例1 如图，已知$∠ ABC = ∠ DCB$，BD，CA分别是$∠ ABC$，$∠ DCB$的平分线，求证：$AB=DC$.
【思路导析】利用“ASA”来证明.
【请你证明】

证明：
∵ BD，CA分别是∠ABC，∠DCB的平分线，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ DCB$。
又∵ $∠ ABC = ∠ DCB$，
∴ $∠ DBC = ∠ ACB$。
在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ABC = ∠ DCB, \\BC = CB, \\∠ ACB = ∠ DBC,\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ DCB$（ASA），
∴ $AB = DC$。

【分析】
要证明$AB=DC$，可通过证明两条线段所在的$△ ABC$与$△ DCB$全等来推导。首先梳理已知条件：已有$∠ ABC=∠ DCB$，且两个三角形共享公共边$BC=CB$，还缺少一组对应角相等的条件；结合$BD$、$CA$分别是$∠ ABC$、$∠ DCB$的平分线，根据角平分线的定义可推出$∠ DBC=∠ ACB$，刚好满足ASA全等判定的三个条件，即可证明两三角形全等，进而得到对应边$AB=DC$。
【解析】
证明：
∵ $BD$，$CA$分别是$∠ ABC$，$∠ DCB$的平分线，
∴ 根据角平分线的定义可得$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ DCB$。
又
∵ $∠ ABC = ∠ DCB$，
∴ $∠ DBC = ∠ ACB$。
在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ DCB, \\BC = CB, \\∠ ACB = ∠ DBC,\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DCB$（ASA），
根据全等三角形对应边相等，可得$AB = DC$。
【答案】
证明：
∵ BD，CA分别是∠ABC，∠DCB的平分线，
∴ $∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ACB = \frac{1}{2}∠ DCB$。
又
∵ $∠ ABC = ∠ DCB$，
∴ $∠ DBC = ∠ ACB$。
在$△ ABC$和$△ DCB$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ABC = ∠ DCB, \\BC = CB, \\∠ ACB = ∠ DBC,\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ DCB$（ASA），
∴ $AB = DC$。
【知识点】
角平分线的定义；ASA判定三角形全等；全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等判定的基础应用题，解题核心是将待证的线段相等转化为证明对应三角形全等，结合已知条件和角平分线的性质推导全等所需的条件即可求解，有助于巩固全等判定定理及全等性质的基础应用。
【难度系数】
0.85

例2 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，点D在边AB上，且$DB=BC$，过点D作$EF⊥ AC$，且EF交AC于点E，交CB的延长线于点F.
求证：$AB=BF$.
【思路导析】根据$EF⊥ AC$，得$∠ F+∠ C=90°$，再由$∠ ABC=90°$，可推得$∠ A=∠ F$，从而利用“AAS”证明$△ ABC ≌ △ FBD$，则$AB=BF$.
【请你证明】

证明：
∵ EF⊥AC，
∴ ∠FEC=90°，
∴ ∠F + ∠C = 90°。
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠A + ∠C = 90°，∠FBD=180°-∠ABC=90°，
∴ ∠A = ∠F，∠ABC = ∠FBD。
在△ABC和△FBD中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠F \\∠ABC=∠FBD \\BC=DB\end{array} $
∴ △ABC ≌ △FBD（AAS），
∴ AB=BF。

【分析】
要证明AB=BF，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，观察图形可知AB属于△ABC，BF属于△FBD，因此目标是证明△ABC≌△FBD。首先由EF⊥AC和∠ABC=90°，可得∠F+∠C=90°、∠A+∠C=90°，根据同角的余角相等推出∠A=∠F；再结合∠ABC和∠FBD均为直角、已知DB=BC的条件，即可用AAS判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ EF⊥AC，
∴ ∠FEC=90°，
∴ ∠F + ∠C = 90°。
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠A + ∠C = 90°，∠FBD=180°-∠ABC=90°，
∴ ∠A = ∠F，∠ABC = ∠FBD。
在△ABC和△FBD中，
$\{\begin{array}{l}∠A=∠F \\∠ABC=∠FBD \\BC=DB\end{array} $
∴ △ABC ≌ △FBD（AAS），
∴ AB=BF。
【答案】
AB=BF
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 同角的余角相等
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是先定位待证线段所属的三角形，再利用直角的性质推导相等的对应角，结合已知等边证明三角形全等，进而得到对应边相等，能有效考查全等判定的基础应用能力。
【难度系数】
0.8

