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1. 如图，AB，AC是$\odot O$的两条切线，B，C是切点。若$∠ A = 70°$，则$∠ BOC$的度数为 （
A.$130°$
B.$120°$
C.$110°$
D.$100°$
C
）A.$130°$
B.$120°$
C.$110°$
D.$100°$
答案
1. C
解析
【分析】
已知AB、AC是圆的切线，首先根据切线的性质可得过切点的半径与切线垂直，即∠ABO和∠ACO均为90°；再利用四边形内角和为360°，将已知角度代入计算即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点
∴OB⊥AB，OC⊥AC，即∠OBA=∠OCA=90°
∵四边形ABOC的内角和为360°
∴∠OBA+∠OCA+∠A+∠BOC=360°
将∠A=70°，∠OBA=∠OCA=90°代入上式：
90°+90°+70°+∠BOC=360°
解得∠BOC=360°-90°-90°-70°=110°
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查切线性质的应用，解题的关键是牢记切线垂直于过切点的半径这一性质，结合四边形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
已知AB、AC是圆的切线，首先根据切线的性质可得过切点的半径与切线垂直，即∠ABO和∠ACO均为90°；再利用四边形内角和为360°，将已知角度代入计算即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点
∴OB⊥AB，OC⊥AC，即∠OBA=∠OCA=90°
∵四边形ABOC的内角和为360°
∴∠OBA+∠OCA+∠A+∠BOC=360°
将∠A=70°，∠OBA=∠OCA=90°代入上式：
90°+90°+70°+∠BOC=360°
解得∠BOC=360°-90°-90°-70°=110°
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，四边形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查切线性质的应用，解题的关键是牢记切线垂直于过切点的半径这一性质，结合四边形内角和即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AB是$\odot O$的直径，AC是$\odot O$的切线，A为切点，连结BC交$\odot O$于点D，连结AD。若$∠ ABC=45°$，则下列结论中正确的是（
A.$AD=\frac{1}{2}BC$
B.$AD=\frac{1}{2}AC$
C.$AC＞AB$
D.$AD＞DC$
A
）A.$AD=\frac{1}{2}BC$
B.$AD=\frac{1}{2}AC$
C.$AC＞AB$
D.$AD＞DC$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先利用切线的性质得到∠BAC=90°，结合∠ABC=45°判断出△ABC是等腰直角三角形，再根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，最后结合等腰直角三角形三线合一的性质，分析各边的数量关系，逐一判断选项即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知：圆的切线垂直于过切点的半径，
∵AC是⊙O的切线，A为切点，AB是直径，
∴∠BAC=90°。
2. 已知∠ABC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，可得AB=AC，故选项C错误。
3. 由圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
4. 等腰直角三角形斜边上的高与中线、角平分线重合（三线合一），
∴D是BC的中点，AD是Rt△ABC斜边BC的中线，
∴$AD=BD=DC=\frac{1}{2}BC$，故选项A正确；
由$AD=\frac{1}{2}BC$，$AC=AB$，$BC=\sqrt{2}AC$，可得$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$，故选项B错误；
已证$AD=DC$，故选项D错误。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，解题的突破口是先判定△ABC为等腰直角三角形，再结合圆的性质得到AD是斜边BC的中线，进而推导边的关系，解题时需要熟练掌握各基础定理的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用切线的性质得到∠BAC=90°，结合∠ABC=45°判断出△ABC是等腰直角三角形，再根据直径所对的圆周角是直角得到AD⊥BC，最后结合等腰直角三角形三线合一的性质，分析各边的数量关系，逐一判断选项即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知：圆的切线垂直于过切点的半径，
∵AC是⊙O的切线，A为切点，AB是直径，
∴∠BAC=90°。
2. 已知∠ABC=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，可得AB=AC，故选项C错误。
3. 由圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。
4. 等腰直角三角形斜边上的高与中线、角平分线重合（三线合一），
∴D是BC的中点，AD是Rt△ABC斜边BC的中线，
∴$AD=BD=DC=\frac{1}{2}BC$，故选项A正确；
由$AD=\frac{1}{2}BC$，$AC=AB$，$BC=\sqrt{2}AC$，可得$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$，故选项B错误；
