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7.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的八五折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等.该商品每件的进价、定价分别是 （
A.95元、180元
B.155元、200元
C.100元、120元
D.150元、125元
B
）A.95元、180元
B.155元、200元
C.100元、120元
D.150元、125元
答案
7. B
解析
【分析】
首先回忆销售问题的核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量。本题有两个关键条件：①按定价销售每件获利45元，可得出定价和进价的数量关系；②八五折卖8件和定价降35元卖12件的利润相等，这是列方程的等量关系。我们可以先设定价为未知数，用定价表示出进价，再分别表示两种销售方式的总利润，列方程求解即可。
【解析】
解：设该商品每件的定价为$ x $元，则每件的进价为$ (x-45) $元。
根据题意列方程：
$ 8×[0.85x - (x - 45)] = 12×[(x - 35) - (x - 45)] $
先化简方程右边：
$ 12×(x - 35 - x + 45) = 12×10 = 120 $
再化简方程左边：
$ 8×(45 - 0.15x) = 360 - 1.2x $
可得：
$ 360 - 1.2x = 120 $
移项计算得：
$ 1.2x = 240 $
解得$ x = 200 $
则进价为$ 200 - 45 = 155 $元
因此该商品进价155元，定价200元。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类基础应用题，解题关键是熟练掌握售价、进价、利润之间的数量关系，准确抓住题中等量关系列方程求解即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
首先回忆销售问题的核心公式：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售数量。本题有两个关键条件：①按定价销售每件获利45元，可得出定价和进价的数量关系；②八五折卖8件和定价降35元卖12件的利润相等，这是列方程的等量关系。我们可以先设定价为未知数，用定价表示出进价，再分别表示两种销售方式的总利润，列方程求解即可。
【解析】
解：设该商品每件的定价为$ x $元，则每件的进价为$ (x-45) $元。
根据题意列方程：
$ 8×[0.85x - (x - 45)] = 12×[(x - 35) - (x - 45)] $
先化简方程右边：
$ 12×(x - 35 - x + 45) = 12×10 = 120 $
再化简方程左边：
$ 8×(45 - 0.15x) = 360 - 1.2x $
可得：
$ 360 - 1.2x = 120 $
移项计算得：
$ 1.2x = 240 $
解得$ x = 200 $
则进价为$ 200 - 45 = 155 $元
因此该商品进价155元，定价200元。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是典型的销售类基础应用题，解题关键是熟练掌握售价、进价、利润之间的数量关系，准确抓住题中等量关系列方程求解即可，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
8. [教材P134A组复习题第13题改编]有甲、乙两种盐水，取甲种盐水250 g，乙种盐水150 g，可制成浓度为7.5%的盐水；若取甲种盐水100 g，乙种盐水220 g，可制成浓度为8.75%的盐水，则甲种盐水的浓度为
6%
。答案
8. 6%
解析
【分析】
这是一道浓度混合的应用题，解题核心是抓住“混合前后溶质总质量不变”这一等量关系。首先我们明确未知量：甲、乙两种盐水的浓度均未知，因此可以设两个未知数，结合两次不同的混合配制情况列出二元一次方程组，求解即可得到甲种盐水的浓度。具体步骤为：先回忆浓度公式“溶质质量=溶液质量×浓度”，再分别表示出每次混合前甲、乙盐水的溶质质量，以及混合后总溶液的溶质质量，列出等式后解方程组。
【解析】
设甲种盐水的浓度为$x$，乙种盐水的浓度为$y$。
根据第一次混合情况，可列方程：
$250x + 150y = (250 + 150) × 7.5\%$
化简得：$5x + 3y = 0.6$ ①
根据第二次混合情况，可列方程：
$100x + 220y = (100 + 220) × 8.75\%$
化简得：$5x + 11y = 1.4$ ②
用②式减去①式，得：
$8y = 0.8$
解得：$y = 0.1 = 10\%$
将$y=0.1$代入①式：
$5x + 3 × 0.1 = 0.6$
解得：$5x = 0.3$，$x = 0.06 = 6\%$
【答案】
6%
【知识点】
二元一次方程组的应用；浓度问题计算
【点评】
本题是浓度混合类的典型应用题，解题关键是准确抓住混合前后溶质总质量不变的等量关系，结合浓度公式列方程组求解，计算时注意先化简方程再计算可以降低运算量。
【难度系数】
0.7
