7.如图，AD是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为$E$，$S_{△ ABC}=9$，$DE=2$，$AB=5$，则$AC$的长为().

A.5
B.4
C.3
D.2

B

【分析】
解题时首先观察题目条件：AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，根据角平分线的性质可推出点D到AC边的距离等于DE的长度；再结合△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，代入已知的面积、AB长度、DE长度，即可建立关于AC的等式，求解得到AC的长。
【解析】
过点D作DF⊥AC，垂足为F。
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质，DF=DE=2。
△ABC的面积可拆分为△ABD和△ACD的面积之和，即：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
其中$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×5×2=5$，
已知$S_{△ ABC}=9$，因此$S_{△ ACD}=9-5=4$。
又
∵$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$，代入DF=2得：
$4=\frac{1}{2}× AC×2$
解得$AC=4$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题属于基础类题型，解题核心是利用角平分线的性质得到AC边上的高，再通过割补法将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和建立等式求解，是角平分线性质与面积计算结合的典型考法。
【难度系数】
0.7

8.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$BD$平分$∠ ABC$，$E$是$BD$的中点，若$BC=4$，$AD=1$，则$S_{△ DEC}=$.

1

【分析】
要求△DEC的面积，首先观察到E是BD中点，根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，可得$S_{△ DEC}=\frac{1}{2}S_{△ DBC}$，因此只需先求出△DBC的面积即可。求△DBC面积时，已知底边$BC=4$，只需找到BC边上的高：结合BD是∠ABC的角平分线、∠A=90°，根据角平分线的性质，点D到BC的距离等于AD的长度，即可求出高，进而依次计算△DBC、△DEC的面积。
【解析】
1. 过点D作$DF⊥ BC$，垂足为F。
∵BD平分∠ABC，$∠ A=90°$即$DA⊥ AB$，$DF⊥ BC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$DF=AD=1$。
2. 计算△DBC的面积：
$S_{△ DBC} = \frac{1}{2}× BC× DF = \frac{1}{2}×4×1=2$。
3.
∵E是BD的中点，
∴CE是△DBC的BD边上的中线，根据三角形中线的面积性质，
∴$S_{△ DEC} = \frac{1}{2}S_{△ DBC} = \frac{1}{2}×2=1$。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质；三角形中线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是灵活运用角平分线的性质得到三角形的高，再结合三角形中线分等面积的性质推导所求面积，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

9.已知$△ ABC$.
(1)在图①中,利用直尺和圆规作图:作$∠ ABC$的平分线$BD$,交$AC$于点$D$.
(2)若$∠ A=60°$,$∠ C=40°$,求$∠ ADB$的度数.
(3)如图②,过点$D$作$DE⊥ BC$,垂足为$E$.若$AB=5$,$BC=7$,$DE=3$,求$△ ABC$的面积.

(1)作图略.
(2)$\because ∠ A=60°,∠ C=40°,\therefore ∠ ABC=180°-60°-40°=80°$.
$\because ∠ ABC$ 的平分线交 $AC$ 于点 $D,\therefore ∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=40°$.
$\therefore ∠ ADB=180°-60°-40°=80°$,则$∠ ADB$ 的度数为 $80°$.
(3)如图,过点 $D$ 作 $DF⊥ AB$,垂足为 $F$.

$\because DE⊥ BC$,$BD$ 为$∠ ABC$ 的平分线,$DE=3,\therefore DE=DF=3$.
又 $AB=5,BC=7$,
$\therefore S_{△ ABD}$ 的面积$+S_{△ BDC}$ 的面积$=\frac{1}{2}AB× DF+\frac{1}{2}BC× DE=\frac{1}{2}×5×3+\frac{1}{2}×7×3=18$.

【分析】
(1) 作∠ABC的平分线可按照尺规作角平分线的标准步骤操作：以B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部的交点与B的连线即为角平分线，交AC于D即可。
(2) 求∠ADB的度数，首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠A和∠C的度数算出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义得到∠ABD的度数，最后在△ABD中再次运用三角形内角和即可求出∠ADB的度数。
(3) 求△ABC的面积可将其拆分为△ABD和△BCD的面积之和。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作AB的垂线DF，可得DF=DE，分别代入两个三角形的面积公式求和即可得到△ABC的总面积。
【解析】
(1) 按尺规作角平分线的规范作图，保留作图痕迹即可，图略。
(2) 在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∵ ∠A=60°，∠C=40°，
∴ ∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-60°-40°=80°，
∵ BD是∠ABC的平分线，
∴ ∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
在△ABD中：
∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-60°-40°=80°。
(3) 过点D作DF⊥AB，垂足为F。

