解下列方程：
(1) $\frac{x + 1}{2} - 1 = 2 + \frac{2 - x}{4}$；
(2) $3x + \frac{x - 1}{2} = 3 - \frac{2x - 1}{3}$。
变式: $\frac{2x + 3}{5} - \frac{3x - 2}{10} = 1$。

解：
(1) 去分母，两边同乘4，得
$2(x+1) - 4 = 8 + (2 - x)$
去括号，得
$2x + 2 - 4 = 8 + 2 - x$
移项，得
$2x + x = 8 + 2 - 2 + 4$
合并同类项，得
$3x = 12$
系数化为1，得
$x = 4$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)$
去括号，得
$18x + 3x - 3 = 18 - 4x + 2$
移项，得
$18x + 3x + 4x = 18 + 2 + 3$
合并同类项，得
$25x = 23$
系数化为1，得
$x = \frac{23}{25}$
变式：
去分母，两边同乘10，得
$2(2x + 3) - (3x - 2) = 10$
去括号，得
$4x + 6 - 3x + 2 = 10$
移项，得
$4x - 3x = 10 - 6 - 2$
合并同类项，得
$x = 2$

【分析】
解这类含分母的一元一次方程，可按照标准步骤逐步求解：首先找到所有分母的最小公倍数，依据等式的性质2，方程两边同时乘这个最小公倍数去掉分母，注意所有项（包括常数项）都要乘，不能漏乘；之后按照去括号法则去括号，若括号前是负号，括号内每一项都要变号；再将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要记得变号；最后合并同类项，把未知数的系数化为1即可得到解。
【解析】
(1) 去分母，两边同乘4，得
$2(x+1) - 4 = 8 + (2 - x)$
去括号，得
$2x + 2 - 4 = 8 + 2 - x$
移项，得
$2x + x = 8 + 2 - 2 + 4$
合并同类项，得
$3x = 12$
系数化为1，得
$x = 4$
(2) 去分母，两边同乘6，得
$18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)$
去括号，得
$18x + 3x - 3 = 18 - 4x + 2$
移项，得
$18x + 3x + 4x = 18 + 2 + 3$
合并同类项，得
$25x = 23$
系数化为1，得
$x = \frac{23}{25}$
变式：
去分母，两边同乘10，得
$2(2x + 3) - (3x - 2) = 10$
去括号，得
$4x + 6 - 3x + 2 = 10$
移项，得
$4x - 3x = 10 - 6 - 2$
合并同类项，得
$x = 2$
【答案】
(1) $x=4$；(2) $x=\frac{23}{25}$；变式：$x=2$
【知识点】
解一元一次方程，等式的性质，去括号法则
【点评】
这是解含分母一元一次方程的基础题型，解题步骤固定，易错点为去分母时常数项漏乘公倍数、去括号或移项时符号出错，熟练掌握解题步骤和注意事项即可准确求解。
【难度系数】
0.7

1. 解方程$\frac{x}{2} - 1 = \frac{x - 1}{3}$时，去分母正确的是()

A.$3x - 1 = 2x - 2$
B.$3x - 6 = 2x - 2$
C.$3x - 6 = 2x - 1$
D.$3x - 3 = 2x - 1$

1.B

【分析】
解这道题的核心是掌握一元一次方程去分母的方法，依据是等式的性质2：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立。首先要找到方程中所有分母的最小公倍数，本题分母是2和3，最小公倍数是6；其次要注意去分母时，等式两边的每一项都要乘这个最小公倍数，不能漏乘没有分母的项（比如本题中的常数项-1）；另外，如果分子是多项式，去分母时要把分子作为整体加上括号，避免出现运算错误。
【解析】
方程$\frac{x}{2} - 1 = \frac{x - 1}{3}$中，分母2和3的最小公倍数是6。
根据等式的性质2，等式两边同时乘6，得：
$6×\frac{x}{2} - 6×1 = 6×\frac{x - 1}{3}$
分别计算各项：
左边第一项$6×\frac{x}{2}=3x$，左边第二项$6×1=6$，因此左边化简为$3x - 6$；
右边$6×\frac{x - 1}{3}=2(x - 1)=2x - 2$；
最终去分母后的结果为$3x - 6 = 2x - 2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
解一元一次方程去分母；等式的基本性质
【点评】
本题是解一元一次方程中去分母步骤的基础考查，易错点有两个：一是漏乘不含分母的常数项，二是去分母时未将多项式分子整体乘公因数导致运算错误，熟练掌握去分母的规则即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

2. 方程$\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}m = 5 - \frac{1}{6}m$的解是()