例3 如图,在$△ ABC$和$△ DBC$中,$∠ ACB=∠ DBC=90°$,E是BC的中点,$EF⊥ AB$,垂足为F,且$AB=DE$.

(1)求证:$BD=BC$;
(2)若$BD=8\ \mathrm{cm}$,求AC的长.
【思路导析】要证明$BD=BC$,可先证$△ BDE≌△ CBA$;若求AC,可转化为先求BE,再求AC.
【示范解答】(1)证明:$\because∠ EBD=90°$,
$\therefore∠1+∠3=90°$.
又$\because DE⊥ AB,\therefore∠2+∠3=90°$,
$\therefore∠1=∠2$.
在$△ BDE$和$△ CBA$中,
$\{\begin{array}{l}∠ DBE=∠ BCA=90°,\\∠2=∠1,\\DE=AB,\end{array} $
$\therefore△ BDE≌△ CBA(\mathrm{AAS}),\therefore BD=BC$.
(2)$\because△ BDE≌△ CBA,\therefore BE=AC$.
$\because E$为$BC$的中点,$\therefore BE=\frac{1}{2}BC$,
$\therefore AC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}BD=4\ (\mathrm{cm})$.

(1)证明：
∵∠DBC=90°，
∴∠1+∠3=90°。
∵EF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2。
在△BDE和△CBA中，
$\begin{cases}∠DBE=∠BCA=90°, \\∠2=∠1, \\DE=AB,\end{cases}$
∴△BDE≌△CBA(AAS)，
∴BD=BC。
(2)解：
∵△BDE≌△CBA，
∴BE=AC。
∵E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC。
由(1)知BD=BC，
∴AC=$\frac{1}{2}$BD。
∵BD=8 cm，
∴AC=$\frac{1}{2}×8=4$ cm。
答：AC的长为4 cm。

【分析】
（1）要证明BD=BC，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。观察图形可知BD在△BDE中，BC在△CBA中，已知∠DBE=∠BCA=90°、DE=AB，还需一组对应角相等。结合EF⊥AB、∠DBC=90°，利用“同角的余角相等”可推出∠1=∠2，满足AAS全等判定条件，证得△BDE≌△CBA即可得到BD=BC。
（2）求AC的长时，根据全等三角形对应边相等可得AC=BE，结合E是BC中点的性质，以及（1）中BD=BC的结论，可推出$AC=\frac{1}{2}BD$，代入BD的长度即可求出AC的长。
【解析】
(1)证明：
∵∠DBC=90°，
∴∠1+∠3=90°。
∵EF⊥AB，
∴∠BFD=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2。
在△BDE和△CBA中，
$\begin{cases}∠DBE=∠BCA=90°, \\∠2=∠1, \\DE=AB,\end{cases}$
∴△BDE≌△CBA(AAS)，
∴BD=BC。
(2)解：
∵△BDE≌△CBA，
∴BE=AC。
∵E是BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC。
由(1)知BD=BC，
∴AC=$\frac{1}{2}$BD。
∵BD=8 cm，
∴AC=$\frac{1}{2}×8=4$ cm。
【答案】
(1) BD=BC，证明成立；
(2) AC的长为4 cm。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（AAS）
2. 全等三角形的性质
3. 同角的余角相等
【点评】
本题是三角形全等应用的基础题型，解题关键是通过余角的性质找到相等的对应角，证明三角形全等后，利用全等的性质转化线段关系即可求解，能有效训练几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7