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9. 新考法若$\frac{□}{a-b} ÷ \frac{3a}{a^2 - b^2}$运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（
A.$ab$
B.$a+b$
C.$a-b$
D.$\frac{1}{a}$
A
）A.$ab$
B.$a+b$
C.$a-b$
D.$\frac{1}{a}$
答案
9.A
解析
【分析】
解决本题首先要运用分式除法运算法则将除法转化为乘法，再利用平方差公式对多项式因式分解，对原式约分得到最简形式，再结合“结果为整式”的要求，判断中的式子需要满足的条件，最后代入选项验证即可。
【解析】
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，先将原式变形：
$\frac{□}{a-b} ÷ \frac{3a}{a^2 - b^2} = \frac{□}{a-b} × \frac{a^2 - b^2}{3a}$
由平方差公式可得$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入上式约分：
$原式=\frac{□}{a-b} × \frac{(a-b)(a+b)}{3a} = \frac{□ · (a+b)}{3a}$
若结果为整式，则化简后分母不含字母，即分子中需含有因式$a$，可抵消分母的$a$：
代入A选项$□=ab$：$\frac{ab(a+b)}{3a}=\frac{b(a+b)}{3}$，是整式，符合要求；
代入B选项$□=a+b$：$\frac{(a+b)^2}{3a}$，分母含字母$a$，是分式，不符合；
代入C选项$□=a-b$：$\frac{(a-b)(a+b)}{3a}=\frac{a^2-b^2}{3a}$，分母含字母$a$，是分式，不符合；
代入D选项$□=\frac{1}{a}$：$\frac{\frac{1}{a} · (a+b)}{3a}=\frac{a+b}{3a^2}$，分母含字母$a$，是分式，不符合。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式、整式的定义
【点评】
本题结合新考法考查分式运算的相关知识，既可以先化简原式推导未知式的特征，也可以直接代入选项逐一验证，解题核心是熟练掌握分式乘除的运算规则和约分方法。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要运用分式除法运算法则将除法转化为乘法，再利用平方差公式对多项式因式分解，对原式约分得到最简形式，再结合“结果为整式”的要求，判断中的式子需要满足的条件，最后代入选项验证即可。
【解析】
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，先将原式变形：
$\frac{□}{a-b} ÷ \frac{3a}{a^2 - b^2} = \frac{□}{a-b} × \frac{a^2 - b^2}{3a}$
由平方差公式可得$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入上式约分：
$原式=\frac{□}{a-b} × \frac{(a-b)(a+b)}{3a} = \frac{□ · (a+b)}{3a}$
若结果为整式，则化简后分母不含字母，即分子中需含有因式$a$，可抵消分母的$a$：
代入A选项$□=ab$：$\frac{ab(a+b)}{3a}=\frac{b(a+b)}{3}$，是整式，符合要求；
代入B选项$□=a+b$：$\frac{(a+b)^2}{3a}$，分母含字母$a$，是分式，不符合；
代入C选项$□=a-b$：$\frac{(a-b)(a+b)}{3a}=\frac{a^2-b^2}{3a}$，分母含字母$a$，是分式，不符合；
代入D选项$□=\frac{1}{a}$：$\frac{\frac{1}{a} · (a+b)}{3a}=\frac{a+b}{3a^2}$，分母含字母$a$，是分式，不符合。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式、整式的定义
【点评】
本题结合新考法考查分式运算的相关知识，既可以先化简原式推导未知式的特征，也可以直接代入选项逐一验证，解题核心是熟练掌握分式乘除的运算规则和约分方法。
【难度系数】
0.7
10. [2026 芜湖期末]如果$\frac{m}{3}=\frac{n}{2}=k≠0$，那么代数式$\frac{3m - n}{4m^2 - n^2} · (2m + n)$的值是
$\frac{7}{4}$
。答案
10.$\frac{7}{4}$
解析
【分析】
解题时先观察代数式的结构，发现分母$4m^2-n^2$符合平方差公式的特征，且后乘的$(2m+n)$是分母的因式，因此优先对代数式进行因式分解、约分化简，再结合已知的比例关系，用同一个参数表示$m$和$n$，代入化简后的式子计算即可，这样能大幅降低计算量，避免出错。
【解析】
第一步：化简代数式
根据平方差公式，$4m^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$，代入原式得：
$\frac{3m - n}{4m^2 - n^2} · (2m + n)=\frac{3m-n}{(2m+n)(2m-n)} × (2m+n)$
由$k≠0$可知，$m=3k≠0$，$n=2k≠0$，因此$2m+n=8k≠0$，可约去公因式$(2m+n)$，化简得：
原式$=\frac{3m-n}{2m-n}$
第二步：结合比例关系代入计算
由$\frac{m}{3}=\frac{n}{2}=k≠0$，可得$m=3k$，$n=2k$，代入化简后的式子：
分子：$3m-n=3×3k - 2k=9k-2k=7k$
分母：$2m-n=2×3k - 2k=6k-2k=4k$