A.$m=5$
B.$m=10$
C.$m=15$
D.$m=30$

2.A

【分析】
这是求解一元一次方程的基础题，解题思路为：先找到各分母的最小公倍数，通过去分母将分数系数方程转化为整数系数方程，再依次通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出方程的解，匹配对应选项即可。注意去分母时方程两边每一项都要乘最小公倍数，不能漏乘不含分母的常数项。
【解析】
解：原方程为$\frac{1}{2}m + \frac{1}{3}m = 5 - \frac{1}{6}m$
1. 去分母：方程两边同时乘分母的最小公倍数6，得：
$6×\frac{1}{2}m + 6×\frac{1}{3}m = 6×5 - 6×\frac{1}{6}m$
化简得：$3m + 2m = 30 - m$
2. 移项：将含未知数的项移到方程左边，移项要变号，得：
$3m + 2m + m = 30$
3. 合并同类项：
$6m = 30$
4. 系数化为1：两边同时除以6，得：
$m = 5$
因此方程的解为$m=5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
解一元一次方程，等式的性质，移项合并同类项
【点评】
本题考察一元一次方程的基本求解步骤，属于基础常规题型，解题时注意规避去分母漏乘常数项、移项未变号的常见错误即可得分。
【难度系数】
0.85

3. 下面的方程变形中：
①$2x + 6 = -3$变形为$2x = -3 + 6$；
②$\frac{x + 3}{3} + \frac{x + 1}{2} = 1$变形为$2x + 6 - 3x + 3 = 6$；
③$\frac{2}{5}x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}$变形为$6x - 10x = 5$；
④$\frac{3}{5}x = 2(x - 1) + 1$变形为$3x = 10(x - 1) + 1$。
正确的是（填序号）。

3. ③

【分析】
本题考查一元一次方程变形的相关规则，解题时需依据移项法则、去分母法则（等式的基本性质）逐一判断每个变形是否正确：①移项时要注意改变符号；②去分母时方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项，若分子是多项式，要先给分子整体加括号再计算，避免符号错误。
【解析】
我们逐个分析4个变形：
① $2x + 6 = -3$移项时，$+6$移到等号右边需变号为$-6$，正确变形应为$2x=-3-6$，原题变形错误；
② $\frac{x + 3}{3} + \frac{x + 1}{2} = 1$去分母，两边同乘6得$2(x+3)+3(x+1)=6$，展开为$2x+6+3x+3=6$，原题中出现减号，符号错误，变形错误；
③ $\frac{2}{5}x - \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}$去分母，两边同乘15得$6x-10x=5$，变形正确；
④ $\frac{3}{5}x = 2(x - 1) + 1$去分母，两边同乘5时，右边的常数项1也要乘5，正确变形为$3x=10(x-1)+5$，原题漏乘1，变形错误。
综上，只有③的变形正确。
【答案】
③
【知识点】
移项法则，去分母法则，等式的性质
【点评】
本题是一元一次方程变形的常规题型，易错点集中在移项忘变号、去分母时漏乘常数项、分子为多项式时漏加括号导致符号错误，解题时需逐一核对规则，规避常见错误。
【难度系数】
0.7

4. 解下列方程：
(1) $3x + 8 = \dfrac{x - 4}{2}$；
(2) $\dfrac{1 - x}{3} - \dfrac{x + 2}{5} = 3$。

(1) $x = -4$
(2) $x = -\dfrac{23}{4}$

【分析】
这两道都是含分母的一元一次方程，解题遵循解一元一次方程的常规步骤：①去分母：方程两边同时乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；②去括号：注意括号前的符号，括号前是负号时括号内各项要变号；③移项：把含未知数的项移到左边，常数项移到右边，移项要变号；④合并同类项；⑤系数化为1得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程 $3x + 8 = \dfrac{x - 4}{2}$
去分母，两边同时乘2，得：
$2(3x+8) = x - 4$
去括号，得：
$6x + 16 = x - 4$
移项，得：
$6x - x = -4 - 16$
合并同类项，得：
$5x = -20$
系数化为1，得：
$x = -4$
(2) 解方程 $\dfrac{1 - x}{3} - \dfrac{x + 2}{5} = 3$
去分母，两边同时乘15（3和5的最小公倍数为15），得：
$5(1 - x) - 3(x + 2) = 3×15$
去括号，得：
$5 - 5x - 3x - 6 = 45$
合并同类项，得：
$-8x - 1 = 45$
移项，得：
$-8x = 45 + 1$
计算得：
$-8x = 46$
系数化为1，得：
$x = -\dfrac{23}{4}$
【答案】
(1) $x = -4$；(2) $x = -\dfrac{23}{4}$
【知识点】
解一元一次方程，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查去分母、去括号的注意事项，去分母时不要漏乘常数项，去括号时要注意符号变化，熟练掌握这些要点是正确解方程的关键。
【难度系数】
0.75