已证$AD=DC$，故选项D错误。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，解题的突破口是先判定△ABC为等腰直角三角形，再结合圆的性质得到AD是斜边BC的中线，进而推导边的关系，解题时需要熟练掌握各基础定理的应用。
【难度系数】
0.7
3.如图，AC切$\odot O$于点A，$∠ BAC = 35°$，则$∠ AOB =$
70
度。答案
3. 70
解析
【分析】
解题的关键是先利用切线的性质得到OA与AC垂直，得出∠OAC为90度，结合已知的∠BAC的度数求出∠OAB的度数；再根据同圆的半径相等得到OA=OB，可知△OAB是等腰三角形，两底角相等，最后利用三角形内角和即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵AC切$\odot O$于点A，
∴$OA ⊥ AC$，即$∠ OAC = 90°$，
∵$∠ BAC = 35°$，
∴$∠ OAB = ∠ OAC - ∠ BAC = 90° - 35° = 55°$，
又
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA = OB$，
∴$∠ OAB = ∠ OBA = 55°$，
在$△ OAB$中，根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ OBA = 180° - 55° - 55° = 70°$。
【答案】
70
【知识点】
切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的切线性质的应用，结合等腰三角形性质和三角形内角和即可求解，熟练掌握切线垂直于过切点的半径是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题的关键是先利用切线的性质得到OA与AC垂直，得出∠OAC为90度，结合已知的∠BAC的度数求出∠OAB的度数；再根据同圆的半径相等得到OA=OB，可知△OAB是等腰三角形，两底角相等，最后利用三角形内角和即可求出∠AOB的度数。
【解析】
解：
∵AC切$\odot O$于点A，
∴$OA ⊥ AC$，即$∠ OAC = 90°$，
∵$∠ BAC = 35°$，
∴$∠ OAB = ∠ OAC - ∠ BAC = 90° - 35° = 55°$，
又
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA = OB$，
∴$∠ OAB = ∠ OBA = 55°$，
在$△ OAB$中，根据三角形内角和为$180°$，
∴$∠ AOB = 180° - ∠ OAB - ∠ OBA = 180° - 55° - 55° = 70°$。
【答案】
70
【知识点】
切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆的切线性质的应用，结合等腰三角形性质和三角形内角和即可求解，熟练掌握切线垂直于过切点的半径是解题的核心。
【难度系数】
0.8
4.如图，PB切$\odot O$于点B，PO交$\odot O$于点A。若$OA=PA=2$，则PB的长为
$2\sqrt{3}$
。答案
4. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
遇到切线相关的计算问题，首先想到切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们可以连接OB构造直角三角形OBP；其次明确圆的半径处处相等，可得OB=OA=2，再结合已知条件算出斜边OP的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出PB的长度。
【解析】
解：连接OB，
∵PB切$\odot O$于点B，OB是$\odot O$的半径，
∴OB⊥PB，即$△ OBP$是直角三角形。
∵OA是$\odot O$的半径，$OA=2$，
∴$OB=OA=2$，
又
∵$PA=2$，
∴$OP=OA+PA=2+2=4$，
在$\mathrm{Rt}△ OBP$中，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{OP^2 - OB^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是切线性质的基础应用题型，解题的关键是通过连接圆心和切点构造直角三角形，将所求线段转化到直角三角形中结合勾股定理计算，方法比较固定，难度较低。
【难度系数】
0.7
遇到切线相关的计算问题，首先想到切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此我们可以连接OB构造直角三角形OBP；其次明确圆的半径处处相等，可得OB=OA=2，再结合已知条件算出斜边OP的长度，最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出PB的长度。
【解析】
解：连接OB，
∵PB切$\odot O$于点B，OB是$\odot O$的半径，
∴OB⊥PB，即$△ OBP$是直角三角形。
∵OA是$\odot O$的半径，$OA=2$，
∴$OB=OA=2$，
又
∵$PA=2$，
∴$OP=OA+PA=2+2=4$，
在$\mathrm{Rt}△ OBP$中，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{OP^2 - OB^2}=\sqrt{4^2 - 2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是切线性质的基础应用题型，解题的关键是通过连接圆心和切点构造直角三角形，将所求线段转化到直角三角形中结合勾股定理计算，方法比较固定，难度较低。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D。求证：AC平分$∠ DAB$。
答案
5. 提示:连结BC,由$∠ ACB=∠ ADC=90°,∠ ACD=∠ B$可证
解析
【分析】
