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任务导学
任务一 理解勾股定理并运用勾股定理求线段长
我们已经知道直角三角形的三个内角之间存在“两个锐角互余”的关系，那么它的三条边之间存在着怎样特殊的数量关系呢？
探究1：画一个两直角边长分别为3 cm和4 cm的直角三角形，测量它的斜边长，并计算三边长的平方。三边长的平方有何关系？
探究2：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两个直角三角形三边长的平方分别是多少？通过计算，填写表格。
思考：(1)你是怎样得到正方形C的面积的？
(2)三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系为
(3)直角三角形的三边长a，b，c之间的数量关系为
新知生成：直角三角形两直角边的平方和等于
任务一 理解勾股定理并运用勾股定理求线段长
我们已经知道直角三角形的三个内角之间存在“两个锐角互余”的关系，那么它的三条边之间存在着怎样特殊的数量关系呢？
探究1：画一个两直角边长分别为3 cm和4 cm的直角三角形，测量它的斜边长，并计算三边长的平方。三边长的平方有何关系？
探究2：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，两个直角三角形三边长的平方分别是多少？通过计算，填写表格。
思考：(1)你是怎样得到正方形C的面积的？
(2)三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系为
A的面积+B的面积=C的面积
。(3)直角三角形的三边长a，b，c之间的数量关系为
a²+b²=c²
。新知生成：直角三角形两直角边的平方和等于
斜边的平方
。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c²
。答案
探究1 解：斜边长为5 cm。3²=9，4²=16，5²=25。两条直角边的平方和等于斜边的平方。
探究2 4 9 13
16 9 25
思考 解：(1)通过分割与拼接的方法，计算正方形C所占的小方格数量，从而得出其面积。
(2)A的面积+B的面积=C的面积
(3)a²+b²=c²
新知生成 斜边的平方 a²+b²=c²
探究2 4 9 13
16 9 25
思考 解：(1)通过分割与拼接的方法，计算正方形C所占的小方格数量，从而得出其面积。
(2)A的面积+B的面积=C的面积
(3)a²+b²=c²
新知生成 斜边的平方 a²+b²=c²
解析
【分析】
本题是勾股定理的入门探究题，解题思路按照探究顺序逐步推进：①探究1通过动手画图、测量、计算边长平方的方式，先从特殊的直角三角形初步感知三边的平方关系；②探究2借助网格计算正方形面积，其中正方形A、B的面积分别对应直角三角形两条直角边的平方，正方形C的面积对应斜边的平方，计算C的面积时用割补法数小方格即可；③通过三个正方形的面积关系，推导得到直角三角形三边的数量关系，最终总结出勾股定理的内容。
【解析】
探究1
画出两直角边长为3cm、4cm的直角三角形后，测量可得斜边长为5cm；计算三边长的平方：$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，观察可得$9+16=25$，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。
探究2
表格第一行依次填4、9、13，第二行依次填16、9、25。
思考
(1) 正方形C是斜放的，可通过分割或拼接的方法，统计正方形C所占的小方格总数，即可得到它的面积。
(2) 计算两组正方形的面积，可发现规律：A的面积+B的面积=C的面积。
(3) 正方形A的面积对应直角边$a$的平方，正方形B的面积对应直角边$b$的平方，正方形C的面积对应斜边$c$的平方，结合面积关系可得三边长的数量关系为$a^2+b^2=c^2$。
新知生成
根据上述探究结论可总结：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，若用$a、b$表示两直角边，$c$表示斜边，对应表达式为$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
探究1：斜边长为5 cm。$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$。两条直角边的平方和等于斜边的平方。
探究2表格：第一行：4、9、13；第二行：16、9、25
思考(1)：通过分割与拼接的方法，计算正方形C所占的小方格数量，从而得出其面积。
(2)A的面积+B的面积=C的面积
(3)$a^2+b^2=c^2$
新知生成：斜边的平方；$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 割补法求网格面积
【点评】
本题以动手操作、网格探究的形式引导学生自主推导勾股定理，遵循从特殊到一般的认知逻辑，既帮助学生直观理解勾股定理的来源，也让学生掌握了用割补法求解不规则网格图形面积的方法。
【难度系数】
0.9