这是一道浓度混合的应用题，解题核心是抓住“混合前后溶质总质量不变”这一等量关系。首先我们明确未知量：甲、乙两种盐水的浓度均未知，因此可以设两个未知数，结合两次不同的混合配制情况列出二元一次方程组，求解即可得到甲种盐水的浓度。具体步骤为：先回忆浓度公式“溶质质量=溶液质量×浓度”，再分别表示出每次混合前甲、乙盐水的溶质质量，以及混合后总溶液的溶质质量，列出等式后解方程组。
【解析】
设甲种盐水的浓度为$x$，乙种盐水的浓度为$y$。
根据第一次混合情况，可列方程：
$250x + 150y = (250 + 150) × 7.5\%$
化简得：$5x + 3y = 0.6$ ①
根据第二次混合情况，可列方程：
$100x + 220y = (100 + 220) × 8.75\%$
化简得：$5x + 11y = 1.4$ ②
用②式减去①式，得：
$8y = 0.8$
解得：$y = 0.1 = 10\%$
将$y=0.1$代入①式：
$5x + 3 × 0.1 = 0.6$
解得：$5x = 0.3$，$x = 0.06 = 6\%$
【答案】
6%
【知识点】
二元一次方程组的应用；浓度问题计算
【点评】
本题是浓度混合类的典型应用题，解题关键是准确抓住混合前后溶质总质量不变的等量关系，结合浓度公式列方程组求解，计算时注意先化简方程再计算可以降低运算量。
【难度系数】
0.7
9. [2024·合肥瑶海区一模]合肥园博园汇聚了31个国内展园和7个国际展园，展示了中国传统园林和世界各地的园林艺术.自开园以来，受到广大市民和全国游客的热烈欢迎，成为又一打卡地.据统计，某日A入口比B入口入园游客多1.2万人，第二天A入口入园游客增加了10%，B入口入园游客减少了10%，当天A，B入口入园游客总人数增加了3%.试求第二天A，B入口入园的游客人数各是多少万人.
答案
9. 第二天 A,B 入口入园的游客分别是 2.86 万人、1.26 万人.
解析
【分析】
这是一道结合百分率的方程应用问题，解题时先找准两个核心等量关系：①第一天A入口入园人数比B入口多1.2万人；②第二天两个入口总入园人数比第一天总入园人数增加3%。我们可以先设第一天A、B入口的入园人数为未知数，根据等量关系列方程组求解，再结合增减比例换算得到第二天的入园人数即可。
【解析】
设第一天A入口入园游客人数为$x$万人，B入口入园游客人数为$y$万人。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x - y = 1.2 \\(1+10\%)x + (1-10\%)y = (1+3\%)(x + y)\end{cases}$
先化简第二个方程：
$1.1x + 0.9y = 1.03x + 1.03y$
移项合并同类项得：$0.07x = 0.13y$，即$7x = 13y$
将$x = y + 1.2$代入$7x = 13y$得：
$7(y + 1.2) = 13y$
展开计算：$7y + 8.4 = 13y$
解得：$y = 1.4$
则$x = 1.4 + 1.2 = 2.6$
所以第二天A入口入园人数：$1.1x = 1.1×2.6 = 2.86$（万人）
第二天B入口入园人数：$0.9y = 0.9×1.4 = 1.26$（万人）
【答案】
第二天A，B入口入园的游客分别是2.86万人、1.26万人。
【知识点】
二元一次方程组的应用，百分率计算
【点评】
本题结合实际文旅热点命题，贴近生活，解题关键是理清不同时间节点各数量的增减关系，设合适的未知数列式求解，注意最终所求为第二天的人数，不要误将第一天的计算结果作为最终答案。
【难度系数】
0.7
这是一道结合百分率的方程应用问题，解题时先找准两个核心等量关系：①第一天A入口入园人数比B入口多1.2万人；②第二天两个入口总入园人数比第一天总入园人数增加3%。我们可以先设第一天A、B入口的入园人数为未知数，根据等量关系列方程组求解，再结合增减比例换算得到第二天的入园人数即可。
【解析】
设第一天A入口入园游客人数为$x$万人，B入口入园游客人数为$y$万人。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x - y = 1.2 \\(1+10\%)x + (1-10\%)y = (1+3\%)(x + y)\end{cases}$
先化简第二个方程：
$1.1x + 0.9y = 1.03x + 1.03y$
移项合并同类项得：$0.07x = 0.13y$，即$7x = 13y$
将$x = y + 1.2$代入$7x = 13y$得：
$7(y + 1.2) = 13y$
展开计算：$7y + 8.4 = 13y$
解得：$y = 1.4$
则$x = 1.4 + 1.2 = 2.6$
所以第二天A入口入园人数：$1.1x = 1.1×2.6 = 2.86$（万人）
第二天B入口入园人数：$0.9y = 0.9×1.4 = 1.26$（万人）
【答案】
第二天A，B入口入园的游客分别是2.86万人、1.26万人。
【知识点】
二元一次方程组的应用，百分率计算
【点评】
本题结合实际文旅热点命题，贴近生活，解题关键是理清不同时间节点各数量的增减关系，设合适的未知数列式求解，注意最终所求为第二天的人数，不要误将第一天的计算结果作为最终答案。
【难度系数】
0.7
10.[新课标—数学文化题]我国传统数学名著中有这样一道题:假设有5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子.问:每头牛、每只羊分别值多少两银子?