∵ BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质可得DE=DF=3，
△ABC的面积为△ABD和△BCD的面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×AB×DF+\frac{1}{2}×BC×DE$，
代入AB=5，BC=7，DE=DF=3得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×5×3+\frac{1}{2}×7×3=7.5+10.5=18$。
【答案】
(1) 作图略；
(2) ∠ADB的度数为$\boxed{80°}$；
(3)
△ABC的面积为$\boxed{18}$。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角平分线的性质
3. 角平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础综合题，将角平分线的作图、性质与三角形内角和、面积计算结合考查，解题时注意掌握拆分图形求总面积的思路，熟练运用角平分线的性质是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.7

10.在$△ ABC$中，D是边BC上的点(不与点B,C重合)，连接AD.
(1)如图①，当点D是边BC上的中点时，$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=$ .
(2)如图②，当AD是$∠ BAC$的平分线时，若$AB=m$，$AC=n$，求$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}$的值(用含$m,n$的代数式表示).
(3)如图③，AD平分$∠ BAC$，延长AD到点E，使得$AD=DE$，连接BE，如果$AC=2$，$AB=4$，$S_{△ BDE}=6$，那么$S_{△ ABC}=$ .

(1)$1:1$
(2)如图,过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$,垂足为 $E$,$DF⊥ AC$,垂足为 $F$.

$\because AD$ 为$∠ BAC$ 的平分线,$\therefore DE=DF$.
$\because AB=m,AC=n,\therefore S_{ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2}× AB× DE):(\frac{1}{2}× AC× DF)=m:n$.
(3)$\because AD=DE$,由(1)知,$S_{△ ABD}:S_{△ EBD}=1:1$.
$\because S_{△ BDE}=6,\therefore S_{△ ABD}=6$.
$\because AC=2,AB=4,AD$ 平分$∠ CAB$,$\therefore$ 由(2)知,$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=4:2=2:1$.
$\therefore S_{△ ACD}=3.\therefore S_{△ ABC}=3+6=9$.

【分析】
(1) 计算两个三角形的面积比时，可观察到△ABD和△ACD有共同的高（从点A向BC作的垂线段），面积比等于对应底边长的比，D是BC中点则BD=CD，即可直接得出面积比。
(2) 看到AD是角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB、AC的垂线，两条垂线段长度相等，此时两个三角形的高相等，面积比就等于AB和AC的长度比。
(3) 首先由AD=DE可知D是AE中点，△ABD和△EBD同高，底相等则面积相等，可先求出$S_{△ABD}$；再利用第(2)问得到的角平分线分三角形的面积比等于对应邻边的比，求出$S_{△ACD}$，两者相加就是△ABC的总面积。
【解析】
(1)
∵D是BC中点，
∴BD=CD。△ABD与△ACD过点A的高相同，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，高相等时面积比等于底的比，因此$S_{△ ABD}: S_{△ ACD}=BD:CD=1:1$。
(2) 过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$,垂足为 $E$,$DF⊥ AC$,垂足为 $F$.

∵AD为∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DF。
∵AB=m，AC=n，
∴$S_{△ABD}:S_{△ACD}=(\frac{1}{2}× AB× DE):(\frac{1}{2}× AC× DF)=m:n$。
(3)
∵AD=DE，即D是AE的中点，△ABD和△EBD过点B的高相同，底AD=DE，由(1)的结论可知$S_{△ ABD}:S_{△ EBD}=1:1$。
∵$S_{△ BDE}=6$，
∴$S_{△ ABD}=6$。
∵AD平分∠CAB，AC=2，AB=4，由(2)的结论得$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=4:2=2:1$，
∴$S_{△ ACD}=3$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=6+3=9$。
【答案】
(1)$1:1$
(2)如图,过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$,垂足为 $E$,$DF⊥ AC$,垂足为 $F$.

$\because AD$ 为$∠ BAC$ 的平分线,$\therefore DE=DF$.
$\because AB=m,AC=n,\therefore S_{△ABD}:S_{△ ACD}=(\frac{1}{2}× AB× DE):(\frac{1}{2}× AC× DF)=m:n$.
(3)$9$
【知识点】
三角形面积计算，角平分线的性质，等底同高三角形面积关系
【点评】
本题设置层层递进，从基础的中点分三角形面积的关系，到角平分线分三角形面积的规律推导，再到两个规律的综合应用，能够有效考查对相关性质的理解和知识迁移能力，解题时注意利用前序小问的结论可以简化计算过程。
【难度系数】
0.7