因此原式$=\frac{7k}{4k}$，$k≠0$，约去$k$得$\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式因式分解、比例的性质
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题核心是先化简再求值，通过因式分解约分能有效简化计算过程，掌握分式运算规则和常见的因式分解方法是解这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察代数式的结构，发现分母$4m^2-n^2$符合平方差公式的特征，且后乘的$(2m+n)$是分母的因式，因此优先对代数式进行因式分解、约分化简，再结合已知的比例关系，用同一个参数表示$m$和$n$，代入化简后的式子计算即可，这样能大幅降低计算量，避免出错。
【解析】
第一步：化简代数式
根据平方差公式，$4m^2-n^2=(2m+n)(2m-n)$，代入原式得：
$\frac{3m - n}{4m^2 - n^2} · (2m + n)=\frac{3m-n}{(2m+n)(2m-n)} × (2m+n)$
由$k≠0$可知，$m=3k≠0$，$n=2k≠0$，因此$2m+n=8k≠0$，可约去公因式$(2m+n)$，化简得：
原式$=\frac{3m-n}{2m-n}$
第二步：结合比例关系代入计算
由$\frac{m}{3}=\frac{n}{2}=k≠0$，可得$m=3k$，$n=2k$，代入化简后的式子：
分子：$3m-n=3×3k - 2k=9k-2k=7k$
分母：$2m-n=2×3k - 2k=6k-2k=4k$
因此原式$=\frac{7k}{4k}$，$k≠0$，约去$k$得$\frac{7}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$
【知识点】
分式的乘除运算、平方差公式因式分解、比例的性质
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题核心是先化简再求值，通过因式分解约分能有效简化计算过程，掌握分式运算规则和常见的因式分解方法是解这类题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 中考趋势·开放性问题 如图，这是三名同学在一起讨论一个分式乘法题目的部分对话，请你写出一个符合下列条件的题目：
$(x+2)$
$\frac{1}{x^2-4}$（答案不唯一）
。答案
11.$(x+2) · \frac{1}{x^2-4}$(答案不唯一)
解析
【分析】
我们可以采用逆向思维解题，首先明确题目需要满足三个要求：①运算形式是整式乘分式；②计算过程需要用到平方差公式因式分解；③最终计算结果为$\frac{1}{x-2}$。首先，平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以给结果的分母构造含平方差的形式，比如将$\frac{1}{x-2}$的分母乘$(x+2)$，得到平方差$x^2-4$，此时为了保证运算结果不变，整式部分取$(x+2)$，分式部分取$\frac{1}{x^2-4}$，相乘时约去公因式$(x+2)$即可得到目标结果，同时满足所有条件。
【解析】
首先构造符合平方差公式的因式：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
取整式为$x+2$，分式为$\frac{1}{x^2-4}$，计算验证：
$(x+2)·\frac{1}{x^2-4}=(x+2)·\frac{1}{(x+2)(x-2)}$（此处用平方差公式对$x^2-4$因式分解）
约去公因式$x+2$，得到结果$\frac{1}{x-2}$，完全符合题干要求，本题答案不唯一。
【答案】
$(x+2) · \frac{1}{x^2-4}$（答案不唯一）
【知识点】
分式的乘法；平方差公式；约分
【点评】
本题为开放性试题，需要结合分式乘法运算规则和因式分解的知识逆向推导构造算式，能有效锻炼逆向思维和知识灵活运用的能力。
【难度系数】
0.7
我们可以采用逆向思维解题，首先明确题目需要满足三个要求：①运算形式是整式乘分式；②计算过程需要用到平方差公式因式分解；③最终计算结果为$\frac{1}{x-2}$。首先，平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以给结果的分母构造含平方差的形式，比如将$\frac{1}{x-2}$的分母乘$(x+2)$，得到平方差$x^2-4$，此时为了保证运算结果不变，整式部分取$(x+2)$，分式部分取$\frac{1}{x^2-4}$，相乘时约去公因式$(x+2)$即可得到目标结果，同时满足所有条件。
【解析】
首先构造符合平方差公式的因式：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，
取整式为$x+2$，分式为$\frac{1}{x^2-4}$，计算验证：
$(x+2)·\frac{1}{x^2-4}=(x+2)·\frac{1}{(x+2)(x-2)}$（此处用平方差公式对$x^2-4$因式分解）
约去公因式$x+2$，得到结果$\frac{1}{x-2}$，完全符合题干要求，本题答案不唯一。
【答案】
$(x+2) · \frac{1}{x^2-4}$（答案不唯一）
【知识点】
分式的乘法；平方差公式；约分
【点评】
本题为开放性试题，需要结合分式乘法运算规则和因式分解的知识逆向推导构造算式，能有效锻炼逆向思维和知识灵活运用的能力。
【难度系数】
0.7
12.给定一列分式：$\frac{x}{y}, -\frac{x^3}{2y^2}, \frac{x^5}{4y^3}, -\frac{x^7}{8y^4}, ···$（其中$x≠0,y≠0$），则第$n$个分式是
$\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}$
，这列分式中第$n$个分式除以第$(n-1)$个分式的商是$-\frac{x^2}{2y}$
。答案
