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三、解答题
7. 如图所示，已知线段$ a $，$ c $和$ ∠β $，利用直尺和圆规作三角形$ ABC $，使得$ BC=a $，$ AB=c $，$ ∠ ABC=∠β $.（不写作法，保留作图痕迹）
7. 如图所示，已知线段$ a $，$ c $和$ ∠β $，利用直尺和圆规作三角形$ ABC $，使得$ BC=a $，$ AB=c $，$ ∠ ABC=∠β $.（不写作法，保留作图痕迹）
答案
解：
所作保留完整尺规作图痕迹的△ABC即为所求，该三角形满足$BC=a$，$AB=c$，$∠ ABC=∠ β$，作图痕迹包含作等角对应的圆弧、截取等长线段对应的圆弧，连接AC后得到的三角形符合全部要求。
（注：实际作图呈现效果：先确定顶点B，作出与已知$∠β$相等的角$∠ ABC$，在角的两条边上分别截取长度为a的线段BC、长度为c的线段AB，连接A、C两点，所有作图辅助弧痕全部保留。）
所作保留完整尺规作图痕迹的△ABC即为所求，该三角形满足$BC=a$，$AB=c$，$∠ ABC=∠ β$，作图痕迹包含作等角对应的圆弧、截取等长线段对应的圆弧，连接AC后得到的三角形符合全部要求。
（注：实际作图呈现效果：先确定顶点B，作出与已知$∠β$相等的角$∠ ABC$，在角的两条边上分别截取长度为a的线段BC、长度为c的线段AB，连接A、C两点，所有作图辅助弧痕全部保留。）
解析
【分析】
本题是已知两边及其夹角作三角形的尺规作图题，解题思路可按以下逻辑梳理：首先明确已知条件是两边BC=a、AB=c，以及两边的夹角∠ABC=β，符合全等三角形判定中的SAS条件，可唯一确定三角形。作图时先确定顶点B，第一步先作出与∠β相等的角确定两边的位置，再分别在角的两条边上截取对应长度的线段，最后连接两个端点即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤（题目要求不写作法仅保留痕迹，此处为理解说明）：
1. 任意取一点作为顶点B，作∠MBN=∠β；
2. 在射线BM上截取线段BC，使得BC=a；
3. 在射线BN上截取线段BA，使得BA=c；
4. 连接AC，所得△ABC即为所求，作图过程中所有辅助圆弧痕迹需全部保留。
【答案】
所作保留完整尺规作图痕迹的△ABC即为所求，该三角形满足$BC=a$，$AB=c$，$∠ ABC=∠ β$，作图痕迹包含作等角对应的圆弧、截取等长线段对应的圆弧，连接AC后得到的三角形符合全部要求。
（注：实际作图呈现效果：先确定顶点B，作出与已知$∠β$相等的角$∠ ABC$，在角的两条边上分别截取长度为a的线段BC、长度为c的线段AB，连接A、C两点，所有作图辅助弧痕全部保留。）
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 尺规作等线段
3. SAS作三角形
【点评】
本题是基础尺规作图应用题，核心考查对基本作图方法的掌握和运用，需要熟练掌握作一个角等于已知角、作线段等于已知线段的操作，作图时要注意保留全部作图辅助痕迹，避免遗漏关键作图步骤的标识。
【难度系数】
0.8
本题是已知两边及其夹角作三角形的尺规作图题，解题思路可按以下逻辑梳理：首先明确已知条件是两边BC=a、AB=c，以及两边的夹角∠ABC=β，符合全等三角形判定中的SAS条件，可唯一确定三角形。作图时先确定顶点B，第一步先作出与∠β相等的角确定两边的位置，再分别在角的两条边上截取对应长度的线段，最后连接两个端点即可得到所求三角形。
【解析】
作图步骤（题目要求不写作法仅保留痕迹，此处为理解说明）：
1. 任意取一点作为顶点B，作∠MBN=∠β；
2. 在射线BM上截取线段BC，使得BC=a；
3. 在射线BN上截取线段BA，使得BA=c；
4. 连接AC，所得△ABC即为所求，作图过程中所有辅助圆弧痕迹需全部保留。
【答案】
所作保留完整尺规作图痕迹的△ABC即为所求，该三角形满足$BC=a$，$AB=c$，$∠ ABC=∠ β$，作图痕迹包含作等角对应的圆弧、截取等长线段对应的圆弧，连接AC后得到的三角形符合全部要求。
（注：实际作图呈现效果：先确定顶点B，作出与已知$∠β$相等的角$∠ ABC$，在角的两条边上分别截取长度为a的线段BC、长度为c的线段AB，连接A、C两点，所有作图辅助弧痕全部保留。）
【知识点】
1. 尺规作等角
2. 尺规作等线段
3. SAS作三角形
【点评】
本题是基础尺规作图应用题，核心考查对基本作图方法的掌握和运用，需要熟练掌握作一个角等于已知角、作线段等于已知线段的操作，作图时要注意保留全部作图辅助痕迹，避免遗漏关键作图步骤的标识。
【难度系数】
0.8
8. 如图所示，$∠ AOB$为直角，$∠ AOC$为锐角，且$OM$平分$∠ BOC$，$ON$平分$∠ AOC$。
（1）如果$∠ AOC=50°$，求$∠ MON$的度数；
（2）如果$∠ AOC$为任意一个锐角，能求出$∠ MON$的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由。
（1）如果$∠ AOC=50°$，求$∠ MON$的度数；
（2）如果$∠ AOC$为任意一个锐角，能求出$∠ MON$的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由。
答案
(1) $45°$ (2) 能，$45°$
解析
【分析】
解决本题的核心是利用角平分线的定义得到相等的角，再通过角的和差关系计算目标角。