本题是勾股定理的入门探究题，解题思路按照探究顺序逐步推进：①探究1通过动手画图、测量、计算边长平方的方式，先从特殊的直角三角形初步感知三边的平方关系；②探究2借助网格计算正方形面积，其中正方形A、B的面积分别对应直角三角形两条直角边的平方，正方形C的面积对应斜边的平方，计算C的面积时用割补法数小方格即可；③通过三个正方形的面积关系，推导得到直角三角形三边的数量关系，最终总结出勾股定理的内容。
【解析】
探究1
画出两直角边长为3cm、4cm的直角三角形后，测量可得斜边长为5cm；计算三边长的平方：$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$，观察可得$9+16=25$，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。
探究2
表格第一行依次填4、9、13，第二行依次填16、9、25。
思考
(1) 正方形C是斜放的，可通过分割或拼接的方法，统计正方形C所占的小方格总数，即可得到它的面积。
(2) 计算两组正方形的面积，可发现规律：A的面积+B的面积=C的面积。
(3) 正方形A的面积对应直角边$a$的平方，正方形B的面积对应直角边$b$的平方，正方形C的面积对应斜边$c$的平方，结合面积关系可得三边长的数量关系为$a^2+b^2=c^2$。
新知生成
根据上述探究结论可总结：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，若用$a、b$表示两直角边，$c$表示斜边，对应表达式为$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
探究1：斜边长为5 cm。$3^2=9$，$4^2=16$，$5^2=25$。两条直角边的平方和等于斜边的平方。
探究2表格：第一行：4、9、13；第二行：16、9、25
思考(1)：通过分割与拼接的方法，计算正方形C所占的小方格数量，从而得出其面积。
(2)A的面积+B的面积=C的面积
(3)$a^2+b^2=c^2$
新知生成：斜边的平方；$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
1. 勾股定理
2. 割补法求网格面积
【点评】
本题以动手操作、网格探究的形式引导学生自主推导勾股定理，遵循从特殊到一般的认知逻辑，既帮助学生直观理解勾股定理的来源，也让学生掌握了用割补法求解不规则网格图形面积的方法。
【难度系数】
0.9
例1 如图，一根筷子长17 cm，斜放在底面半径为2.5 cm的圆柱形水杯中，露出水杯外面的部分AD的长为4 cm，求水杯的高。
答案
水杯的高为12 cm。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先根据筷子总长度和露出杯外的长度，可计算出杯子内部的筷子长度；其次圆柱形水杯底面半径已知，可求出底面直径，此时水杯的高、底面直径、杯内的筷子恰好构成直角三角形，其中杯内筷子为斜边，最后利用勾股定理即可求出水杯的高。
【解析】
解：首先计算水杯内部的筷子长度：
$AB = 17 - AD = 17 - 4 = 13\ \mathrm{cm}$
圆柱形水杯底面半径为2.5cm，因此底面直径为：
$BC = 2 × 2.5 = 5\ \mathrm{cm}$
由题意可知$△ ABC$为直角三角形，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入数值计算水杯的高$AC$：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm}$
【答案】
水杯的高为12 cm。
【知识点】
勾股定理；直径与半径的关系
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题核心是将实际场景转化为直角三角形模型，准确对应各边的长度即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：首先根据筷子总长度和露出杯外的长度，可计算出杯子内部的筷子长度；其次圆柱形水杯底面半径已知，可求出底面直径，此时水杯的高、底面直径、杯内的筷子恰好构成直角三角形，其中杯内筷子为斜边，最后利用勾股定理即可求出水杯的高。
【解析】
解：首先计算水杯内部的筷子长度：
$AB = 17 - AD = 17 - 4 = 13\ \mathrm{cm}$
圆柱形水杯底面半径为2.5cm，因此底面直径为：
$BC = 2 × 2.5 = 5\ \mathrm{cm}$
由题意可知$△ ABC$为直角三角形，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入数值计算水杯的高$AC$：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm}$
【答案】
水杯的高为12 cm。
【知识点】
勾股定理；直径与半径的关系
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题核心是将实际场景转化为直角三角形模型，准确对应各边的长度即可快速求解。
【难度系数】
0.7