12.$\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n};-\frac{x^2}{2y}$
解析
【分析】
要确定第n个分式，可将分式拆分为符号、分子、分母三部分分别探究规律：①符号：观察正负交替出现的规律，用含n的式子表示符号；②分子：观察x的指数的变化规律，推导第n项x的指数；③分母：分别观察数字系数和y的指数的变化规律，再将三部分整合得到第n个分式。求两个相邻分式的商时，直接根据分式除法法则，将除法转化为乘法后约分计算即可。
【解析】
第一步：推导第n个分式
1. 符号规律：第1个分式为正，第2个为负，第3个为正……即奇数项为正、偶数项为负，符号可表示为$(-1)^{n-1}$；
2. 分子规律：x的指数依次为$1,3,5,7···$，是连续奇数，第n项x的指数为$2n-1$，故分子为$x^{2n-1}$；
3. 分母规律：数字系数依次为$1=2^0,2=2^1,4=2^2,8=2^3···$，第n项的系数为$2^{n-1}$；y的指数依次为$1,2,3,4···$，第n项y的指数为$n$，故分母为$2^{n-1}y^n$；
将符号、分子、分母整合：
$(-1)^{n-1}·\frac{x^{2n-1}}{2^{n-1}y^n}=\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}$，即第n个分式为$\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}$。
第二步：计算第n个分式除以第$(n-1)$个分式的商
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，且$n≥2$：
$\begin{aligned}&\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}÷\frac{x^{2(n-1)-1}}{(-2)^{(n-1)-1}y^{n-1}}\\=&\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}×\frac{(-2)^{n-2}y^{n-1}}{x^{2n-3}}\\=&\frac{x^{2n-1}}{x^{2n-3}}×\frac{(-2)^{n-2}}{(-2)^{n-1}}×\frac{y^{n-1}}{y^n}\\=&x^2×\frac{1}{-2}×\frac{1}{y}\\=&-\frac{x^2}{2y}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}$；$-\frac{x^2}{2y}$
【知识点】
1. 分式的除法运算 2. 数字规律探究
【点评】
本题需要分别探究分式各部分的变化规律，再结合分式除法法则计算，解题的关键是掌握符号、指数的规律推导方法，运算时注意不要遗漏符号。
【难度系数】
0.7
要确定第n个分式，可将分式拆分为符号、分子、分母三部分分别探究规律：①符号：观察正负交替出现的规律，用含n的式子表示符号；②分子：观察x的指数的变化规律，推导第n项x的指数；③分母：分别观察数字系数和y的指数的变化规律，再将三部分整合得到第n个分式。求两个相邻分式的商时，直接根据分式除法法则，将除法转化为乘法后约分计算即可。
【解析】
第一步：推导第n个分式
1. 符号规律：第1个分式为正，第2个为负，第3个为正……即奇数项为正、偶数项为负，符号可表示为$(-1)^{n-1}$；
2. 分子规律：x的指数依次为$1,3,5,7···$，是连续奇数，第n项x的指数为$2n-1$，故分子为$x^{2n-1}$；
3. 分母规律：数字系数依次为$1=2^0,2=2^1,4=2^2,8=2^3···$，第n项的系数为$2^{n-1}$；y的指数依次为$1,2,3,4···$，第n项y的指数为$n$，故分母为$2^{n-1}y^n$；
将符号、分子、分母整合：
$(-1)^{n-1}·\frac{x^{2n-1}}{2^{n-1}y^n}=\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}$，即第n个分式为$\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}$。
第二步：计算第n个分式除以第$(n-1)$个分式的商
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘这个分式的倒数，且$n≥2$：
$\begin{aligned}&\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}÷\frac{x^{2(n-1)-1}}{(-2)^{(n-1)-1}y^{n-1}}\\=&\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}×\frac{(-2)^{n-2}y^{n-1}}{x^{2n-3}}\\=&\frac{x^{2n-1}}{x^{2n-3}}×\frac{(-2)^{n-2}}{(-2)^{n-1}}×\frac{y^{n-1}}{y^n}\\=&x^2×\frac{1}{-2}×\frac{1}{y}\\=&-\frac{x^2}{2y}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{x^{2n-1}}{(-2)^{n-1}y^n}$；$-\frac{x^2}{2y}$
【知识点】
1. 分式的除法运算 2. 数字规律探究
【点评】
本题需要分别探究分式各部分的变化规律，再结合分式除法法则计算，解题的关键是掌握符号、指数的规律推导方法，运算时注意不要遗漏符号。
【难度系数】
0.7
13.先化简：$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4} ÷ \frac{x^2 + 2x}{x - 2}$，然后在不等式$x ≤ 2$的非负整数解中选择一个合适的数代入求值.