对于（1），先结合直角∠AOB=90°和已知∠AOC的度数求出∠BOC的度数，再根据角平分线的性质分别求出∠MOC、∠NOC的度数，二者作差就是∠MON的度数。
对于（2），将∠AOC设为任意锐角α，按照（1）的逻辑用含α的代数式表示∠MOC和∠NOC，计算二者的差，若代数式中α抵消，说明∠MON为定值，否则不能求出。
【解析】
（1）解：$\because ∠ AOB$是直角，$\therefore ∠ AOB=90°$
已知$∠ AOC=50°$，$\therefore ∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=90°+50°=140°$
$\because OM$平分$∠ BOC$，$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$
$\because ON$平分$∠ AOC$，$\therefore ∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$
$\therefore ∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=70°-25°=45°$
（2）解：能求出$∠ MON$的度数，推导如下：
设$∠ AOC=α$（$α$为锐角），则$∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=90°+α$
$\because OM$平分$∠ BOC$，$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(90°+α)$
$\because ON$平分$∠ AOC$，$\therefore ∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α$
$\therefore ∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\frac{1}{2}(90°+α)-\frac{1}{2}α=45°+\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}α=45°$
即$∠ MON$的度数为定值$45°$，和锐角$∠ AOC$的大小无关。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$ (2) 能，$\boxed{45°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，直角的性质
【点评】
本题从特殊角度到一般角度进行推导，考查角平分线的性质和角的运算能力，解题时注意观察角之间的位置关系，通过代数化简即可得到定值结论，有助于培养逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是利用角平分线的定义得到相等的角，再通过角的和差关系计算目标角。
对于（1），先结合直角∠AOB=90°和已知∠AOC的度数求出∠BOC的度数，再根据角平分线的性质分别求出∠MOC、∠NOC的度数，二者作差就是∠MON的度数。
对于（2），将∠AOC设为任意锐角α，按照（1）的逻辑用含α的代数式表示∠MOC和∠NOC，计算二者的差，若代数式中α抵消，说明∠MON为定值，否则不能求出。
【解析】
（1）解：$\because ∠ AOB$是直角，$\therefore ∠ AOB=90°$
已知$∠ AOC=50°$，$\therefore ∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=90°+50°=140°$
$\because OM$平分$∠ BOC$，$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$
$\because ON$平分$∠ AOC$，$\therefore ∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×50°=25°$
$\therefore ∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=70°-25°=45°$
（2）解：能求出$∠ MON$的度数，推导如下：
设$∠ AOC=α$（$α$为锐角），则$∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=90°+α$
$\because OM$平分$∠ BOC$，$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}(90°+α)$
$\because ON$平分$∠ AOC$，$\therefore ∠ NOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}α$
$\therefore ∠ MON=∠ MOC-∠ NOC=\frac{1}{2}(90°+α)-\frac{1}{2}α=45°+\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}α=45°$
即$∠ MON$的度数为定值$45°$，和锐角$∠ AOC$的大小无关。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$ (2) 能，$\boxed{45°}$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算，直角的性质
