4. 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线。若∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（）


A.70°
B.80°
C.90°
D.100°

4. C

5. 如图，在$△ ABC$中，BD，BE三等分$∠ ABC$，CD，CE三等分$∠ ACB$。若$∠ A=α°$，则$∠ BEC$的度数为$\_\_\_\_\_\_°$（用含$α$的式子表示）。

5. $(60+\frac{2}{3}α)$

如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD和CB，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题。
（1）在图①中写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的等量关系：。
（2）如图②，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并与CD，AB分别交于点M，N。
①若∠D＝40°，∠B＝36°，求∠P的度数；
②探究∠P与∠D，∠B之间有何等量关系，并说明理由。

（1）$∠ A+∠ D=∠ B+∠ C$
解析 在$△ OAD$中，$∠ A+∠ D+∠ AOD=180°$。
在$△ OBC$中，$∠ B + ∠ C + ∠ BOC=180°$。
因为$∠ AOD=∠ BOC$，
所以$∠ A+∠ D=∠ B+∠ C$。
（2）解 ①因为$∠ D＝40°$，$∠ B＝36°$，
由（1）的结论得$∠ DAB+∠ D=∠ B+∠ BCD$。
所以$∠ DAB+40°=36°+∠ BCD$。
所以$∠ BCD-∠ DAB=4°$。
因为$∠ DAB$和$∠ BCD$的平分线AP和CP相交于点P，
所以$∠ DAB＝2∠ DAP$，$∠ BCD＝2∠ DCP$。
所以$2∠ DCP-2∠ DAP＝4°$。
所以$∠ DCP-∠ DAP＝2°$。
因为DC，AP交于点M，
由“8字型”结论得$∠ D+∠ DAP=∠ P+∠ DCP$。
所以$∠ P＝∠ D-(∠ DCP-∠ DAP)=40°-2°=38°$。
②$∠ P＝\frac{1}{2}(∠ D+∠ B)$。理由如下：
由（1）的结论得$∠ DAB+∠ D=∠ B+∠ BCD$，
所以$∠ BCD-∠ DAB=∠ D-∠ B$。
因为$∠ DAB$和$∠ BCD$的平分线AP和CP相交于点P，
所以$∠ DAB＝2∠ DAP$，$∠ BCD＝2∠ DCP$。
所以$2∠ DCP-2∠ DAP=∠ D-∠ B$。
即$∠ DCP-∠ DAP=\frac{1}{2}(∠ D-∠ B)$。
因为DC，AP交于点M，
由“8字型”结论得$∠ D+∠ DAP=∠ P+∠ DCP$。
所以$∠ P＝∠ D-(∠ DCP-∠ DAP)=∠ D-\frac{1}{2}(∠ D-∠ B)=\frac{1}{2}(∠ D+∠ B)$。
即$∠ P＝\frac{1}{2}(∠ D+∠ B)$。

解：
(1) $\boldsymbol{∠ A + ∠ D = ∠ B + ∠ C}$
(2) ① 已知$∠ D=40°$，$∠ B=36°$，
由(1)的“8字型”结论得：
$∠ DAB + ∠ D = ∠ B + ∠ BCD$，
代入角度得$∠ DAB + 40° = 36° + ∠ BCD$，
整理得$∠ BCD - ∠ DAB = 4°$。
因为AP平分$∠ DAB$，CP平分$∠ BCD$，
所以$∠ DAB = 2∠ DAP$，$∠ BCD = 2∠ DCP$，
代入得$2∠ DCP - 2∠ DAP = 4°$，
即$∠ DCP - ∠ DAP = 2°$。
在DC与AP相交形成的“8字型”中，可得：
$∠ D + ∠ DAP = ∠ P + ∠ DCP$，
变形得$∠ P = ∠ D - (∠ DCP - ∠ DAP) = 40° - 2° = 38°$。
② 等量关系为$\boldsymbol{∠ P = \frac{1}{2}(∠ D + ∠ B)}$，理由如下：
由(1)的结论得$∠ DAB + ∠ D = ∠ B + ∠ BCD$，
整理得$∠ BCD - ∠ DAB = ∠ D - ∠ B$。
因为AP平分$∠ DAB$，CP平分$∠ BCD$，
所以$∠ DAB = 2∠ DAP$，$∠ BCD = 2∠ DCP$，
代入得$2∠ DCP - 2∠ DAP = ∠ D - ∠ B$，
即$∠ DCP - ∠ DAP = \frac{1}{2}(∠ D - ∠ B)$。
在DC与AP相交形成的“8字型”中，可得：
$∠ D + ∠ DAP = ∠ P + ∠ DCP$，
变形代入得：
$∠ P = ∠ D - (∠ DCP - ∠ DAP) = ∠ D - \frac{1}{2}(∠ D - ∠ B) = \frac{1}{2}(∠ D + ∠ B)$，
即$∠ P = \frac{1}{2}(∠ D + ∠ B)$。