答案
13.解: 原式$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{x(x+2)} =\frac{1}{x}$. 要使原式有意义，则$x≠0,x≠±2$. 又$∵x≤2$的非负整数解为0,1,2，$∴x$只能取1. 当$x=1$时，原式$=1$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值结合不等式整数解的题目，解题思路清晰：第一步先遵循分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第二步对各分式的分子、分母进行因式分解，约去公因式得到最简结果；第三步确定可代入的x值：首先要保证原分式有意义，即所有分母、除式都不能为0，再从不等式x≤2的非负整数解中筛选出符合条件的取值，最后代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4} ÷ \frac{x^2 + 2x}{x - 2}$
$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{x(x+2)}$（分式除法变乘法，同时对分子分母因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2+2x=x(x+2)$）
约去分子分母的公因式$(x+2)$、$(x-2)$，得化简结果：原式$=\frac{1}{x}$
再确定x的合法取值：
要使原式有意义，需满足所有分母和除式不为0，即$x≠0$，$x≠±2$。
不等式$x≤2$的非负整数解为0、1、2，排除不符合条件的0和2，因此仅能取$x=1$。
将$x=1$代入$\frac{1}{x}$，得原式$=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规考查题型，易错点在于容易忽略分式有意义的限制条件，误选x=0或x=2代入导致错误，解题时要注意因式分解准确，约分过程规范，选值时先验证分式是否有意义。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值结合不等式整数解的题目，解题思路清晰：第一步先遵循分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；第二步对各分式的分子、分母进行因式分解，约去公因式得到最简结果；第三步确定可代入的x值：首先要保证原分式有意义，即所有分母、除式都不能为0，再从不等式x≤2的非负整数解中筛选出符合条件的取值，最后代入最简式计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4} ÷ \frac{x^2 + 2x}{x - 2}$
$=\frac{(x+2)^2}{(x+2)(x-2)} · \frac{x-2}{x(x+2)}$（分式除法变乘法，同时对分子分母因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$x^2+2x=x(x+2)$）
约去分子分母的公因式$(x+2)$、$(x-2)$，得化简结果：原式$=\frac{1}{x}$
再确定x的合法取值：
要使原式有意义，需满足所有分母和除式不为0，即$x≠0$，$x≠±2$。
不等式$x≤2$的非负整数解为0、1、2，排除不符合条件的0和2，因此仅能取$x=1$。
将$x=1$代入$\frac{1}{x}$，得原式$=\frac{1}{1}=1$。
【答案】
1
【知识点】
分式的乘除运算、因式分解、分式有意义的条件
【点评】
本题是分式运算的常规考查题型，易错点在于容易忽略分式有意义的限制条件，误选x=0或x=2代入导致错误，解题时要注意因式分解准确，约分过程规范，选值时先验证分式是否有意义。
【难度系数】
0.7
14. 运算能力 涪陵是“榨菜之乡”，今年榨菜更是喜获丰收.为了选育更好的榨菜品种，农民伯伯们开始自己建试验田.如图，王大伯家的试验田是边长为$a\ \mathrm{m}(a＞1)$的正方形去掉一个边长为$1\ \mathrm{m}$的正方形蓄水池后余下的部分，李大爷家的试验田是边长为$(a-1)\ \mathrm{m}$的正方形，两块试验田的榨菜最后分别收获了$1000\ \mathrm{kg}$.