要证明AC平分∠DAB，即需证明∠DAC=∠BAC。已知AD⊥CD，AB是圆的直径，可联想直径所对的圆周角为直角，构造两个直角三角形；再结合切线的弦切角性质得到一组等角，最后利用等角的余角相等即可证明两个角相等，完成角平分线的证明。解题时先连接辅助线BC，再分别推导两个直角三角形中的锐角互余关系，结合弦切角定理得到角相等，最终推导∠DAC=∠BAC即可。
【解析】
证明：连接BC
∵ AB是$\odot O$的直径
∴ $∠ ACB=90°$，即$∠ BAC + ∠ B = 90°$
∵ CD是$\odot O$的切线，C为切点
根据弦切角定理，得$∠ ACD = ∠ B$
又
∵ AD⊥CD，即$∠ ADC=90°$
∴ $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$（等角的余角相等）
∴ AC平分$∠ DAB$
【答案】
AC平分$∠ DAB$，得证。
【知识点】
直径所对圆周角为直角，弦切角定理，余角的性质
【点评】
本题是圆相关的基础证明题，核心考察圆的基本性质与切线性质的综合应用，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，结合角的等量关系推导结论，属于圆章节的典型常规题型。
【难度系数】
0.8
要证明AC平分∠DAB，即需证明∠DAC=∠BAC。已知AD⊥CD，AB是圆的直径，可联想直径所对的圆周角为直角，构造两个直角三角形；再结合切线的弦切角性质得到一组等角，最后利用等角的余角相等即可证明两个角相等，完成角平分线的证明。解题时先连接辅助线BC，再分别推导两个直角三角形中的锐角互余关系，结合弦切角定理得到角相等，最终推导∠DAC=∠BAC即可。
【解析】
证明：连接BC
∵ AB是$\odot O$的直径
∴ $∠ ACB=90°$，即$∠ BAC + ∠ B = 90°$
∵ CD是$\odot O$的切线，C为切点
根据弦切角定理，得$∠ ACD = ∠ B$
又
∵ AD⊥CD，即$∠ ADC=90°$
∴ $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$
∴ $∠ DAC = ∠ BAC$（等角的余角相等）
∴ AC平分$∠ DAB$
【答案】
AC平分$∠ DAB$，得证。
【知识点】
直径所对圆周角为直角，弦切角定理，余角的性质
【点评】
本题是圆相关的基础证明题，核心考察圆的基本性质与切线性质的综合应用，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，结合角的等量关系推导结论，属于圆章节的典型常规题型。
【难度系数】
0.8
6.如图,已知点A,B在$\odot O$上,$∠ AOB=72°$,直线MN与$\odot O$相切,切点为C,且C为$\overset{\frown}{AB}$的中点,则$∠ ACM$的度数为（
A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
（第6题）
A
）A.$18°$
B.$30°$
C.$36°$
D.$72°$
（第6题）答案
6. A
解析
【分析】
解题时先从切线的性质入手，得到过切点的半径与切线垂直，再结合弧中点的性质求出对应圆心角的度数，接着利用等腰三角形内角和性质求出底角的度数，最后通过角度的差计算出所求角的度数即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知：直线MN与$\odot O$相切于点C，因此$OC⊥ MN$，可得$∠ OCM=90°$。
2. 已知C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据等弧对应的圆心角相等，可得$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$，代入$∠ AOB=72°$，计算得$∠ AOC=36°$。
3. 因为OA、OC都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形，根据等腰三角形内角和性质，$∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
4. 因此$∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将切线性质、弧与圆心角的对应关系、等腰三角形角度计算结合考查，解题的关键是准确找到各个角度之间的数量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时先从切线的性质入手，得到过切点的半径与切线垂直，再结合弧中点的性质求出对应圆心角的度数，接着利用等腰三角形内角和性质求出底角的度数，最后通过角度的差计算出所求角的度数即可。
【解析】
1. 由切线的性质可知：直线MN与$\odot O$相切于点C，因此$OC⊥ MN$，可得$∠ OCM=90°$。
2. 已知C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据等弧对应的圆心角相等，可得$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB$，代入$∠ AOB=72°$，计算得$∠ AOC=36°$。
3. 因为OA、OC都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC$，$△ AOC$为等腰三角形，根据等腰三角形内角和性质，$∠ OCA=\frac{180°-∠ AOC}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°$。
4. 因此$∠ ACM=∠ OCM-∠ OCA=90°-72°=18°$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质；圆心角与弧的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，将切线性质、弧与圆心角的对应关系、等腰三角形角度计算结合考查，解题的关键是准确找到各个角度之间的数量关系，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