【点评】
本题从特殊角度到一般角度进行推导，考查角平分线的性质和角的运算能力，解题时注意观察角之间的位置关系，通过代数化简即可得到定值结论，有助于培养逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示，射线OP在∠AOB内部，图中共有三个角∠AOP，∠AOB，∠POB，若其中有两个角的度数之比为1：2，则称射线OP为∠AOB的“和谐线”。
（1）∠AOB的角平分线是这个角的“和谐线”吗？请说明理由；
（2）若∠AOB＝120°，射线OP为∠AOB的“和谐线”，求∠AOP的度数。
（1）∠AOB的角平分线是这个角的“和谐线”吗？请说明理由；
（2）若∠AOB＝120°，射线OP为∠AOB的“和谐线”，求∠AOP的度数。
答案
(1) 是;因为一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，所以一个角的角平分线是这个角的“和谐线” (2) $40°$或$60°$或$80°$
解析
【分析】
（1）判断角平分线是否为“和谐线”，先明确“和谐线”的定义：角内部的射线，若对应的三个角中存在两个角度数比为1:2即符合。角平分线将原角分成两个相等的小角，原角是每个小角的2倍，显然满足1:2的比例关系，因此符合定义。
（2）已知∠AOB=120°，OP是和谐线，需分类讨论所有满足两角度数比为1:2的情况：①两个小角中∠POB=2∠AOP；②最大角∠AOB是∠AOP的2倍（即OP为角平分线）；③两个小角中∠AOP=2∠POB，结合角的和差关系分别计算即可，排除不符合实际的比例（小角不可能是最大角的2倍）。
【解析】
（1）∠AOB的角平分线是这个角的“和谐线”，理由如下：
若OP是∠AOB的角平分线，则$∠ AOP=∠ POB=\frac{1}{2}∠ AOB$，即$∠ AOB=2∠ AOP=2∠ POB$，此时存在两个角的度数比为1:2，符合“和谐线”的定义，因此角平分线是这个角的“和谐线”。
（2）已知$∠ AOB=120°$，分三种情况讨论：
① 当$∠ POB=2∠ AOP$时，
$\because ∠ AOP+∠ POB=∠ AOB=120°$
$\therefore ∠ AOP+2∠ AOP=120°$
解得$∠ AOP=40°$
② 当$∠ AOB=2∠ AOP$时，
$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$
③ 当$∠ AOP=2∠ POB$时，
$\because ∠ AOP+∠ POB=120°$
$\therefore 2∠ POB+∠ POB=120°$，解得$∠ POB=40°$
$\therefore ∠ AOP=2×40°=80°$
综上，$∠ AOP$的度数为$40°$或$60°$或$80°$。
【答案】
（1）是，理由见解析；（2）$40°$或$60°$或$80°$
【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，分类讨论
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“和谐线”的定义，第二问需结合图形全面分类讨论，避免漏解，重点考查角度关系分析和运算能力。
【难度系数】
0.6
（1）判断角平分线是否为“和谐线”，先明确“和谐线”的定义：角内部的射线，若对应的三个角中存在两个角度数比为1:2即符合。角平分线将原角分成两个相等的小角，原角是每个小角的2倍，显然满足1:2的比例关系，因此符合定义。
（2）已知∠AOB=120°，OP是和谐线，需分类讨论所有满足两角度数比为1:2的情况：①两个小角中∠POB=2∠AOP；②最大角∠AOB是∠AOP的2倍（即OP为角平分线）；③两个小角中∠AOP=2∠POB，结合角的和差关系分别计算即可，排除不符合实际的比例（小角不可能是最大角的2倍）。
【解析】
（1）∠AOB的角平分线是这个角的“和谐线”，理由如下：
若OP是∠AOB的角平分线，则$∠ AOP=∠ POB=\frac{1}{2}∠ AOB$，即$∠ AOB=2∠ AOP=2∠ POB$，此时存在两个角的度数比为1:2，符合“和谐线”的定义，因此角平分线是这个角的“和谐线”。
（2）已知$∠ AOB=120°$，分三种情况讨论：
① 当$∠ POB=2∠ AOP$时，
$\because ∠ AOP+∠ POB=∠ AOB=120°$
$\therefore ∠ AOP+2∠ AOP=120°$
解得$∠ AOP=40°$
② 当$∠ AOB=2∠ AOP$时，
$∠ AOP=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×120°=60°$
③ 当$∠ AOP=2∠ POB$时，
$\because ∠ AOP+∠ POB=120°$
$\therefore 2∠ POB+∠ POB=120°$，解得$∠ POB=40°$
$\therefore ∠ AOP=2×40°=80°$
综上，$∠ AOP$的度数为$40°$或$60°$或$80°$。
【答案】
（1）是，理由见解析；（2）$40°$或$60°$或$80°$
【知识点】
角平分线定义，角的和差计算，分类讨论
【点评】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“和谐线”的定义，第二问需结合图形全面分类讨论，避免漏解，重点考查角度关系分析和运算能力。
【难度系数】
0.6
