所示为该钟表的简化平面示意图
。设时针、分针所在直线在同一平面内，直线$l$表示钟表的铅垂轴线。在1:00至1:15之间求时针与分针的重合时刻。【问题探究】
设钟表中心为$O$，表示“12”的点为$A$，表示“1”的点为$B$，表示“3”的点为$C$，表示“6”的点为$D$，下面是小颖同学的研究过程：
解题思路:建立数量关系求解。
(1)设1:00后再经过$x(\mathrm{min})(0≤ x≤15)$，时针、分针与$OA$所成夹角的度数分别为$y_1°$,$y_2°$，直接写出$y_1$,$y_2$与$x$的关系式。
【问题解决】
(2)请按照小颖的思路解答此问题。
【问题拓展】
(3)求该钟表在1:15至1:30之间，时针与分针所在直线互相垂直的时刻。
答案
(1)$y_1=30+\frac{1}{2}x;y_2=6x$
(2)由题意,得$6x=30+\frac{1}{2}x$,解得$x=\frac{60}{11}$。答:在1:00至1:15之间时针与分针重合时刻为1点$\frac{60}{11}$分
(3)由题意,得$6x=30+\frac{1}{2}x+90$,解得$x=\frac{240}{11}$。答在1:15至1:30之间时针与分针垂直时刻为1点$\frac{240}{11}$分
(2)由题意,得$6x=30+\frac{1}{2}x$,解得$x=\frac{60}{11}$。答:在1:00至1:15之间时针与分针重合时刻为1点$\frac{60}{11}$分
(3)由题意,得$6x=30+\frac{1}{2}x+90$,解得$x=\frac{240}{11}$。答在1:15至1:30之间时针与分针垂直时刻为1点$\frac{240}{11}$分
解析
【分析】
解决本题的核心是先明确钟表上时针、分针的转动速度：分针每分钟转$360°÷60=6°$，时针每小时转$360°÷12=30°$，即每分钟转$30°÷60=0.5°$。
(1) 1:00时，时针已经从12点位置（OA）转过了$30°$，x分钟后时针再转$0.5x°$，即可得到$y_1$的表达式；分针从OA出发x分钟转$6x°$，直接得到$y_2$的表达式。
(2) 时针与分针重合时，二者与OA的夹角相等，令$y_1=y_2$列方程求解，得到的x就是1点后重合经过的分钟数。
(3) 1:15至1:30之间两针垂直时，分针位置在时针前方，分针与OA的夹角比时针与OA的夹角大$90°$，据此列方程求解即可得到对应时刻。
【解析】
(1) 时针的初始角度为1点整对应和OA的夹角$30°$，每分钟转$0.5°$，因此$y_1=30+\frac{1}{2}x$；
分针每分钟转$6°$，从OA出发转动，因此$y_2=6x$。
(2) 时针与分针重合时，二者与OA的夹角相等，列方程：
$6x=30+\frac{1}{2}x$
移项合并得$\frac{11}{2}x=30$，解得$x=\frac{60}{11}$。
(3) 1:15至1:30之间两针垂直时，分针比时针多转$90°$，列方程：
$6x=30+\frac{1}{2}x+90$
移项合并得$\frac{11}{2}x=120$，解得$x=\frac{240}{11}$。
【答案】
(1) $y_1=30+\frac{1}{2}x$，$y_2=6x$
(2) 1点$\frac{60}{11}$分
(3) 1点$\frac{240}{11}$分
【知识点】
一元一次方程的应用，钟表角度计算，变量关系表示
【点评】
本题结合生活中常见的钟表场景，考查角度运算和一元一次方程的实际应用，解题关键是准确掌握时针、分针的转动速度，根据重合、垂直的位置关系找到等量关系列方程，能有效提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
解决本题的核心是先明确钟表上时针、分针的转动速度：分针每分钟转$360°÷60=6°$，时针每小时转$360°÷12=30°$，即每分钟转$30°÷60=0.5°$。
(1) 1:00时，时针已经从12点位置（OA）转过了$30°$，x分钟后时针再转$0.5x°$，即可得到$y_1$的表达式；分针从OA出发x分钟转$6x°$，直接得到$y_2$的表达式。
(2) 时针与分针重合时，二者与OA的夹角相等，令$y_1=y_2$列方程求解，得到的x就是1点后重合经过的分钟数。
(3) 1:15至1:30之间两针垂直时，分针位置在时针前方，分针与OA的夹角比时针与OA的夹角大$90°$，据此列方程求解即可得到对应时刻。
【解析】
(1) 时针的初始角度为1点整对应和OA的夹角$30°$，每分钟转$0.5°$，因此$y_1=30+\frac{1}{2}x$；
分针每分钟转$6°$，从OA出发转动，因此$y_2=6x$。
(2) 时针与分针重合时，二者与OA的夹角相等，列方程：
$6x=30+\frac{1}{2}x$
移项合并得$\frac{11}{2}x=30$，解得$x=\frac{60}{11}$。
(3) 1:15至1:30之间两针垂直时，分针比时针多转$90°$，列方程：
$6x=30+\frac{1}{2}x+90$
移项合并得$\frac{11}{2}x=120$，解得$x=\frac{240}{11}$。
【答案】
(1) $y_1=30+\frac{1}{2}x$，$y_2=6x$
(2) 1点$\frac{60}{11}$分
(3) 1点$\frac{240}{11}$分
【知识点】
一元一次方程的应用，钟表角度计算，变量关系表示
【点评】
本题结合生活中常见的钟表场景，考查角度运算和一元一次方程的实际应用，解题关键是准确掌握时针、分针的转动速度，根据重合、垂直的位置关系找到等量关系列方程，能有效提升用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