(1)哪家的榨菜品种单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(1)哪家的榨菜品种单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
答案
14.解: (1)李大爷家的榨菜品种单位面积产量高. (2)$\frac{a+1}{a-1}$倍.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。第一步先计算两家试验田的种植面积：王大伯家试验田面积是边长为a的正方形面积减去边长为1m的蓄水池面积，李大爷家试验田面积是边长为(a-1)m的正方形面积。第二步根据总产量均为1000kg，分别表示出两家的单位面积产量。第一问比较两个单位产量的大小，因分子相同，只需比较分母大小即可判断；第二问用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，利用分式乘除运算法则化简得到倍数。
【解析】
(1) 先计算两家试验田的面积：
王大伯家试验田面积：$S_1 = a^2 - 1^2 = (a+1)(a-1)\ \mathrm{m^2}$，
单位面积产量：$y_1 = \frac{1000}{a^2 - 1}\ \mathrm{kg/m^2}$；
李大爷家试验田面积：$S_2 = (a-1)^2\ \mathrm{m^2}$，
单位面积产量：$y_2 = \frac{1000}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m^2}$。
比较两个分母的大小：
$a^2 - 1 - (a-1)^2 = a^2 -1 - (a^2 -2a +1) = 2a -2 = 2(a-1)$，
已知$a＞1$，所以$2(a-1)＞0$，即$a^2 -1 ＞ (a-1)^2$。
两个分数分子相同均为正数1000，分母越大分数值越小，因此$y_1 ＜ y_2$，即李大爷家的榨菜品种单位面积产量高。
(2) 求高的单位面积产量是低的多少倍，用$y_2 ÷ y_1$计算：
$\begin{aligned}y_2 ÷ y_1 &= \frac{1000}{(a-1)^2} ÷ \frac{1000}{a^2 - 1}\\&= \frac{1000}{(a-1)^2} × \frac{a^2 -1}{1000}\\&= \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}\\&= \frac{a+1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 李大爷家的榨菜品种单位面积产量高；
(2) $\frac{a+1}{a-1}$倍。
【知识点】
分式乘除运算，平方差公式，分式大小比较
【点评】
本题结合实际生活场景命题，既考查了整式面积计算、分式运算的基础知识，也考查了利用数学知识解决实际问题的能力，解题时要注意利用因式分解简化分式运算，结合题目给出的$a＞1$的条件判断式子的正负性。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先明确单位面积产量的计算公式：单位面积产量=总产量÷种植面积。第一步先计算两家试验田的种植面积：王大伯家试验田面积是边长为a的正方形面积减去边长为1m的蓄水池面积，李大爷家试验田面积是边长为(a-1)m的正方形面积。第二步根据总产量均为1000kg，分别表示出两家的单位面积产量。第一问比较两个单位产量的大小，因分子相同，只需比较分母大小即可判断；第二问用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，利用分式乘除运算法则化简得到倍数。
【解析】
(1) 先计算两家试验田的面积：
王大伯家试验田面积：$S_1 = a^2 - 1^2 = (a+1)(a-1)\ \mathrm{m^2}$，
单位面积产量：$y_1 = \frac{1000}{a^2 - 1}\ \mathrm{kg/m^2}$；
李大爷家试验田面积：$S_2 = (a-1)^2\ \mathrm{m^2}$，
单位面积产量：$y_2 = \frac{1000}{(a-1)^2}\ \mathrm{kg/m^2}$。
比较两个分母的大小：
$a^2 - 1 - (a-1)^2 = a^2 -1 - (a^2 -2a +1) = 2a -2 = 2(a-1)$，
已知$a＞1$，所以$2(a-1)＞0$，即$a^2 -1 ＞ (a-1)^2$。
两个分数分子相同均为正数1000，分母越大分数值越小，因此$y_1 ＜ y_2$，即李大爷家的榨菜品种单位面积产量高。
(2) 求高的单位面积产量是低的多少倍，用$y_2 ÷ y_1$计算：
$\begin{aligned}y_2 ÷ y_1 &= \frac{1000}{(a-1)^2} ÷ \frac{1000}{a^2 - 1}\\&= \frac{1000}{(a-1)^2} × \frac{a^2 -1}{1000}\\&= \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}\\&= \frac{a+1}{a-1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 李大爷家的榨菜品种单位面积产量高；
(2) $\frac{a+1}{a-1}$倍。
【知识点】
分式乘除运算，平方差公式，分式大小比较
【点评】
本题结合实际生活场景命题，既考查了整式面积计算、分式运算的基础知识，也考查了利用数学知识解决实际问题的能力，解题时要注意利用因式分解简化分式运算，结合题目给出的$a＞1$的条件判断式子的正负性。
【难度系数】
0.7