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子.
(2)某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊,且银两要全部用完),请问商人有几种购买方法,列出所有的购买方法.
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子.
(2)某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊,且银两要全部用完),请问商人有几种购买方法,列出所有的购买方法.
答案
10. (1)每头牛值 3 两银子,每只羊值 2 两银子.
(2)商人有以下 3 种购买方法:
①购买 1 头牛,8 只羊;②购买 3 头牛,5 只羊;③购买 5 头牛,2 只羊.
(2)商人有以下 3 种购买方法:
①购买 1 头牛,8 只羊;②购买 3 头牛,5 只羊;③购买 5 头牛,2 只羊.
解析
【分析】
（1）本题有两个未知量，对应两组等量关系：5头牛总价+2只羊总价=19两，2头牛总价+5只羊总价=16两，可设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）已知牛羊单价，总费用为19两，设牛羊购买数量为正整数，列二元一次方程，求该方程的正整数解即可得到所有购买方案，注意需保证牛羊数量均为正整数且银两刚好用完。
【解析】
(1) 设每头牛值$x$两银子，每只羊值$y$两银子，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 2y = 19 \\2x + 5y = 16\end{cases}$
对第一个方程乘5得：$25x + 10y = 95$，第二个方程乘2得：$4x + 10y = 32$，两式相减消去$y$得：$21x = 63$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$5x + 2y =19$，得$15 + 2y =19$，解得$y=2$。
(2) 设购买$a$头牛、$b$只羊，其中$a、b$均为正整数，根据题意得：
$3a + 2b =19$，变形得$b=\frac{19-3a}{2}$。
因为$b$是正整数，所以$19-3a＞0$且$19-3a$为偶数，即$a＜\frac{19}{3}\approx6.3$，且$a$为奇数。
对正奇数$a$逐一验证：
当$a=1$时，$b=\frac{19-3×1}{2}=8$，符合要求；
当$a=3$时，$b=\frac{19-3×3}{2}=5$，符合要求；
当$a=5$时，$b=\frac{19-3×5}{2}=2$，符合要求；
$a≥7$时$3a＞19$，不符合要求。
【答案】
(1)每头牛值3两银子，每只羊值2两银子。
(2)商人有3种购买方法：
①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买5头牛，2只羊。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的整数解；方案设计
【点评】
本题结合传统数学文化命题，既考查了方程组的基础解法，也考查了分类讨论思想在实际方案问题中的应用，能有效提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）本题有两个未知量，对应两组等量关系：5头牛总价+2只羊总价=19两，2头牛总价+5只羊总价=16两，可设两个未知数列二元一次方程组求解。
（2）已知牛羊单价，总费用为19两，设牛羊购买数量为正整数，列二元一次方程，求该方程的正整数解即可得到所有购买方案，注意需保证牛羊数量均为正整数且银两刚好用完。
【解析】
(1) 设每头牛值$x$两银子，每只羊值$y$两银子，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 2y = 19 \\2x + 5y = 16\end{cases}$
对第一个方程乘5得：$25x + 10y = 95$，第二个方程乘2得：$4x + 10y = 32$，两式相减消去$y$得：$21x = 63$，解得$x=3$。
把$x=3$代入$5x + 2y =19$，得$15 + 2y =19$，解得$y=2$。
(2) 设购买$a$头牛、$b$只羊，其中$a、b$均为正整数，根据题意得：
$3a + 2b =19$，变形得$b=\frac{19-3a}{2}$。
因为$b$是正整数，所以$19-3a＞0$且$19-3a$为偶数，即$a＜\frac{19}{3}\approx6.3$，且$a$为奇数。
对正奇数$a$逐一验证：
当$a=1$时，$b=\frac{19-3×1}{2}=8$，符合要求；
当$a=3$时，$b=\frac{19-3×3}{2}=5$，符合要求；
当$a=5$时，$b=\frac{19-3×5}{2}=2$，符合要求；
$a≥7$时$3a＞19$，不符合要求。
【答案】
(1)每头牛值3两银子，每只羊值2两银子。
(2)商人有3种购买方法：
①购买1头牛，8只羊；②购买3头牛，5只羊；③购买5头牛，2只羊。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程的整数解；方案设计
【点评】
本题结合传统数学文化命题，既考查了方程组的基础解法，也考查了分类讨论思想在实际方案问题中的应用，能有效提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
